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15. （航天科技）我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力. 某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模进行科创实验，据了解，2件A种航模和3件B种航模共需1 800元；3件A种航模和1件B种航模共需1 300元.求A，B两种航模每件分别为多少元.
答案
15. A种航模每件300元，B种航模每件400元.
解析
【分析】
本题是典型的二元一次方程组实际应用题，解题思路可分为三步：第一步审题找等量关系，题目明确给出两个总费用的条件，可得到两个等量关系：①2件A航模的费用+3件B航模的费用=1800元；②3件A航模的费用+1件B航模的费用=1300元；第二步设未知数，分别设A、B两种航模的单价为未知量，根据等量关系列出方程组；第三步用消元法解方程组，检验结果符合实际后即可得到答案。
【解析】
解：设A种航模每件x元，B种航模每件y元，根据题意列方程组得：
$\begin{cases} 2x + 3y = 1800 \quad \mathrm{①} \\ 3x + y = 1300 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由②式变形可得：$y = 1300 - 3x$ ③
将③代入①式得：
$2x + 3(1300 - 3x) = 1800$
展开计算：$2x + 3900 - 9x = 1800$
合并同类项：$-7x = -2100$
解得：$x = 300$
将$x=300$代入③式得：$y = 1300 - 3×300 = 400$
经检验，$x=300$，$y=400$符合题意。
【答案】
A种航模每件300元，B种航模每件400元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组
【点评】
本题以我国航天事业发展为背景创设问题情景，考查利用方程思想解决实际问题的能力，解题的核心是准确梳理题干中的等量关系，正确列出方程组求解，整体解题步骤清晰，是方程类应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是典型的二元一次方程组实际应用题，解题思路可分为三步：第一步审题找等量关系，题目明确给出两个总费用的条件，可得到两个等量关系：①2件A航模的费用+3件B航模的费用=1800元；②3件A航模的费用+1件B航模的费用=1300元；第二步设未知数，分别设A、B两种航模的单价为未知量，根据等量关系列出方程组；第三步用消元法解方程组，检验结果符合实际后即可得到答案。
【解析】
解：设A种航模每件x元，B种航模每件y元，根据题意列方程组得：
$\begin{cases} 2x + 3y = 1800 \quad \mathrm{①} \\ 3x + y = 1300 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由②式变形可得：$y = 1300 - 3x$ ③
将③代入①式得：
$2x + 3(1300 - 3x) = 1800$
展开计算：$2x + 3900 - 9x = 1800$
合并同类项：$-7x = -2100$
解得：$x = 300$
将$x=300$代入③式得：$y = 1300 - 3×300 = 400$
经检验，$x=300$，$y=400$符合题意。
【答案】
A种航模每件300元，B种航模每件400元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组
【点评】
本题以我国航天事业发展为背景创设问题情景，考查利用方程思想解决实际问题的能力，解题的核心是准确梳理题干中的等量关系，正确列出方程组求解，整体解题步骤清晰，是方程类应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
16. 小红遇到了这样一个问题：解方程组
(1)若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错. 如果把方程组的$(x+y)$看成一个整体，把$(x-y)$看成一个整体，通过换元法就可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整.
解：设$x+y=m$，$x-y=n$，则原方程组可化为，
解关于$m$、$n$的方程组，得$\begin{cases} m=10, \\ n=6, \end{cases}$
所以$\begin{cases} x+y=10, \\ x-y=6, \end{cases}$解这个方程组得$\begin{cases} x= \_\_\_\_\_\_, \\ y= \_\_\_\_\_\_; \end{cases}$
月日 星期 天气
(2)利用上述方法解方程组$\begin{cases} 3(3x+2y)-2(4x-y)=17, \\ 2(3x+2y)+(4x-y)=16. \end{cases}$
(1)若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错. 如果把方程组的$(x+y)$看成一个整体，把$(x-y)$看成一个整体，通过换元法就可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整.
解：设$x+y=m$，$x-y=n$，则原方程组可化为，
解关于$m$、$n$的方程组，得$\begin{cases} m=10, \\ n=6, \end{cases}$
所以$\begin{cases} x+y=10, \\ x-y=6, \end{cases}$解这个方程组得$\begin{cases} x= \_\_\_\_\_\_, \\ y= \_\_\_\_\_\_; \end{cases}$
月日 星期 天气
(2)利用上述方法解方程组$\begin{cases} 3(3x+2y)-2(4x-y)=17, \\ 2(3x+2y)+(4x-y)=16. \end{cases}$
答案
16. (1)$\begin{cases}\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=7, \\\frac{m}{2}-\frac{n}{3}=3\end{cases}$ 8 2
(2)$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
解析
【分析】
（1）根据题目的换元提示，将$x+y=m$、$x-y=n$代入原方程组，即可得到关于$m$、$n$的方程组；解出$m$、$n$的值后，得到关于$x$、$y$的简单二元一次方程组，用加减消元法即可求出$x$、$y$的值。
（2）参照（1）的整体换元思路，将$3x+2y$和$4x-y$分别设为新的未知数$m$、$n$，代入原方程组得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，先解出$m$、$n$的值，再还原为关于$x$、$y$的方程组求解即可，这种方法可以大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 设$x+y=m$，$x-y=n$，将其代入原方程组，可得换元后的方程组为：
$\begin{cases}\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=7, \\\frac{m}{2}-\frac{n}{3}=3\end{cases}$
解得$\begin{cases} m=10, \\ n=6, \end{cases}$，即$\begin{cases} x+y=10①, \\ x-y=6②, \end{cases}$
①+②得：$2x=16$，解得$x=8$；
将$x=8$代入①得：$8+y=10$，解得$y=2$。
(2) 设$3x+2y=m$，$4x-y=n$，原方程组可化为：
$\begin{cases}3m-2n=17①, \\2m+n=16②\end{cases}$
②×2得：$4m+2n=32$③
①+③得：$7m=49$，解得$m=7$
把$m=7$代入②得：$2×7 +n=16$，解得$n=2$
因此得到新方程组$\begin{cases}3x+2y=7④, \\4x-y=2⑤\end{cases}$
⑤×2得：$8x-2y=4$⑥
④+⑥得：$11x=11$，解得$x=1$
把$x=1$代入⑤得：$4×1 -y=2$，解得$y=2$
【答案】
(1) $\begin{cases}\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=7, \\\frac{m}{2}-\frac{n}{3}=3\end{cases}$；$8$；$2$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组的解法；整体思想
【点评】
本题通过整体换元的方法简化了复杂二元一次方程组的求解过程，降低了计算量，同时也考查了加减消元法解二元一次方程组的基本技能，同学们在遇到结构相似的方程组时可以优先考虑整体换元的思路。
【难度系数】
0.7
（1）根据题目的换元提示，将$x+y=m$、$x-y=n$代入原方程组，即可得到关于$m$、$n$的方程组；解出$m$、$n$的值后，得到关于$x$、$y$的简单二元一次方程组，用加减消元法即可求出$x$、$y$的值。
（2）参照（1）的整体换元思路，将$3x+2y$和$4x-y$分别设为新的未知数$m$、$n$，代入原方程组得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，先解出$m$、$n$的值，再还原为关于$x$、$y$的方程组求解即可，这种方法可以大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 设$x+y=m$，$x-y=n$，将其代入原方程组，可得换元后的方程组为：
$\begin{cases}\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=7, \\\frac{m}{2}-\frac{n}{3}=3\end{cases}$
解得$\begin{cases} m=10, \\ n=6, \end{cases}$，即$\begin{cases} x+y=10①, \\ x-y=6②, \end{cases}$
①+②得：$2x=16$，解得$x=8$；
将$x=8$代入①得：$8+y=10$，解得$y=2$。
(2) 设$3x+2y=m$，$4x-y=n$，原方程组可化为：
$\begin{cases}3m-2n=17①, \\2m+n=16②\end{cases}$
②×2得：$4m+2n=32$③
①+③得：$7m=49$，解得$m=7$
把$m=7$代入②得：$2×7 +n=16$，解得$n=2$
因此得到新方程组$\begin{cases}3x+2y=7④, \\4x-y=2⑤\end{cases}$
⑤×2得：$8x-2y=4$⑥
④+⑥得：$11x=11$，解得$x=1$
把$x=1$代入⑤得：$4×1 -y=2$，解得$y=2$
【答案】
(1) $\begin{cases}\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=7, \\\frac{m}{2}-\frac{n}{3}=3\end{cases}$；$8$；$2$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组的解法；整体思想
【点评】
本题通过整体换元的方法简化了复杂二元一次方程组的求解过程，降低了计算量，同时也考查了加减消元法解二元一次方程组的基本技能，同学们在遇到结构相似的方程组时可以优先考虑整体换元的思路。
【难度系数】
0.7
