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12. 某商场购进商品后，加价20%作为销售价. 端午节期间商场举行优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣. 某顾客购买甲商品时抽到九折，购买乙商品时抽到八折，共付款1 008元，两种商品原销售价之和为1 200元，甲、乙商品进价分别为多少元？
答案
12. 甲商品进价为400元，乙商品进价为600元.
解析
【分析】
本题为销售类二元一次方程组应用题，解题时首先梳理核心等量关系：①甲商品原销售价+乙商品原销售价=1200元；②甲商品打折后售价+乙商品打折后售价=1008元。再结合“销售价=进价×(1+20%)”“打折后售价=原销售价×折扣”的数量关系，设甲、乙商品的进价为未知数，列方程组即可求解。
【解析】
设甲商品进价为$x$元，乙商品进价为$y$元。
由题意得，甲商品原销售价为$(1+20\%)x=1.2x$元，乙商品原销售价为$1.2y$元，可列方程组：
$\begin{cases}1.2x + 1.2y = 1200 \\1.2x × 0.9 + 1.2y × 0.8 = 1008 \end{cases}$
化简第一个方程，两边同时除以1.2得：$x + y = 1000$，即$x = 1000 - y$ ③
化简第二个方程得：$1.08x + 0.96y = 1008$ ④
将③代入④得：$1.08(1000 - y) + 0.96y = 1008$
展开计算：$1080 - 1.08y + 0.96y = 1008$
合并同类项：$1080 - 0.12y = 1008$
移项计算得：$0.12y = 72$，解得$y = 600$
将$y=600$代入③得：$x = 1000 - 600 = 400$
经检验，$x=400$，$y=600$符合题意。
【答案】
甲商品进价为400元，乙商品进价为600元。
【知识点】
二元一次方程组应用，打折销售计算，进价售价关系
【点评】
本题是销售类常规应用题，解题核心是找准等量关系，理清进价、原销售价、折后售价三者的数量关系，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利解答，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题为销售类二元一次方程组应用题，解题时首先梳理核心等量关系：①甲商品原销售价+乙商品原销售价=1200元；②甲商品打折后售价+乙商品打折后售价=1008元。再结合“销售价=进价×(1+20%)”“打折后售价=原销售价×折扣”的数量关系，设甲、乙商品的进价为未知数，列方程组即可求解。
【解析】
设甲商品进价为$x$元，乙商品进价为$y$元。
由题意得，甲商品原销售价为$(1+20\%)x=1.2x$元，乙商品原销售价为$1.2y$元，可列方程组：
$\begin{cases}1.2x + 1.2y = 1200 \\1.2x × 0.9 + 1.2y × 0.8 = 1008 \end{cases}$
化简第一个方程，两边同时除以1.2得：$x + y = 1000$，即$x = 1000 - y$ ③
化简第二个方程得：$1.08x + 0.96y = 1008$ ④
将③代入④得：$1.08(1000 - y) + 0.96y = 1008$
展开计算：$1080 - 1.08y + 0.96y = 1008$
合并同类项：$1080 - 0.12y = 1008$
移项计算得：$0.12y = 72$，解得$y = 600$
将$y=600$代入③得：$x = 1000 - 600 = 400$
经检验，$x=400$，$y=600$符合题意。
【答案】
甲商品进价为400元，乙商品进价为600元。
【知识点】
二元一次方程组应用，打折销售计算，进价售价关系
【点评】
本题是销售类常规应用题，解题核心是找准等量关系，理清进价、原销售价、折后售价三者的数量关系，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利解答，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 某工程队承包了一段全长1 957 m的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5 m，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57 m.
(1)求甲、乙两班组平均每天各掘进多少米；
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3 m. 按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
(1)求甲、乙两班组平均每天各掘进多少米；
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3 m. 按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
答案
13. (1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5 m、4.5 m；
(2)能比原来少用$\frac{300}{49}$天完成任务.
(2)能比原来少用$\frac{300}{49}$天完成任务.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过设未知数列一元一次方程求解：先设乙班组每天掘进的长度为未知数，根据“甲组比乙组每天多掘进0.5m”表示出甲组的日掘进长度，再利用“两组6天共掘进57m”的等量关系列方程，解方程即可得到两组的日掘进量。
(2) 第二问先计算剩余的工程量，再分别计算按原施工速度完成剩余工程需要的时间、改进技术后完成剩余工程需要的时间，两个时间的差值就是少用的天数。
【解析】
(1) 设乙班组平均每天掘进$ x $米，则甲班组平均每天掘进$ (x+0.5) $米。
根据题意列方程：
$ 6(x + x + 0.5) = 57 $
化简得：$ 6(2x + 0.5) = 57 $
两边同时除以6得：$ 2x + 0.5 = 9.5 $
移项计算得：$ 2x = 9 $，解得$ x = 4.5 $
则甲班组每天掘进长度为：$ 4.5 + 0.5 = 5 \, \mathrm{m} $
(2) 首先计算剩余工程量：$ 1957 - 57 = 1900 \, \mathrm{m} $
① 按原施工进度，两组每天共掘进：$ 5 + 4.5 = 9.5 \, \mathrm{m} $
完成剩余工程所需时间：$ 1900 ÷ 9.5 = 200 \, \mathrm{天} $
② 改进技术后，甲组每天掘进：$ 5 + 0.3 = 5.3 \, \mathrm{m} $，此时两组每天共掘进：$ 5.3 + 4.5 = 9.8 \, \mathrm{m} $
完成剩余工程所需时间：$ 1900 ÷ 9.8 = \frac{9500}{49} \, \mathrm{天} $
少用的天数为：$ 200 - \frac{9500}{49} = \frac{9800 - 9500}{49} = \frac{300}{49} \, \mathrm{天} $
【答案】
(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5 m、4.5 m；
(2)能比原来少用$\frac{300}{49}$天完成任务。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题计算，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的工程类应用题，重点考查从题干提取等量关系列方程求解的能力，解题时需注意区分改进施工技术前后的工作效率，运算过程要注意准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问可通过设未知数列一元一次方程求解：先设乙班组每天掘进的长度为未知数，根据“甲组比乙组每天多掘进0.5m”表示出甲组的日掘进长度，再利用“两组6天共掘进57m”的等量关系列方程，解方程即可得到两组的日掘进量。
(2) 第二问先计算剩余的工程量，再分别计算按原施工速度完成剩余工程需要的时间、改进技术后完成剩余工程需要的时间，两个时间的差值就是少用的天数。
【解析】
(1) 设乙班组平均每天掘进$ x $米，则甲班组平均每天掘进$ (x+0.5) $米。
根据题意列方程：
$ 6(x + x + 0.5) = 57 $
化简得：$ 6(2x + 0.5) = 57 $
两边同时除以6得：$ 2x + 0.5 = 9.5 $
移项计算得：$ 2x = 9 $，解得$ x = 4.5 $
则甲班组每天掘进长度为：$ 4.5 + 0.5 = 5 \, \mathrm{m} $
(2) 首先计算剩余工程量：$ 1957 - 57 = 1900 \, \mathrm{m} $
① 按原施工进度，两组每天共掘进：$ 5 + 4.5 = 9.5 \, \mathrm{m} $
完成剩余工程所需时间：$ 1900 ÷ 9.5 = 200 \, \mathrm{天} $
② 改进技术后，甲组每天掘进：$ 5 + 0.3 = 5.3 \, \mathrm{m} $，此时两组每天共掘进：$ 5.3 + 4.5 = 9.8 \, \mathrm{m} $
完成剩余工程所需时间：$ 1900 ÷ 9.8 = \frac{9500}{49} \, \mathrm{天} $
少用的天数为：$ 200 - \frac{9500}{49} = \frac{9800 - 9500}{49} = \frac{300}{49} \, \mathrm{天} $
【答案】
(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5 m、4.5 m；
(2)能比原来少用$\frac{300}{49}$天完成任务。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题计算，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的工程类应用题，重点考查从题干提取等量关系列方程求解的能力，解题时需注意区分改进施工技术前后的工作效率，运算过程要注意准确性，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.75
14.（传统文化）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的. 如图①，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是$\begin{cases} x+4y=10, \\ 6x+11y=34 \end{cases}$请你根据图②所示的算筹图，列出方程组，并求解. 
答案
14. 方程组为$\begin{cases}2x+y=7, \\x+3y=11.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2, \\y=3.\end{cases}$
解析
【分析】
首先结合题干给出的示例理解算筹计数的规则：每行算筹从左到右依次对应x的系数、y的系数、常数项，单根竖放的算筹代表数字1，有几根竖筹就对应数字几，结合算筹表示常数的规则即可列出图②对应的二元一次方程组，之后用七年级所学的加减消元法或者代入消元法求解方程组即可。
【解析】
根据算筹的计数规则，可得图②对应的方程组为：
$\begin{cases}2x+y=7&① \\x+3y=11&② \end{cases}$
使用加减消元法求解：
将①×3，得：$6x+3y=21$ ③
用③减去②，得：$6x+3y-(x+3y)=21-11$
化简得：$5x=10$，解得$x=2$
把$x=2$代入①式，得：$2×2 + y=7$
计算得：$4+y=7$，解得$y=3$
【答案】
方程组为$\begin{cases}2x+y=7, \\x+3y=11.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2, \\y=3.\end{cases}$
【知识点】
算筹计数、列二元一次方程组、解二元一次方程组
【点评】
本题结合古代算筹传统文化考查二元一次方程组的相关知识，需要先理解材料给出的算筹计数规则，再提取等量关系列方程组求解，重点考查阅读理解能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
首先结合题干给出的示例理解算筹计数的规则：每行算筹从左到右依次对应x的系数、y的系数、常数项，单根竖放的算筹代表数字1，有几根竖筹就对应数字几，结合算筹表示常数的规则即可列出图②对应的二元一次方程组，之后用七年级所学的加减消元法或者代入消元法求解方程组即可。
【解析】
根据算筹的计数规则，可得图②对应的方程组为：
$\begin{cases}2x+y=7&① \\x+3y=11&② \end{cases}$
使用加减消元法求解：
将①×3，得：$6x+3y=21$ ③
用③减去②，得：$6x+3y-(x+3y)=21-11$
化简得：$5x=10$，解得$x=2$
把$x=2$代入①式，得：$2×2 + y=7$
计算得：$4+y=7$，解得$y=3$
【答案】
方程组为$\begin{cases}2x+y=7, \\x+3y=11.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2, \\y=3.\end{cases}$
【知识点】
算筹计数、列二元一次方程组、解二元一次方程组
【点评】
本题结合古代算筹传统文化考查二元一次方程组的相关知识，需要先理解材料给出的算筹计数规则，再提取等量关系列方程组求解，重点考查阅读理解能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
