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8. $a,b,c$ 是三个连续的正整数，以 $b$ 为边长作正方形，分别以 $a,c$ 为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是 （
A.正方形比长方形的面积大 1
B.长方形比正方形的面积大 1
C.正方形和长方形的面积一样大
D.正方形和长方形的面积关系无法确定
A
）A.正方形比长方形的面积大 1
B.长方形比正方形的面积大 1
C.正方形和长方形的面积一样大
D.正方形和长方形的面积关系无法确定
答案
8.A
解析
【分析】
要判断正方形和长方形的面积关系，首先根据三个连续正整数的特征，用中间数b表示出a和c，再分别计算正方形和长方形的面积，最后作差比较两个面积的大小即可得出结论。
【解析】
解：
∵a、b、c是三个连续的正整数，且b为中间的数
∴a = b - 1，c = b + 1
正方形的面积为：$S_{正}=b^2$
长方形的面积为：$S_{长}=a× c=(b-1)(b+1)$
根据多项式乘法法则展开得：
$(b-1)(b+1)=b^2 + b - b - 1 = b^2 -1$
两者面积差为：$S_{正}-S_{长}=b^2 - (b^2 -1)=1$
即正方形的面积比长方形的面积大1，故选A。
【答案】
A
【知识点】
连续整数的表示；整式乘法运算；面积大小比较
【点评】
本题通过代数运算解决几何面积比较问题，解题的核心是正确用中间量表示出三个连续整数，再通过整式运算得到面积差，能够很好地考查代数运算的应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断正方形和长方形的面积关系，首先根据三个连续正整数的特征，用中间数b表示出a和c，再分别计算正方形和长方形的面积，最后作差比较两个面积的大小即可得出结论。
【解析】
解：
∵a、b、c是三个连续的正整数，且b为中间的数
∴a = b - 1，c = b + 1
正方形的面积为：$S_{正}=b^2$
长方形的面积为：$S_{长}=a× c=(b-1)(b+1)$
根据多项式乘法法则展开得：
$(b-1)(b+1)=b^2 + b - b - 1 = b^2 -1$
两者面积差为：$S_{正}-S_{长}=b^2 - (b^2 -1)=1$
即正方形的面积比长方形的面积大1，故选A。
【答案】
A
【知识点】
连续整数的表示；整式乘法运算；面积大小比较
【点评】
本题通过代数运算解决几何面积比较问题，解题的核心是正确用中间量表示出三个连续整数，再通过整式运算得到面积差，能够很好地考查代数运算的应用能力。
【难度系数】
0.8
9. 小华在利用完全平方公式计算时，不小心将结果“$=4x^2●+25y^2$”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的内容可能是 （
A.$+10y$
B.$+10xy$或$-10xy$
C.$+20y$
D.$+20xy$或$-20xy$
D
）A.$+10y$
B.$+10xy$或$-10xy$
C.$+20y$
D.$+20xy$或$-20xy$
答案
9.D
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征，完全平方公式展开后包含两个平方项和一个两倍乘积的交叉项；接下来将题目给出的两个已知项转化为平方的形式，确定公式中对应的a和b；最后根据完全平方公式有“和的平方”“差的平方”两种形式，计算出中间交叉项的两种可能结果即可。
【解析】
解：根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知展开式中的两个平方项分别为$4x^2$和$25y^2$，变形可得：
$4x^2=(2x)^2$，$25y^2=(5y)^2$
对应公式可得$a=2x$，$b=5y$，则中间交叉项为：
$\pm 2× 2x× 5y=\pm 20xy$
因此墨迹覆盖的内容为$+20xy$或$-20xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式乘法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，重点考查对公式结构的熟悉度，解题时要注意完全平方公式包含和、差两种情况，避免漏记交叉项的符号导致出错。
【难度系数】
0.7
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征，完全平方公式展开后包含两个平方项和一个两倍乘积的交叉项；接下来将题目给出的两个已知项转化为平方的形式，确定公式中对应的a和b；最后根据完全平方公式有“和的平方”“差的平方”两种形式，计算出中间交叉项的两种可能结果即可。
【解析】
解：根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知展开式中的两个平方项分别为$4x^2$和$25y^2$，变形可得：
$4x^2=(2x)^2$，$25y^2=(5y)^2$
对应公式可得$a=2x$，$b=5y$，则中间交叉项为：
$\pm 2× 2x× 5y=\pm 20xy$
因此墨迹覆盖的内容为$+20xy$或$-20xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式乘法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，重点考查对公式结构的熟悉度，解题时要注意完全平方公式包含和、差两种情况，避免漏记交叉项的符号导致出错。
【难度系数】
0.7
10. 如图,将边长分别为$a,b$的两个正方形并排放在一起.当$a+b=8,ab=10$时,阴影部分的面积为________.
答案
10.17
解析
【分析】
求阴影部分面积可采用“总面积减空白面积”的思路：首先计算两个正方形的总面积，再分别求出两个空白直角三角形的面积，用总面积减去两个空白三角形面积得到阴影面积的代数式，最后结合已知条件，利用完全平方公式变形代入数值计算即可。
【解析】
两个正方形的面积和为：$ S_{\mathrm{总}}=a^2+b^2 $
空白部分包含两个直角三角形：
1. 边长为$ b $的等腰直角三角形，面积：$ S_1=\frac{1}{2}b^2 $
2. 底为$ a+b $、高为$ a $的直角三角形，面积：$ S_2=\frac{1}{2}a(a+b) $
阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{总}}-S_1-S_2\\&=a^2+b^2-\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
根据完全平方公式变形得：$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab $
已知$ a+b=8 $，$ ab=10 $，代入得：
$ a^2+b^2=8^2-2×10=44 $
再代入阴影面积表达式：
$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×(44-10)=17 $
【答案】
17
【知识点】
完全平方公式，面积和差计算，正方形与三角形面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的典型考题，核心是通过割补法把不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，同时需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，实现整体代入求值。
【难度系数】
0.65
求阴影部分面积可采用“总面积减空白面积”的思路：首先计算两个正方形的总面积，再分别求出两个空白直角三角形的面积，用总面积减去两个空白三角形面积得到阴影面积的代数式，最后结合已知条件，利用完全平方公式变形代入数值计算即可。
【解析】
两个正方形的面积和为：$ S_{\mathrm{总}}=a^2+b^2 $
空白部分包含两个直角三角形：
1. 边长为$ b $的等腰直角三角形，面积：$ S_1=\frac{1}{2}b^2 $
2. 底为$ a+b $、高为$ a $的直角三角形，面积：$ S_2=\frac{1}{2}a(a+b) $
阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{总}}-S_1-S_2\\&=a^2+b^2-\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
根据完全平方公式变形得：$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab $
已知$ a+b=8 $，$ ab=10 $，代入得：
$ a^2+b^2=8^2-2×10=44 $
再代入阴影面积表达式：
$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×(44-10)=17 $
【答案】
17
【知识点】
完全平方公式，面积和差计算，正方形与三角形面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的典型考题，核心是通过割补法把不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，同时需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，实现整体代入求值。
【难度系数】
0.65
11. [新课标·探究题]【观察】$(2+3)^2 - 2^2 = 7×3$；$(4+3)^2 - 4^2 = 11×3$.
嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1)$(6+3)^2 - 6^2$的结果是3的________倍；
(2)设偶数为$2n$，试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除.
【延伸】
(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差除以6的余数是几？请说明理由.
嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1)$(6+3)^2 - 6^2$的结果是3的________倍；
(2)设偶数为$2n$，试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除.
【延伸】
(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差除以6的余数是几？请说明理由.
答案
11.解:(1)15
(2)因为偶数为$2n$,比偶数大3的数为$2n+3$,所以$(2n+3)^2-(2n)^2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3)$.
因为$4n+3$为整数,所以$3(4n+3)$能被3整除.
(3)余数是3.理由:设这个数为$n$,比$n$大3的数为$n+3$,$(n+3)^2-n^2=(n+3+n)(n+3-n)=6n+9=6(n+1)+3$,所以$6(n+1)+3$除以6的余数是3.
(2)因为偶数为$2n$,比偶数大3的数为$2n+3$,所以$(2n+3)^2-(2n)^2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3)$.
因为$4n+3$为整数,所以$3(4n+3)$能被3整除.
(3)余数是3.理由:设这个数为$n$,比$n$大3的数为$n+3$,$(n+3)^2-n^2=(n+3+n)(n+3-n)=6n+9=6(n+1)+3$,所以$6(n+1)+3$除以6的余数是3.
解析
【分析】
(1) 第一问属于基础计算类问题，直接先算出$(6+3)^2 - 6^2$的结果，再用结果除以3即可得到对应的倍数。
(2) 第二问先根据题意明确两个数分别为偶数$2n$和比它大3的数$2n+3$，再列出平方差算式，利用平方差公式因式分解，整理后若式子含有因数3，且另一个因式为整数，即可证明该式能被3整除。
(3) 第三问先设任意整数为$n$，对应比它大3的数为$n+3$，同样用平方差公式展开化简，将结果变形为“6×整数+余数”的形式，小于6的常数项即为所求余数。
【解析】
(1) 计算可得：$(6+3)^2 - 6^2=9^2-36=81-36=45$，$45÷3=15$，因此结果是3的15倍。
(2) 已知偶数为$2n$，则比$2n$大3的数为$2n+3$，列式计算平方差：
$\begin{aligned}(2n+3)^2-(2n)^2&=(2n+3+2n)(2n+3-2n)\\&=3(4n+3)\end{aligned}$
因为$n$为整数，所以$4n+3$是整数，因此$3(4n+3)$是3的整数倍，能被3整除。
(3) 余数是3，理由如下：
设这个整数为$n$，则比$n$大3的数为$n+3$，列式计算平方差：
$\begin{aligned}(n+3)^2-n^2&=(n+3+n)(n+3-n)\\&=3(2n+3)\\&=6n+9\\&=6(n+1)+3\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$n+1$是整数，$6(n+1)$是6的整数倍，因此$6(n+1)+3$除以6的余数是3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；(2) 见上述解析；(3) 余数是$\boldsymbol{3}$，理由见上述解析。
【知识点】
平方差公式，整式的运算，整除与余数
【点评】
本题是典型的规律探究题，从特殊数值例子出发引导学生推导一般规律，重点考查平方差公式的灵活运用，以及对整除、余数概念的理解，能够锻炼学生从特殊到一般的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于基础计算类问题，直接先算出$(6+3)^2 - 6^2$的结果，再用结果除以3即可得到对应的倍数。
(2) 第二问先根据题意明确两个数分别为偶数$2n$和比它大3的数$2n+3$，再列出平方差算式，利用平方差公式因式分解，整理后若式子含有因数3，且另一个因式为整数，即可证明该式能被3整除。
(3) 第三问先设任意整数为$n$，对应比它大3的数为$n+3$，同样用平方差公式展开化简，将结果变形为“6×整数+余数”的形式，小于6的常数项即为所求余数。
【解析】
(1) 计算可得：$(6+3)^2 - 6^2=9^2-36=81-36=45$，$45÷3=15$，因此结果是3的15倍。
(2) 已知偶数为$2n$，则比$2n$大3的数为$2n+3$，列式计算平方差：
$\begin{aligned}(2n+3)^2-(2n)^2&=(2n+3+2n)(2n+3-2n)\\&=3(4n+3)\end{aligned}$
因为$n$为整数，所以$4n+3$是整数，因此$3(4n+3)$是3的整数倍，能被3整除。
(3) 余数是3，理由如下：
设这个整数为$n$，则比$n$大3的数为$n+3$，列式计算平方差：
$\begin{aligned}(n+3)^2-n^2&=(n+3+n)(n+3-n)\\&=3(2n+3)\\&=6n+9\\&=6(n+1)+3\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$n+1$是整数，$6(n+1)$是6的整数倍，因此$6(n+1)+3$除以6的余数是3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；(2) 见上述解析；(3) 余数是$\boldsymbol{3}$，理由见上述解析。
【知识点】
平方差公式，整式的运算，整除与余数
【点评】
本题是典型的规律探究题，从特殊数值例子出发引导学生推导一般规律，重点考查平方差公式的灵活运用，以及对整除、余数概念的理解，能够锻炼学生从特殊到一般的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
