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12. 请阅读材料并解决问题：
若$x$满足$(1-x)(x-5)=2$，求$(1-x)^2+(x-5)^2$的值.
解:设$(1-x)=a,(x-5)=b$，则$ab=(1-x)(x-5)=2,a+b=(1-x)+(x-5)=-4$，
所以$(1-x)^2+(x-5)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-4)^2-2×2=12$.
【体验】若$x$满足$(30-x)(x-20)=-580$，求$(30-x)^2+(x-20)^2$的值.
【应用】如图，已知数轴上点$A,B,C$表示的数分别是$m,10,13$，以$AB$为边作正方形$ABDE$，以$AC$为边作正方形$ACFG$，延长$ED$交$FC$于点$P$.若正方形$ACFG$与正方形$ABDE$面积的和为$119$，求长方形$AEPC$的面积.
若$x$满足$(1-x)(x-5)=2$，求$(1-x)^2+(x-5)^2$的值.
解:设$(1-x)=a,(x-5)=b$，则$ab=(1-x)(x-5)=2,a+b=(1-x)+(x-5)=-4$，
所以$(1-x)^2+(x-5)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-4)^2-2×2=12$.
【体验】若$x$满足$(30-x)(x-20)=-580$，求$(30-x)^2+(x-20)^2$的值.
【应用】如图，已知数轴上点$A,B,C$表示的数分别是$m,10,13$，以$AB$为边作正方形$ABDE$，以$AC$为边作正方形$ACFG$，延长$ED$交$FC$于点$P$.若正方形$ACFG$与正方形$ABDE$面积的和为$119$，求长方形$AEPC$的面积.
答案
12.解:【体验】设$(30-x)=a,(x-20)=b$,则$ab=(30-x)(x-20)=-580$,$a+b=(30-x)+(x-20)=10$,所以$(30-x)^2+(x-20)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=10^2-2×(-580)=1260$.
【应用】由题意,得正方形$ACFG$的边长为$13-m$,面积为$(13-m)^2$,正方形$ABDE$的边长为$10-m$,面积为$(10-m)^2$,则$(13-m)^2+(10-m)^2=119$.设$13-m=p$,$10-m=q$,则$p^2+q^2=(13-m)^2+(10-m)^2=119$,$p-q=(13-m)-(10-m)=3$,所以长方形$AEPC$的面积为$pq=\dfrac{(p^2+q^2)-(p-q)^2}{2}=\dfrac{119-9}{2}=55$.
【应用】由题意,得正方形$ACFG$的边长为$13-m$,面积为$(13-m)^2$,正方形$ABDE$的边长为$10-m$,面积为$(10-m)^2$,则$(13-m)^2+(10-m)^2=119$.设$13-m=p$,$10-m=q$,则$p^2+q^2=(13-m)^2+(10-m)^2=119$,$p-q=(13-m)-(10-m)=3$,所以长方形$AEPC$的面积为$pq=\dfrac{(p^2+q^2)-(p-q)^2}{2}=\dfrac{119-9}{2}=55$.
解析
【分析】
本题分为两小问，均采用换元法结合完全平方公式的变形求解：
1. 【体验】部分：模仿题干给出的例题，将$(30-x)$设为$a$，$(x-20)$设为$b$，首先计算$a+b$的值（计算过程中$x$会抵消得到常数），再结合已知的$ab$的值，利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$即可直接求出目标式的值，不需要展开原式计算，简化运算。
2. 【应用】部分：首先根据数轴上点的坐标，得出两个正方形的边长分别为$13-m$和$10-m$，两个正方形面积和即为两个边长的平方和，等于119；将$13-m$设为$p$，$10-m$设为$q$，先计算$p-q$的值（计算过程中$m$抵消得到常数3），长方形$AEPC$的长和宽恰好为$p$和$q$，即求$pq$的值，利用完全平方公式变形$pq=\frac{(p^2+q^2)-(p-q)^2}{2}$代入计算即可。
【解析】
【体验】
解：设$30-x=a$，$x-20=b$，
则$ab=(30-x)(x-20)=-580$，
$a+b=(30-x)+(x-20)=10$，
根据完全平方公式变形可得：
$\begin{aligned}(30-x)^2+(x-20)^2&=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\&=10^2 - 2×(-580)\\&=100+1160\\&=1260\end{aligned}$
【应用】
解：由数轴可得，正方形$ACFG$的边长为$13-m$，面积为$(13-m)^2$；正方形$ABDE$的边长为$10-m$，面积为$(10-m)^2$。
根据题意得：$(13-m)^2+(10-m)^2=119$。
设$13-m=p$，$10-m=q$，
则$p^2+q^2=119$，$p-q=(13-m)-(10-m)=3$，
长方形$AEPC$的面积为$pq$，由完全平方公式变形可得：
$\begin{aligned}pq&=\frac{(p^2+q^2)-(p-q)^2}{2}\\&=\frac{119-3^2}{2}\\&=\frac{119-9}{2}\\&=55\end{aligned}$
【答案】
【体验】$\boxed{1260}$；【应用】长方形$AEPC$的面积为$\boxed{55}$
【知识点】
完全平方公式变形，换元法求值，数轴与面积计算
【点评】
本题将代数换元思想与完全平方公式的变形应用相结合，既考查了代数式求值的技巧，也涉及了数轴与几何图形面积的结合计算，合理换元、利用完全平方公式的变形可以避免复杂的展开运算，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，均采用换元法结合完全平方公式的变形求解：
1. 【体验】部分：模仿题干给出的例题，将$(30-x)$设为$a$，$(x-20)$设为$b$，首先计算$a+b$的值（计算过程中$x$会抵消得到常数），再结合已知的$ab$的值，利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$即可直接求出目标式的值，不需要展开原式计算，简化运算。
2. 【应用】部分：首先根据数轴上点的坐标，得出两个正方形的边长分别为$13-m$和$10-m$，两个正方形面积和即为两个边长的平方和，等于119；将$13-m$设为$p$，$10-m$设为$q$，先计算$p-q$的值（计算过程中$m$抵消得到常数3），长方形$AEPC$的长和宽恰好为$p$和$q$，即求$pq$的值，利用完全平方公式变形$pq=\frac{(p^2+q^2)-(p-q)^2}{2}$代入计算即可。
【解析】
【体验】
解：设$30-x=a$，$x-20=b$，
则$ab=(30-x)(x-20)=-580$，
$a+b=(30-x)+(x-20)=10$，
根据完全平方公式变形可得：
$\begin{aligned}(30-x)^2+(x-20)^2&=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\&=10^2 - 2×(-580)\\&=100+1160\\&=1260\end{aligned}$
【应用】
解：由数轴可得，正方形$ACFG$的边长为$13-m$，面积为$(13-m)^2$；正方形$ABDE$的边长为$10-m$，面积为$(10-m)^2$。
根据题意得：$(13-m)^2+(10-m)^2=119$。
设$13-m=p$，$10-m=q$，
则$p^2+q^2=119$，$p-q=(13-m)-(10-m)=3$，
长方形$AEPC$的面积为$pq$，由完全平方公式变形可得：
$\begin{aligned}pq&=\frac{(p^2+q^2)-(p-q)^2}{2}\\&=\frac{119-3^2}{2}\\&=\frac{119-9}{2}\\&=55\end{aligned}$
【答案】
【体验】$\boxed{1260}$；【应用】长方形$AEPC$的面积为$\boxed{55}$
【知识点】
完全平方公式变形，换元法求值，数轴与面积计算
【点评】
本题将代数换元思想与完全平方公式的变形应用相结合，既考查了代数式求值的技巧，也涉及了数轴与几何图形面积的结合计算，合理换元、利用完全平方公式的变形可以避免复杂的展开运算，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
13. [新课标·探究题]观察下列各式并填空：
第1个：$(a-b)(a+b)=$
第2个：$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=$
第3个：$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=$
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律.
(1)猜想:若$n$为大于1的正整数,则$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+··· +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})=$
(2)利用(1)中的猜想计算:$2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+··· +2^{3}+2^{2}+2+1=$
(3)扩展与应用:$3^{n-1}+3^{n-2}+3^{n-3}+··· +3^{3}+3^{2}+3+1=$
第1个：$(a-b)(a+b)=$
$a^2-b^2$
；第2个：$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=$
$a^3-b^3$
；第3个：$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=$
$a^4-b^4$
；……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律.
(1)猜想:若$n$为大于1的正整数,则$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+··· +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})=$
$a^n-b^n$
；(2)利用(1)中的猜想计算:$2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+··· +2^{3}+2^{2}+2+1=$
$2^n-1$
；(3)扩展与应用:$3^{n-1}+3^{n-2}+3^{n-3}+··· +3^{3}+3^{2}+3+1=$
$\dfrac{3^n-1}{2}$
.答案
13.解:$a^2-b^2\quad a^3-b^3\quad a^4-b^4$
(1)$a^n-b^n$
(2)$2^n-1$ 提示:原式$=(2-1)(2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\dots+2^3+2^2+2+1)=2^n-1$.
(3)$\dfrac{3^n-1}{2}$ 提示:原式$=\dfrac{1}{2}×(3-1)(3^{n-1}+3^{n-2}+3^{n-3}+\dots+3^3+3^2+3+1)=\dfrac{1}{2}×(3^n-1)=\dfrac{3^n-1}{2}$.
(1)$a^n-b^n$
(2)$2^n-1$ 提示:原式$=(2-1)(2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\dots+2^3+2^2+2+1)=2^n-1$.
(3)$\dfrac{3^n-1}{2}$ 提示:原式$=\dfrac{1}{2}×(3-1)(3^{n-1}+3^{n-2}+3^{n-3}+\dots+3^3+3^2+3+1)=\dfrac{1}{2}×(3^n-1)=\dfrac{3^n-1}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先运用多项式乘多项式的运算法则计算给出的前3个式子，观察计算结果和式子序号的对应关系，归纳总结出通用的运算规律；再将后续(2)(3)问的算式变形为符合规律的结构，直接套用规律计算即可得到结果，变形时注意凑出规律中$(a-b)$的因式。
【解析】
先计算前3个式子：
第1个：$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$
第2个：$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$
第3个：$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4=a^4-b^4$
(1)观察上述结果：当式子对应$n$（$n$为大于1的正整数）时，结果为$a$的$n$次方减$b$的$n$次方，故猜想结果为$a^n - b^n$。
(2)对比猜想的公式，令$a=2$，$b=1$，可得：
原式$=(2-1)×(2^{n-1}+2^{n-2}+\dots+2+1)=2^n - 1^n=2^n -1$
(3)令$a=3$，$b=1$，此时$(a-b)=3-1=2$，给原式乘2再除以2凑出公式结构：
原式$=\frac{1}{2}×(3-1)×(3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3+1)=\frac{1}{2}×(3^n -1^n)=\frac{3^n -1}{2}$
【答案】
$a^2-b^2$；$a^3-b^3$；$a^4-b^4$
(1)$a^n - b^n$
(2)$2^n - 1$
(3)$\dfrac{3^n - 1}{2}$
【知识点】
多项式乘多项式；整式规律探究；代数式化简
【点评】
本题属于规律探究类题型，从基础的多项式运算出发总结通用规律，再迁移规律解决特殊的代数式计算问题，既考查了基础运算能力，也考查了观察归纳和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先运用多项式乘多项式的运算法则计算给出的前3个式子，观察计算结果和式子序号的对应关系，归纳总结出通用的运算规律；再将后续(2)(3)问的算式变形为符合规律的结构，直接套用规律计算即可得到结果，变形时注意凑出规律中$(a-b)$的因式。
【解析】
先计算前3个式子：
第1个：$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$
第2个：$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$
第3个：$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4=a^4-b^4$
(1)观察上述结果：当式子对应$n$（$n$为大于1的正整数）时，结果为$a$的$n$次方减$b$的$n$次方，故猜想结果为$a^n - b^n$。
(2)对比猜想的公式，令$a=2$，$b=1$，可得：
原式$=(2-1)×(2^{n-1}+2^{n-2}+\dots+2+1)=2^n - 1^n=2^n -1$
(3)令$a=3$，$b=1$，此时$(a-b)=3-1=2$，给原式乘2再除以2凑出公式结构：
原式$=\frac{1}{2}×(3-1)×(3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3+1)=\frac{1}{2}×(3^n -1^n)=\frac{3^n -1}{2}$
【答案】
$a^2-b^2$；$a^3-b^3$；$a^4-b^4$
(1)$a^n - b^n$
(2)$2^n - 1$
(3)$\dfrac{3^n - 1}{2}$
【知识点】
多项式乘多项式；整式规律探究；代数式化简
【点评】
本题属于规律探究类题型，从基础的多项式运算出发总结通用规律，再迁移规律解决特殊的代数式计算问题，既考查了基础运算能力，也考查了观察归纳和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
