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3. 一个正方体的表面积是 $ 2 4 \mathrm{~ m}^{2} $ ，如果棱长增加1m，那么体积就增加( )。
A.$ 3 \mathrm{~ m}^{3} $
B.$ 8 \mathrm{~ m}^{3} $
C.$ 1 9 \mathrm{~ m}^{3} $
D.$ 2 3 \mathrm{~ m}^{3} $
A.$ 3 \mathrm{~ m}^{3} $
B.$ 8 \mathrm{~ m}^{3} $
C.$ 1 9 \mathrm{~ m}^{3} $
D.$ 2 3 \mathrm{~ m}^{3} $
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先通过正方体的表面积求出原棱长，再分别计算原正方体和棱长增加后的正方体的体积，最后用新体积减去原体积得到体积增加量。具体思路如下：
1. 利用正方体表面积公式（表面积=6×棱长²），结合已知的表面积求出原正方体的棱长；
2. 根据正方体体积公式（体积=棱长³），分别计算原体积和棱长增加1m后的新体积；
3. 用新体积减去原体积，得到体积增加的数值，再对应选项选出答案。
【解析】
步骤1：求原正方体的棱长
设原正方体的棱长为$a$，根据正方体表面积公式$S=6a^2$，已知表面积$S=24\mathrm{m}^2$，则：
$6a^2=24$
两边同时除以6得：
$a^2=4$
因为棱长为正数，所以$a=2\mathrm{m}$。
步骤2：计算原正方体的体积
根据正方体体积公式$V=a^3$，原体积：
$V_1=2^3=8\mathrm{m}^3$
步骤3：计算棱长增加1m后的新正方体体积
新棱长为$2+1=3\mathrm{m}$，新体积：
$V_2=3^3=27\mathrm{m}^3$
步骤4：计算体积增加量
$\Delta V=V_2-V_1=27-8=19\mathrm{m}^3$
所以体积增加了$19\mathrm{m}^3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面积计算、正方体体积计算
【点评】
本题主要考查正方体表面积和体积公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握正方体的表面积与体积公式，通过表面积求出棱长后，再计算体积的变化量，过程中需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先通过正方体的表面积求出原棱长，再分别计算原正方体和棱长增加后的正方体的体积，最后用新体积减去原体积得到体积增加量。具体思路如下：
1. 利用正方体表面积公式（表面积=6×棱长²），结合已知的表面积求出原正方体的棱长；
2. 根据正方体体积公式（体积=棱长³），分别计算原体积和棱长增加1m后的新体积；
3. 用新体积减去原体积，得到体积增加的数值，再对应选项选出答案。
【解析】
步骤1：求原正方体的棱长
设原正方体的棱长为$a$，根据正方体表面积公式$S=6a^2$，已知表面积$S=24\mathrm{m}^2$，则：
$6a^2=24$
两边同时除以6得：
$a^2=4$
因为棱长为正数，所以$a=2\mathrm{m}$。
步骤2：计算原正方体的体积
根据正方体体积公式$V=a^3$，原体积：
$V_1=2^3=8\mathrm{m}^3$
步骤3：计算棱长增加1m后的新正方体体积
新棱长为$2+1=3\mathrm{m}$，新体积：
$V_2=3^3=27\mathrm{m}^3$
步骤4：计算体积增加量
$\Delta V=V_2-V_1=27-8=19\mathrm{m}^3$
所以体积增加了$19\mathrm{m}^3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面积计算、正方体体积计算
【点评】
本题主要考查正方体表面积和体积公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握正方体的表面积与体积公式，通过表面积求出棱长后，再计算体积的变化量，过程中需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
五、我会解答。
1. 一个正方体的棱长之和是60 dm，它的体积是多少立方分米？
1. 一个正方体的棱长之和是60 dm，它的体积是多少立方分米？
答案
1. 60÷12=5(dm) 5×5×5=125(dm³)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，正方体有12条长度完全相等的棱，已知棱长之和是60dm，用棱长总和除以12就能求出一条棱的长度；其次，根据正方体的体积公式“体积=棱长×棱长×棱长”，代入求出的棱长数值，即可计算出它的体积。
【解析】
1. 计算正方体的棱长：
因为正方体有12条相等的棱，所以棱长为$60÷12 = 5(\mathrm{dm})$
2. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$表示棱长），可得体积为$5×5×5 = 125(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
125立方分米
【知识点】
正方体棱长特征、正方体体积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正方体的基本特征和体积计算公式，只要牢记正方体棱的数量及体积公式，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，正方体有12条长度完全相等的棱，已知棱长之和是60dm，用棱长总和除以12就能求出一条棱的长度；其次，根据正方体的体积公式“体积=棱长×棱长×棱长”，代入求出的棱长数值，即可计算出它的体积。
【解析】
1. 计算正方体的棱长：
因为正方体有12条相等的棱，所以棱长为$60÷12 = 5(\mathrm{dm})$
2. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$表示棱长），可得体积为$5×5×5 = 125(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
125立方分米
【知识点】
正方体棱长特征、正方体体积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正方体的基本特征和体积计算公式，只要牢记正方体棱的数量及体积公式，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 某建筑工地要挖一个长为 50 m、宽为 40 m、深为 50 cm的长方体土坑，一共要挖出多少方的土？
答案
2. 50 cm=0.5 m
50×40×0.5=1000(m³)=1000(方)
50×40×0.5=1000(m³)=1000(方)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确挖出的土的体积等于长方体土坑的容积，也就是长方体的体积。首先需要统一单位，题目中长和宽的单位是米，深度是厘米，所以先把50厘米换算成米，再根据长方体体积公式“体积=长×宽×高”进行计算，最后因为1立方米就是1方，将计算结果的单位转换为方即可。
【解析】
1. 单位换算：因为$1m = 100cm$，所以$50cm = 50÷100 = 0.5m$
2. 计算长方体土坑体积：根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，代入数值可得
$50×40×0.5 = 1000(m³)$
3. 单位转换：由于$1立方米 = 1方$，所以$1000m³ = 1000方$
【答案】
1000方
【知识点】
长方体体积计算、长度单位换算
【点评】
本题是长方体体积的实际应用问题，解题核心是先统一单位，再正确运用长方体体积公式计算，侧重考察基础知识的掌握和实际应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先明确挖出的土的体积等于长方体土坑的容积，也就是长方体的体积。首先需要统一单位，题目中长和宽的单位是米，深度是厘米，所以先把50厘米换算成米，再根据长方体体积公式“体积=长×宽×高”进行计算，最后因为1立方米就是1方，将计算结果的单位转换为方即可。
【解析】
1. 单位换算：因为$1m = 100cm$，所以$50cm = 50÷100 = 0.5m$
2. 计算长方体土坑体积：根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，代入数值可得
$50×40×0.5 = 1000(m³)$
3. 单位转换：由于$1立方米 = 1方$，所以$1000m³ = 1000方$
【答案】
1000方
【知识点】
长方体体积计算、长度单位换算
【点评】
本题是长方体体积的实际应用问题，解题核心是先统一单位，再正确运用长方体体积公式计算，侧重考察基础知识的掌握和实际应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 爸爸制作一个棱长是2 dm的正方体无盖玻璃鱼缸，这个鱼缸需要多少平方分米的玻璃？这个鱼缸的体积是多少立方分米？
答案
3. 2×2×5=20(dm²) 2×2×2=8(dm³)
解析
【分析】
这道题包含两个问题，分别是求无盖正方体鱼缸所需玻璃的面积（即无盖正方体的表面积）和鱼缸的体积。首先分析表面积：正方体原本有6个完全相同的正方形面，无盖鱼缸缺少一个顶面，所以只需计算5个面的面积总和，每个面的面积为棱长×棱长，用单个面的面积乘5就能得到所需玻璃面积。然后分析体积：正方体体积的计算公式是棱长×棱长×棱长，直接代入棱长的数值计算即可得到鱼缸的体积。
【解析】
1. 计算所需玻璃的面积（无盖正方体的表面积）：
单个正方形面的面积：$2×2 = 4$（$dm²$）
无盖鱼缸共5个面，总面积为：$4×5 = 20$（$dm²$），即$2×2×5 = 20$（$dm²$）
2. 计算鱼缸的体积：
根据正方体体积公式$V=a³$（$a$为正方体棱长），将$a=2dm$代入公式：
$2×2×2 = 8$（$dm³$）
【答案】
需要20平方分米的玻璃，这个鱼缸的体积是8立方分米。
【知识点】
无盖正方体表面积计算、正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体表面积和体积在实际场景中的应用，解题核心是明确无盖鱼缸的表面积是5个面的面积之和，要准确区分表面积和体积的概念及计算公式，避免混淆二者的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
这道题包含两个问题，分别是求无盖正方体鱼缸所需玻璃的面积（即无盖正方体的表面积）和鱼缸的体积。首先分析表面积：正方体原本有6个完全相同的正方形面，无盖鱼缸缺少一个顶面，所以只需计算5个面的面积总和，每个面的面积为棱长×棱长，用单个面的面积乘5就能得到所需玻璃面积。然后分析体积：正方体体积的计算公式是棱长×棱长×棱长，直接代入棱长的数值计算即可得到鱼缸的体积。
【解析】
1. 计算所需玻璃的面积（无盖正方体的表面积）：
单个正方形面的面积：$2×2 = 4$（$dm²$）
无盖鱼缸共5个面，总面积为：$4×5 = 20$（$dm²$），即$2×2×5 = 20$（$dm²$）
2. 计算鱼缸的体积：
根据正方体体积公式$V=a³$（$a$为正方体棱长），将$a=2dm$代入公式：
$2×2×2 = 8$（$dm³$）
【答案】
需要20平方分米的玻璃，这个鱼缸的体积是8立方分米。
【知识点】
无盖正方体表面积计算、正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体表面积和体积在实际场景中的应用，解题核心是明确无盖鱼缸的表面积是5个面的面积之和，要准确区分表面积和体积的概念及计算公式，避免混淆二者的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
六、我会做。
把一个底面为正方形且边长是3dm，高是5dm的特殊长方体木料切去一部分，尽量加工为体积最大的正方体，则切去的木料体积是多少立方分米？
把一个底面为正方形且边长是3dm，高是5dm的特殊长方体木料切去一部分，尽量加工为体积最大的正方体，则切去的木料体积是多少立方分米？
答案
3×3×(5−3)=18(dm³)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：将该特殊长方体加工成体积最大的正方体，正方体的棱长不能超过长方体各边中最短的长度。已知长方体底面是边长3dm的正方形，高5dm，最短边为3dm，所以最大正方体的棱长为3dm。切去的部分是一个底面为边长3dm的正方形、高为（5-3）dm的小长方体，我们可以利用长方体体积公式（体积=底面积×高）计算切去木料的体积。
【解析】
1. 确定最大正方体的棱长：由于长方体底面正方形边长为3dm，高为5dm，正方体棱长需与长方体最短边一致，即棱长为3dm。
2. 计算切去部分的高：$5 - 3 = 2(dm)$
3. 计算切去木料的体积：
$\begin{aligned}&3×3×(5 - 3)\\=&9×2\\=&18(dm³)\end{aligned}$
【答案】
$18dm³$
【知识点】
长方体体积计算、正方体特征
【点评】
本题重点考查长方体与正方体的体积计算及正方体的特征，解题关键是准确确定最大正方体的棱长，进而分析出切去部分的尺寸，需要学生具备一定的空间想象能力，掌握基本的立体图形体积计算方法。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确：将该特殊长方体加工成体积最大的正方体，正方体的棱长不能超过长方体各边中最短的长度。已知长方体底面是边长3dm的正方形，高5dm，最短边为3dm，所以最大正方体的棱长为3dm。切去的部分是一个底面为边长3dm的正方形、高为（5-3）dm的小长方体，我们可以利用长方体体积公式（体积=底面积×高）计算切去木料的体积。
【解析】
1. 确定最大正方体的棱长：由于长方体底面正方形边长为3dm，高为5dm，正方体棱长需与长方体最短边一致，即棱长为3dm。
2. 计算切去部分的高：$5 - 3 = 2(dm)$
3. 计算切去木料的体积：
$\begin{aligned}&3×3×(5 - 3)\\=&9×2\\=&18(dm³)\end{aligned}$
【答案】
$18dm³$
【知识点】
长方体体积计算、正方体特征
【点评】
本题重点考查长方体与正方体的体积计算及正方体的特征，解题关键是准确确定最大正方体的棱长，进而分析出切去部分的尺寸，需要学生具备一定的空间想象能力，掌握基本的立体图形体积计算方法。
【难度系数】
0.7
