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1. 如图,一棵树在离地面5 m处折断,树的顶部落在离底部12 m处.树折断前高 （
A.10 m
B.15 m
C.17 m
D.18 m
D
）A.10 m
B.15 m
C.17 m
D.18 m
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，我们可以将问题转化为直角三角形模型求解：未折断的树干、地面、折断的树干恰好构成直角三角形，其中两条直角边分别是离地面的高度5m、树顶到树底部的水平距离12m。首先用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的5m，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意可知，树折断后形成的直角三角形的两条直角边长分别为5m、12m。
根据勾股定理，折断部分的长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（m）
树折断前的总高度为未折断部分与折断部分之和：
$5 + 13 = 18$（m）
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是将生活中的实际问题转化为直角三角形的数学模型，准确识别直角边和斜边后代入公式计算即可，注意不要遗漏未折断部分的长度。
【难度系数】
0.8
这是一道勾股定理的实际应用题，我们可以将问题转化为直角三角形模型求解：未折断的树干、地面、折断的树干恰好构成直角三角形，其中两条直角边分别是离地面的高度5m、树顶到树底部的水平距离12m。首先用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的5m，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意可知，树折断后形成的直角三角形的两条直角边长分别为5m、12m。
根据勾股定理，折断部分的长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（m）
树折断前的总高度为未折断部分与折断部分之和：
$5 + 13 = 18$（m）
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是将生活中的实际问题转化为直角三角形的数学模型，准确识别直角边和斜边后代入公式计算即可，注意不要遗漏未折断部分的长度。
【难度系数】
0.8
2.木工师傅要做一张长方形的桌面.完成后,量得桌面的长为100 cm,宽为80 cm,对角线为130 cm,则做出的这个桌面
不合格
.(填“合格”或“不合格”)答案
2.不合格
解析
【分析】
要判断长方形桌面是否合格，首先回忆长方形的性质：长方形的四个角均为直角，因此长、宽与对角线能构成直角三角形，满足勾股定理。解题思路为：分别计算长与宽的平方和、对角线的平方，比较两者是否相等，若相等则桌面合格，否则不合格。
【解析】
已知桌面长为100cm，宽为80cm，若桌面为合格的长方形，则长、宽、对角线需满足勾股定理，即：
$\mathrm{长}^2 + \mathrm{宽}^2 = \mathrm{对角线}^2$
先计算长与宽的平方和：
$100^2 + 80^2 = 10000 + 6400 = 16400$
再计算给出的对角线的平方：
$130^2 = 16900$
因为$16400 ≠ 16900$，不符合勾股定理，说明桌面的内角不是直角，因此这个桌面不合格。
【答案】
不合格
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生产生活中的基础应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的三边关系验证问题，侧重考察对基础定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.9
要判断长方形桌面是否合格，首先回忆长方形的性质：长方形的四个角均为直角，因此长、宽与对角线能构成直角三角形，满足勾股定理。解题思路为：分别计算长与宽的平方和、对角线的平方，比较两者是否相等，若相等则桌面合格，否则不合格。
【解析】
已知桌面长为100cm，宽为80cm，若桌面为合格的长方形，则长、宽、对角线需满足勾股定理，即：
$\mathrm{长}^2 + \mathrm{宽}^2 = \mathrm{对角线}^2$
先计算长与宽的平方和：
$100^2 + 80^2 = 10000 + 6400 = 16400$
再计算给出的对角线的平方：
$130^2 = 16900$
因为$16400 ≠ 16900$，不符合勾股定理，说明桌面的内角不是直角，因此这个桌面不合格。
【答案】
不合格
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生产生活中的基础应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的三边关系验证问题，侧重考察对基础定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.9
3. 一艘船由A港沿北偏东$60°$方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西$30°$方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为________km.
答案
3.50
解析
【分析】
解题时首先将实际航行问题转化为几何图形问题：先根据方向角的定义确定AB、BC两条线段的夹角大小，两个正北方向线互相平行，结合平行线的性质可推出∠ABC为直角，即△ABC是直角三角形，已知两条直角边的长度，直接应用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是A、C两港的距离。
【解析】
过A作正北方向射线AE，过B作正北方向射线BD，正北方向互相平行，因此$AE// BD$。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ EAB + ∠ ABD = 180°$，已知$∠ EAB=60°$，因此$∠ ABD=180°-60°=120°$。
又因为BC沿北偏西$30°$方向，即$∠ CBD=30°$，因此$∠ ABC=∠ ABD-∠ CBD=120°-30°=90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
已知$AB=30\mathrm{km}$，$BC=40\mathrm{km}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50(\mathrm{km})$
【答案】
50
【知识点】
方向角识别，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的应用，解题的核心是通过方向角的特征和平行线的性质确定三角形为直角三角形，再代入勾股定理计算即可，侧重考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先将实际航行问题转化为几何图形问题：先根据方向角的定义确定AB、BC两条线段的夹角大小，两个正北方向线互相平行，结合平行线的性质可推出∠ABC为直角，即△ABC是直角三角形，已知两条直角边的长度，直接应用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是A、C两港的距离。
【解析】
过A作正北方向射线AE，过B作正北方向射线BD，正北方向互相平行，因此$AE// BD$。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ EAB + ∠ ABD = 180°$，已知$∠ EAB=60°$，因此$∠ ABD=180°-60°=120°$。
又因为BC沿北偏西$30°$方向，即$∠ CBD=30°$，因此$∠ ABC=∠ ABD-∠ CBD=120°-30°=90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
已知$AB=30\mathrm{km}$，$BC=40\mathrm{km}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50(\mathrm{km})$
【答案】
50
【知识点】
方向角识别，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的应用，解题的核心是通过方向角的特征和平行线的性质确定三角形为直角三角形，再代入勾股定理计算即可，侧重考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
4.如图,学校高 17 m 的教学楼 AB 上有一块高 5 m 的校训宣传牌 AC,为美化环境,对校训宣传牌 AC 进行维护.一辆高 2 m 的工程车在教学楼前点 M 处,伸长 25 m 的云梯(云梯最长 25 m)刚好接触到 AC 的底部点 A 处.问工程车向教学楼方向行驶多少米,长 25 m 的云梯刚好接触到 AC 的顶部点 C 处?
答案
4.解:如答图,过点 D 作$DE⊥AB$于点 E.
由题意,得 $AE=AB-BE=17-2=15(\mathrm{m}),CE=AB+AC-BE=17+5-2=20(\mathrm{m})$,
在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中,由勾股定理,得 $DE^2=AD^2-AE^2= 25^2-15^2=20^2 ,\therefore DE=20\ \mathrm{m}.$
设 $DD'=x\ \mathrm{m}$,则 $D'E=(20-x)\mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ CED'$ 中,由勾股定理,得 $D'E^2+CE^2=CD'^2$,
即$(20-x)^2+20^2=25^2$,解得 $x=5(x=35$ 舍去).
答:工程车向教学楼方向行驶 5 m,长 25 m 的云梯刚好接触到 AC 的顶部点 C 处.
解析
【分析】
解决本题的核心是构造直角三角形，将实际问题转化为勾股定理的计算问题：首先工程车高度为2m，因此我们过云梯底部向教学楼AB作垂线，可得到两个分别对应云梯接触A点、C点的直角三角形。第一步先计算两个直角三角形的竖直边长：接触A点时，竖直高度为教学楼高度减去车高；接触C点时，竖直高度为教学楼加宣传牌的总高度减去车高。第二步利用勾股定理求出初始状态下云梯底部到教学楼的水平距离。第三步设工程车向教学楼行驶的距离为x，用含x的代数式表示移动后云梯底部到教学楼的水平距离，再结合勾股定理列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
如答图，过点D作$DE⊥AB$于点E。
由题意可知$BE=2\mathrm{m}$，$AD=CD'=25\mathrm{m}$，
则 $AE=AB-BE=17-2=15(\mathrm{m})$，$CE=AB+AC-BE=17+5-2=20(\mathrm{m})$，
在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中，由勾股定理，得 $DE^2=AD^2-AE^2= 25^2-15^2=400=20^2$，因此$DE=20\ \mathrm{m}$。
设工程车向教学楼方向行驶的距离$DD'=x\ \mathrm{m}$，则移动后云梯底部到教学楼的水平距离$D'E=(20-x)\mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ CED'$ 中，由勾股定理可得$D'E^2+CE^2=CD'^2$，
代入数据得：$(20-x)^2+20^2=25^2$，
整理得$(20-x)^2=225$，解得$x=5$或$x=35$，由于行驶距离不可能超过初始水平距离20m，因此$x=35$舍去。
【答案】
工程车向教学楼方向行驶$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处。
【知识点】
勾股定理；构造直角三角形；方程思想
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是通过作辅助线将实际场景转化为几何直角三角形模型，求解后要注意结合实际情况对根进行取舍，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是构造直角三角形，将实际问题转化为勾股定理的计算问题：首先工程车高度为2m，因此我们过云梯底部向教学楼AB作垂线，可得到两个分别对应云梯接触A点、C点的直角三角形。第一步先计算两个直角三角形的竖直边长：接触A点时，竖直高度为教学楼高度减去车高；接触C点时，竖直高度为教学楼加宣传牌的总高度减去车高。第二步利用勾股定理求出初始状态下云梯底部到教学楼的水平距离。第三步设工程车向教学楼行驶的距离为x，用含x的代数式表示移动后云梯底部到教学楼的水平距离，再结合勾股定理列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
如答图，过点D作$DE⊥AB$于点E。
由题意可知$BE=2\mathrm{m}$，$AD=CD'=25\mathrm{m}$，
则 $AE=AB-BE=17-2=15(\mathrm{m})$，$CE=AB+AC-BE=17+5-2=20(\mathrm{m})$，
在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中，由勾股定理，得 $DE^2=AD^2-AE^2= 25^2-15^2=400=20^2$，因此$DE=20\ \mathrm{m}$。
设工程车向教学楼方向行驶的距离$DD'=x\ \mathrm{m}$，则移动后云梯底部到教学楼的水平距离$D'E=(20-x)\mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ CED'$ 中，由勾股定理可得$D'E^2+CE^2=CD'^2$，
代入数据得：$(20-x)^2+20^2=25^2$，
整理得$(20-x)^2=225$，解得$x=5$或$x=35$，由于行驶距离不可能超过初始水平距离20m，因此$x=35$舍去。
【答案】
工程车向教学楼方向行驶$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处。
【知识点】
勾股定理；构造直角三角形；方程思想
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是通过作辅助线将实际场景转化为几何直角三角形模型，求解后要注意结合实际情况对根进行取舍，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
5. 如图,将一根长 24 cm 的筷子置于底面直径为 5 cm,高为 12 cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为 h,则 h 的取值范围是 （
A.$12\ \mathrm{cm}≤ h≤ 19\ \mathrm{cm}$
B.$12\ \mathrm{cm}≤ h≤ 13\ \mathrm{cm}$
C.$11\ \mathrm{cm}≤ h≤ 12\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}≤ h≤ 12\ \mathrm{cm}$
C
）A.$12\ \mathrm{cm}≤ h≤ 19\ \mathrm{cm}$
B.$12\ \mathrm{cm}≤ h≤ 13\ \mathrm{cm}$
C.$11\ \mathrm{cm}≤ h≤ 12\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}≤ h≤ 12\ \mathrm{cm}$
答案
5.C
解析
【分析】
要确定筷子露在外面的长度h的取值范围，需先明确h=筷子总长度-筷子在水杯内部的长度，因此只需找到杯内筷子长度的最大值和最小值即可：①当筷子竖直放在水杯中时，杯内筷子长度最短，对应h最大；②当筷子斜放，下端抵住杯底边缘、上端靠在杯口另一侧边缘时，杯内筷子长度最长，对应h最小，分别计算两种情况的数值即可得到h的范围。
【解析】
①求h的最大值：
当筷子竖直放置在水杯中时，杯内筷子长度等于水杯的高，为12cm，
此时露在外面的长度$h=24-12=12(\mathrm{cm})$，即h的最大值为12cm。
②求h的最小值：
当筷子斜放至杯内长度最长时，杯内筷子、水杯的高、水杯底面直径构成直角三角形，两条直角边长度分别为5cm（底面直径）、12cm（水杯高），
根据勾股定理，杯内筷子的长度为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13(\mathrm{cm})$，
此时露在外面的长度$h=24-13=11(\mathrm{cm})$，即h的最小值为11cm。
综上，h的取值范围是$11\ \mathrm{cm}≤ h≤ 12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，最值范围求解
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的典型习题，解题核心是找到两种临界放置状态，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
要确定筷子露在外面的长度h的取值范围，需先明确h=筷子总长度-筷子在水杯内部的长度，因此只需找到杯内筷子长度的最大值和最小值即可：①当筷子竖直放在水杯中时，杯内筷子长度最短，对应h最大；②当筷子斜放，下端抵住杯底边缘、上端靠在杯口另一侧边缘时，杯内筷子长度最长，对应h最小，分别计算两种情况的数值即可得到h的范围。
【解析】
①求h的最大值：
当筷子竖直放置在水杯中时，杯内筷子长度等于水杯的高，为12cm，
此时露在外面的长度$h=24-12=12(\mathrm{cm})$，即h的最大值为12cm。
②求h的最小值：
当筷子斜放至杯内长度最长时，杯内筷子、水杯的高、水杯底面直径构成直角三角形，两条直角边长度分别为5cm（底面直径）、12cm（水杯高），
根据勾股定理，杯内筷子的长度为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13(\mathrm{cm})$，
此时露在外面的长度$h=24-13=11(\mathrm{cm})$，即h的最小值为11cm。
综上，h的取值范围是$11\ \mathrm{cm}≤ h≤ 12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，最值范围求解
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的典型习题，解题核心是找到两种临界放置状态，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
6.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图，$AC=5$，$DC=1$，$BD=BA$，则$BC=$（
A.8
B.10
C.12
D.13
C
）A.8
B.10
C.12
D.13
答案
6.C
解析
【分析】我们可以将该问题转化为直角三角形的计算问题，首先明确△ACB是直角三角形，∠ACB=90°。已知BD=BA，DC=1，我们可以设水深BC的长度为未知数x，结合BD=BC+DC，就能用含x的式子表示出BA的长度，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出BC的长度。
【解析】设水深$ BC = x $，
∵ $ DC = 1 $，$ BD = BA $，且$ BD = BC + DC $，
∴ $ BA = BD = x + 1 $，
由图可知$ ∠ ACB = 90° $，即$ △ ACB $为直角三角形，
根据勾股定理可得：$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，
将$ AC=5 $、$ BC=x $、$ AB=x+1 $代入上式得：
$ 5^2 + x^2 = (x+1)^2 $
展开计算：$ 25 + x^2 = x^2 + 2x + 1 $
化简得：$ 2x = 24 $
解得：$ x = 12 $，即$ BC=12 $。
【答案】C
【知识点】勾股定理；方程思想应用
【点评】本题是经典的古代数学应用类问题，核心是将实际场景转化为直角三角形几何模型，抓住边长的等量关系设未知数，结合勾股定理列方程求解，考查了数学建模能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】0.7
【解析】设水深$ BC = x $，
∵ $ DC = 1 $，$ BD = BA $，且$ BD = BC + DC $，
∴ $ BA = BD = x + 1 $，
由图可知$ ∠ ACB = 90° $，即$ △ ACB $为直角三角形，
根据勾股定理可得：$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，
将$ AC=5 $、$ BC=x $、$ AB=x+1 $代入上式得：
$ 5^2 + x^2 = (x+1)^2 $
展开计算：$ 25 + x^2 = x^2 + 2x + 1 $
化简得：$ 2x = 24 $
解得：$ x = 12 $，即$ BC=12 $。
【答案】C
【知识点】勾股定理；方程思想应用
【点评】本题是经典的古代数学应用类问题，核心是将实际场景转化为直角三角形几何模型，抓住边长的等量关系设未知数，结合勾股定理列方程求解，考查了数学建模能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】0.7
