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10. 如图,在$△ ABC$中,D是边BC的中点,E是边AC的中点,连接AD,BE.
(1)若$CD=8$,$CE=6$,$AB=20$,求证:$∠ C=90°$;
(2)若$∠ C=90°$,$AD=13$,$AE=6$,求$△ ABC$的面积.
(1)若$CD=8$,$CE=6$,$AB=20$,求证:$∠ C=90°$;
(2)若$∠ C=90°$,$AD=13$,$AE=6$,求$△ ABC$的面积.
答案
10. (1)证明:$\because D$是边$BC$的中点,$E$是边$AC$的中点,$CD=8,CE=6$,$\therefore AC=2CE=12,BC=2CD=16$.
$\because AB=20,\therefore AB^2=AC^2+BC^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形,$\therefore ∠ C=90°$.
(2)解:$\because E$是边$AC$的中点,$AE=6$,
$\therefore AC=2AE=12$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$\because ∠ C=90°,AC=12,AD=13$,
$\therefore CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
$\therefore BC=2CD=10$,
$\therefore △ ABC$的面积为$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×12×10=60$.
$\because AB=20,\therefore AB^2=AC^2+BC^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形,$\therefore ∠ C=90°$.
(2)解:$\because E$是边$AC$的中点,$AE=6$,
$\therefore AC=2AE=12$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$\because ∠ C=90°,AC=12,AD=13$,
$\therefore CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
$\therefore BC=2CD=10$,
$\therefore △ ABC$的面积为$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×12×10=60$.
解析
【分析】
(1)要证明∠C=90°，可使用勾股定理的逆定理，只需验证△ABC的三边满足$AC^2+BC^2=AB^2$即可。已知D、E分别是BC、AC的中点，结合给出的CD、CE长度，先求出AC、BC的长度，再验证三边的平方关系即可完成证明。
(2)要求△ABC的面积，已知∠C=90°，只需求出两条直角边AC、BC的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。首先根据E是AC中点、AE=6求出AC的长度，再在Rt△ACD中利用勾股定理求出CD的长度，结合D是BC中点得到BC的长度，最后计算面积即可。
【解析】
(1)证明：
∵ D是边BC的中点，E是边AC的中点，$CD=8$，$CE=6$，
∴ $AC=2CE=12$，$BC=2CD=16$。
∵ $AB=20$，
∴ $AC^2+BC^2=12^2+16^2=400$，$AB^2=20^2=400$，即$AB^2=AC^2+BC^2$，
∴ △ABC是直角三角形，$\boldsymbol{∠C=90°}$。
(2)解：
∵ E是边AC的中点，$AE=6$，
∴ $AC=2AE=12$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠C=90°$，$AC=12$，$AD=13$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
∵ D是边BC的中点，
∴ $BC=2CD=10$。
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×12×10=60$。
【答案】
(1)已证$∠C=90°$；(2)$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{60}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，中点的性质
【点评】
本题是基础应用题，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是结合线段中点的性质得到相关线段长度，再代入对应定理完成证明或计算即可。
【难度系数】
0.8
(1)要证明∠C=90°，可使用勾股定理的逆定理，只需验证△ABC的三边满足$AC^2+BC^2=AB^2$即可。已知D、E分别是BC、AC的中点，结合给出的CD、CE长度，先求出AC、BC的长度，再验证三边的平方关系即可完成证明。
(2)要求△ABC的面积，已知∠C=90°，只需求出两条直角边AC、BC的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。首先根据E是AC中点、AE=6求出AC的长度，再在Rt△ACD中利用勾股定理求出CD的长度，结合D是BC中点得到BC的长度，最后计算面积即可。
【解析】
(1)证明：
∵ D是边BC的中点，E是边AC的中点，$CD=8$，$CE=6$，
∴ $AC=2CE=12$，$BC=2CD=16$。
∵ $AB=20$，
∴ $AC^2+BC^2=12^2+16^2=400$，$AB^2=20^2=400$，即$AB^2=AC^2+BC^2$，
∴ △ABC是直角三角形，$\boldsymbol{∠C=90°}$。
(2)解：
∵ E是边AC的中点，$AE=6$，
∴ $AC=2AE=12$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠C=90°$，$AC=12$，$AD=13$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
∵ D是边BC的中点，
∴ $BC=2CD=10$。
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×12×10=60$。
【答案】
(1)已证$∠C=90°$；(2)$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{60}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，中点的性质
【点评】
本题是基础应用题，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是结合线段中点的性质得到相关线段长度，再代入对应定理完成证明或计算即可。
【难度系数】
0.8
11. 如图，P 是等边$△ ABC$内一点，$PA=6$，$PB=8$，$PC=10$. 若$P'$是$△ ABC$外的一点，且$△ P'AB ≌ △ PAC$，求点 P 与点$P'$之间的距离及$∠ APB$的度数.
答案
11. 解:$\because △ PAC≌△ P'AB$,
$\therefore PA=P'A,PC=P'B,∠ P'AB=∠ PAC$,
$\therefore ∠ P'AP=∠ BAC=60°$,
$\therefore △ APP'$为等边三角形,
$\therefore PP'=AP=AP'=6$.
$\because PP'^2+BP^2=BP'^2$,
$\therefore △ BPP'$为直角三角形,且$∠ BPP'=90°$,
$\therefore ∠ APB=90°+60°=150°$.
$\therefore PA=P'A,PC=P'B,∠ P'AB=∠ PAC$,
$\therefore ∠ P'AP=∠ BAC=60°$,
$\therefore △ APP'$为等边三角形,
$\therefore PP'=AP=AP'=6$.
$\because PP'^2+BP^2=BP'^2$,
$\therefore △ BPP'$为直角三角形,且$∠ BPP'=90°$,
$\therefore ∠ APB=90°+60°=150°$.
解析
【分析】
解题时首先从已知的全等三角形条件入手，利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，结合等边△ABC内角为60°的特征，可推导出△APP'是等边三角形，就能求出P与P'的距离；再结合给出的PA、PB、PC的长度，通过勾股定理的逆定理判断△BPP'为直角三角形，最后通过角度和计算出∠APB的度数。
【解析】
解：$\because △ P'AB ≌ △ PAC$，
$\therefore PA=P'A$，$PC=P'B=10$，$∠ P'AB=∠ PAC$，
$\therefore ∠ P'AP=∠ P'AB + ∠ BAP = ∠ PAC + ∠ BAP = ∠ BAC$，
$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠BAC=60°$，即$∠P'AP=60°$，
又$\because PA=P'A$，
$\therefore △ APP'$为等边三角形，
$\therefore PP'=AP=6$，$∠APP'=60°$，
在$△BPP'$中，$PP'=6$，$PB=8$，$P'B=10$，
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$PP'^2 + BP^2 = BP'^2$，
$\therefore △ BPP'$为直角三角形，且$∠ BPP'=90°$，
$\therefore ∠ APB=∠APP' + ∠BPP' = 90°+60°=150°$。
【答案】
点P与点$P'$之间的距离为$\boldsymbol{6}$，$∠ APB$的度数为$\boldsymbol{150°}$。
【知识点】
全等三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何综合类习题，解题关键是借助全等三角形完成线段和角的转化，构造出特殊的等边三角形和直角三角形，再结合对应性质求解，能够有效考查学生对几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的全等三角形条件入手，利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，结合等边△ABC内角为60°的特征，可推导出△APP'是等边三角形，就能求出P与P'的距离；再结合给出的PA、PB、PC的长度，通过勾股定理的逆定理判断△BPP'为直角三角形，最后通过角度和计算出∠APB的度数。
【解析】
解：$\because △ P'AB ≌ △ PAC$，
$\therefore PA=P'A$，$PC=P'B=10$，$∠ P'AB=∠ PAC$，
$\therefore ∠ P'AP=∠ P'AB + ∠ BAP = ∠ PAC + ∠ BAP = ∠ BAC$，
$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠BAC=60°$，即$∠P'AP=60°$，
又$\because PA=P'A$，
$\therefore △ APP'$为等边三角形，
$\therefore PP'=AP=6$，$∠APP'=60°$，
在$△BPP'$中，$PP'=6$，$PB=8$，$P'B=10$，
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$PP'^2 + BP^2 = BP'^2$，
$\therefore △ BPP'$为直角三角形，且$∠ BPP'=90°$，
$\therefore ∠ APB=∠APP' + ∠BPP' = 90°+60°=150°$。
【答案】
点P与点$P'$之间的距离为$\boldsymbol{6}$，$∠ APB$的度数为$\boldsymbol{150°}$。
【知识点】
全等三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何综合类习题，解题关键是借助全等三角形完成线段和角的转化，构造出特殊的等边三角形和直角三角形，再结合对应性质求解，能够有效考查学生对几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12.王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：
$a=$
(2)猜想:以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形?并说明理由.
(3)请你观察下列四组勾股数:$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)$,分析其中的规律，直接写出第五组勾股数:
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：
$a=$
$n^2-1$
,$b=$$2n$
,$c=$$n^2+1$
.(2)猜想:以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形?并说明理由.
(3)请你观察下列四组勾股数:$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)$,分析其中的规律，直接写出第五组勾股数:
$(11,60,61)$
.答案
12. (1)$n^2-1$ $2n$ $n^2+1$
(2)解:猜想:以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
理由:$\because a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1$,
$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=c^2$,
$\therefore$以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
(3)$(11,60,61)$
(2)解:猜想:以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
理由:$\because a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1$,
$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=c^2$,
$\therefore$以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
(3)$(11,60,61)$
解析
【分析】
(1) 观察数表中a、b、c与对应n的取值关系：a的值为对应n的平方减1，b的值为对应n的2倍，c的值为对应n的平方加1，据此可直接写出含n的代数式；
(2) 判断以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形，依据勾股定理的逆定理，只需验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可；
(3) 观察给出的四组勾股数可发现规律：每组第一个数是连续的奇数，第二个数为$\frac{\mathrm{第一个数}^2-1}{2}$，第三个数比第二个数大1，根据规律即可写出第五组勾股数。
【解析】
(1) 观察数表：当n=2时，$a=2^2-1$，$b=4=2×2$，$c=2^2+1$；n=3时，$a=3^2-1$，$b=6=2×3$，$c=3^2+1$，以此类推，可得$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$（$n＞1$，n为自然数）。
(2) 猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形。
理由：$\because a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1$
$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$
又$\because c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$
$\therefore a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，以a,b,c为边的三角形是直角三角形。
(3) 观察已知勾股数，每组第一个数依次为3,5,7,9，是连续奇数，第五组第一个数为11；
第二个数为$\frac{11^2-1}{2}=\frac{121-1}{2}=60$，第三个数比第二个数大1，为$60+1=61$，因此第五组勾股数为$(11,60,61)$。
【答案】
(1)$n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)$(11,60,61)$
【知识点】
数字规律探究，勾股定理的逆定理，勾股数
【点评】
本题属于探究类题型，既考查了学生观察归纳数字规律的能力，又考查了勾股定理逆定理的实际应用，解题的核心是准确找到数字间的变化规律，再结合定理完成验证。
【难度系数】
0.7
(1) 观察数表中a、b、c与对应n的取值关系：a的值为对应n的平方减1，b的值为对应n的2倍，c的值为对应n的平方加1，据此可直接写出含n的代数式；
(2) 判断以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形，依据勾股定理的逆定理，只需验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可；
(3) 观察给出的四组勾股数可发现规律：每组第一个数是连续的奇数，第二个数为$\frac{\mathrm{第一个数}^2-1}{2}$，第三个数比第二个数大1，根据规律即可写出第五组勾股数。
【解析】
(1) 观察数表：当n=2时，$a=2^2-1$，$b=4=2×2$，$c=2^2+1$；n=3时，$a=3^2-1$，$b=6=2×3$，$c=3^2+1$，以此类推，可得$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$（$n＞1$，n为自然数）。
(2) 猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形。
理由：$\because a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1$
$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$
又$\because c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$
$\therefore a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，以a,b,c为边的三角形是直角三角形。
(3) 观察已知勾股数，每组第一个数依次为3,5,7,9，是连续奇数，第五组第一个数为11；
第二个数为$\frac{11^2-1}{2}=\frac{121-1}{2}=60$，第三个数比第二个数大1，为$60+1=61$，因此第五组勾股数为$(11,60,61)$。
【答案】
(1)$n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)$(11,60,61)$
【知识点】
数字规律探究，勾股定理的逆定理，勾股数
【点评】
本题属于探究类题型，既考查了学生观察归纳数字规律的能力，又考查了勾股定理逆定理的实际应用，解题的核心是准确找到数字间的变化规律，再结合定理完成验证。
【难度系数】
0.7
