登录
1. 如果一个角的补角是$150°$,那么这个角的余角的度数是 （
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
B
）A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确余角和补角的定义：互为补角的两个角度数之和为180°，互为余角的两个角度数之和为90°。我们可以先根据已知的补角度数求出这个角本身的度数，再用余角的定义计算出它的余角度数即可。
【解析】
设这个角的度数为$x$。
根据补角的定义，两个互补的角和为180°，可得：
$x + 150° = 180°$
解得：$x = 180° - 150° = 30°$
再根据余角的定义，两个互余的角和为90°，设这个角的余角为$y$，可得：
$y + 30° = 90°$
解得：$y = 90° - 30° = 60°$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；余角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，牢记互余、互补两角的数量关系是解题的核心，只要掌握相关定义就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确余角和补角的定义：互为补角的两个角度数之和为180°，互为余角的两个角度数之和为90°。我们可以先根据已知的补角度数求出这个角本身的度数，再用余角的定义计算出它的余角度数即可。
【解析】
设这个角的度数为$x$。
根据补角的定义，两个互补的角和为180°，可得：
$x + 150° = 180°$
解得：$x = 180° - 150° = 30°$
再根据余角的定义，两个互余的角和为90°，设这个角的余角为$y$，可得：
$y + 30° = 90°$
解得：$y = 90° - 30° = 60°$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；余角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，牢记互余、互补两角的数量关系是解题的核心，只要掌握相关定义就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
2. 如下左图,点 E 在 CD 的延长线上,下列条件中不能判定 $BD// AC$ 的是 (
A.$∠1=∠2$
B.$∠3=∠4$
C.$∠5=∠C$
D.$∠C+∠BDC=180°$
B
)A.$∠1=∠2$
B.$∠3=∠4$
C.$∠5=∠C$
D.$∠C+∠BDC=180°$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断哪个条件不能判定$BD// AC$，需结合平行线的判定定理（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行），逐个分析选项中的角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再判断能否推出$BD// AC$。判定$BD// AC$的前提是：找到的相等/互补的角，是直线$BD$和$AC$被第三条直线所截得到的同位角、内错角或同旁内角。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $∠1$和$∠2$是直线$AC$、$BD$被直线$AD$所截形成的内错角，若$∠1=∠2$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$BD// AC$，不符合题意；
B. $∠3$和$∠4$是直线$AB$、$CD$被直线$AD$所截形成的内错角，若$∠3=∠4$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CD$，无法得到$BD// AC$，符合题意；
C. $∠5$和$∠ C$是直线$AC$、$BD$被直线$CE$所截形成的同位角，若$∠5=∠ C$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$BD// AC$，不符合题意；
D. $∠ C$和$∠ BDC$是直线$AC$、$BD$被直线$CE$所截形成的同旁内角，若$∠ C+∠ BDC=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$BD// AC$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定
【点评】
本题解题的关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，明确每一组角对应的两条被截直线，避免混淆截线和被截线导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个条件不能判定$BD// AC$，需结合平行线的判定定理（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行），逐个分析选项中的角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再判断能否推出$BD// AC$。判定$BD// AC$的前提是：找到的相等/互补的角，是直线$BD$和$AC$被第三条直线所截得到的同位角、内错角或同旁内角。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $∠1$和$∠2$是直线$AC$、$BD$被直线$AD$所截形成的内错角，若$∠1=∠2$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$BD// AC$，不符合题意；
B. $∠3$和$∠4$是直线$AB$、$CD$被直线$AD$所截形成的内错角，若$∠3=∠4$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CD$，无法得到$BD// AC$，符合题意；
C. $∠5$和$∠ C$是直线$AC$、$BD$被直线$CE$所截形成的同位角，若$∠5=∠ C$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$BD// AC$，不符合题意；
D. $∠ C$和$∠ BDC$是直线$AC$、$BD$被直线$CE$所截形成的同旁内角，若$∠ C+∠ BDC=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$BD// AC$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定
【点评】
本题解题的关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，明确每一组角对应的两条被截直线，避免混淆截线和被截线导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3. [2024·安阳一模]如上右图,直线a,b被直线c所截,且$a// b$,a与c相交于点O,$OP⊥ a$于点O,$∠ 1=50°$,则$∠ 2$的度数为 （
A.$25°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
C
）A.$25°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知a//b，OP⊥a，∠1=50°，要求∠2的度数。首先根据平行线的性质，找到与∠1相等的同位角，再结合垂直的定义得到90°的直角，最后用直角减去已知的角度即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵a//b，∠1=50°
∴直线b与c相交形成的和∠1同位的锐角等于50°（两直线平行，同位角相等）
又
∵OP⊥a，且a//b
∴OP⊥b（垂直于平行线中一条直线的直线，也垂直于另一条直线），即OP与b的夹角为90°
∴∠2=90°-50°=40°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是几何基础题，侧重考察平行线性质和垂直定义的综合运用，解题核心是通过平行线的性质完成角度的等量转化，再结合直角的度数计算未知角，是平行线章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知a//b，OP⊥a，∠1=50°，要求∠2的度数。首先根据平行线的性质，找到与∠1相等的同位角，再结合垂直的定义得到90°的直角，最后用直角减去已知的角度即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵a//b，∠1=50°
∴直线b与c相交形成的和∠1同位的锐角等于50°（两直线平行，同位角相等）
又
∵OP⊥a，且a//b
∴OP⊥b（垂直于平行线中一条直线的直线，也垂直于另一条直线），即OP与b的夹角为90°
∴∠2=90°-50°=40°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是几何基础题，侧重考察平行线性质和垂直定义的综合运用，解题核心是通过平行线的性质完成角度的等量转化，再结合直角的度数计算未知角，是平行线章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
4. [2025·开封二模]如下左图,直线AB,CD相交于点E,∠CEF=90°.当∠AEC=57°时,∠BEF的度数为 (
A.33°
B.47°
C.57°
D.67°
A
)A.33°
B.47°
C.57°
D.67°
答案
4.A
解析
【分析】首先观察图形，直线AB为平角，平角度数为180°，可知∠AEC、∠CEF与∠BEF三个角的和为180°。题目已经给出∠CEF=90°，∠AEC=57°，直接利用角的和差关系代入计算即可求出∠BEF的度数。也可先根据对顶角相等求出∠BED的度数，再结合∠FED=90°计算∠BEF，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
解：
∵ 直线AB是平角，根据平角的定义，得∠AEB=180°
∴ ∠AEC + ∠CEF + ∠BEF = 180°
已知∠CEF=90°，∠AEC=57°，代入得：
∠BEF = 180° - ∠AEC - ∠CEF = 180° - 57° - 90° = 33°
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】平角的定义；角的和差计算
【点评】本题属于相交线相关的基础角度计算题，解题的核心是找准图形中角的和差关系，结合平角、直角的性质代入计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】0.8
【解析】
解：
∵ 直线AB是平角，根据平角的定义，得∠AEB=180°
∴ ∠AEC + ∠CEF + ∠BEF = 180°
已知∠CEF=90°，∠AEC=57°，代入得：
∠BEF = 180° - ∠AEC - ∠CEF = 180° - 57° - 90° = 33°
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】平角的定义；角的和差计算
【点评】本题属于相交线相关的基础角度计算题，解题的核心是找准图形中角的和差关系，结合平角、直角的性质代入计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】0.8
5. [2023·重庆A]如上右图，$AB// CD$，$AD⊥ AC$. 如果$∠ 1=55°$，那么$∠ 2$的度数为（
A.$35°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
A
）A.$35°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，第一步根据垂直的定义可得∠CAD=90°；第二步利用AB//CD的平行线性质，找到与∠1相等的内错角∠ADC；第三步结合三角形内角和为180°，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°（垂直的定义），
∵AB//CD，
∴∠1=∠ADC=55°（两直线平行，内错角相等），
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠2=180°-∠CAD-∠ADC=180°-90°-55°=35°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握平行线的性质和垂直的定义，准确识别图形中的角的位置关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，第一步根据垂直的定义可得∠CAD=90°；第二步利用AB//CD的平行线性质，找到与∠1相等的内错角∠ADC；第三步结合三角形内角和为180°，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°（垂直的定义），
∵AB//CD，
∴∠1=∠ADC=55°（两直线平行，内错角相等），
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠2=180°-∠CAD-∠ADC=180°-90°-55°=35°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握平行线的性质和垂直的定义，准确识别图形中的角的位置关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 有下列命题:①对顶角相等;②垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等.其中错误的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.C
解析
【分析】
要判断错误命题的个数，需逐个分析4个命题的真假，结合相交线、平行线的相关性质和判定规则，重点关注每个命题成立是否缺少必要的前提条件，逐一判断后统计错误命题的数量即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析命题的正确性：
1. 命题①：对顶角相等是对顶角的固有性质，该命题正确，不属于错误命题。
2. 命题②：只有在“同一平面内”的前提条件下，垂直于同一条直线的两直线才平行，该命题未说明前提，表述不成立，是错误命题。
3. 命题③：相等的角不一定是对顶角，例如两条平行线被第三条直线所截得到的同位角也相等，该命题表述错误。
4. 命题④：只有两条平行线被第三条直线所截时，同位角才相等，该命题未说明两直线平行的前提，表述错误。
综上，错误的命题有②③④，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；平行线的性质与判定；真假命题判断
【点评】
本题是相交线与平行线模块的基础题，易错点是容易忽略部分性质成立的前提条件，解题时要牢记相关定理的完整表述，不要漏看限定条件。
【难度系数】
0.7
要判断错误命题的个数，需逐个分析4个命题的真假，结合相交线、平行线的相关性质和判定规则，重点关注每个命题成立是否缺少必要的前提条件，逐一判断后统计错误命题的数量即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析命题的正确性：
1. 命题①：对顶角相等是对顶角的固有性质，该命题正确，不属于错误命题。
2. 命题②：只有在“同一平面内”的前提条件下，垂直于同一条直线的两直线才平行，该命题未说明前提，表述不成立，是错误命题。
3. 命题③：相等的角不一定是对顶角，例如两条平行线被第三条直线所截得到的同位角也相等，该命题表述错误。
4. 命题④：只有两条平行线被第三条直线所截时，同位角才相等，该命题未说明两直线平行的前提，表述错误。
综上，错误的命题有②③④，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；平行线的性质与判定；真假命题判断
【点评】
本题是相交线与平行线模块的基础题，易错点是容易忽略部分性质成立的前提条件，解题时要牢记相关定理的完整表述，不要漏看限定条件。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如图,两直线$ a,b $被第三条直线$ c $所截,若$ ∠1=55°, $
$ ∠2=125°, $则直线$ a,b $的位置关系是________,理由是
______.
1. 如图,两直线$ a,b $被第三条直线$ c $所截,若$ ∠1=55°, $
$ ∠2=125°, $则直线$ a,b $的位置关系是________,理由是
______.
答案
1. $a//b$ 同位角相等,两直线平行(第2个空答案不唯一)
解析
【分析】
要判断直线a、b的位置关系，需结合平行线的判定定理分析截线c与a、b形成的角的数量关系。首先观察角度条件，已知∠2=125°，可先求出∠2的邻补角度数，该角与∠1是同位角，对比其与∠1的度数，即可结合判定定理得到结论，也可通过寻找内错角、同旁内角的关系进行推导。
【解析】
首先计算∠2的邻补角（与∠1为同位角）的度数：
∵ 互为邻补角的两个角和为180°，∠2=125°
∴ ∠2的邻补角 = 180° - 125° = 55°
又
∵ ∠1=55°
∴ 该邻补角与∠1度数相等，二者为同位角
根据“同位角相等，两直线平行”，可得a//b。
（也可通过推导内错角相等或同旁内角互补证明平行，理由合理即可）
【答案】
$a// b$；同位角相等，两直线平行（答案不唯一）
【知识点】
邻补角的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线的判定方法，解题关键是结合角度计算找到截线所形成的对应角的数量关系，熟练掌握平行线的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断直线a、b的位置关系，需结合平行线的判定定理分析截线c与a、b形成的角的数量关系。首先观察角度条件，已知∠2=125°，可先求出∠2的邻补角度数，该角与∠1是同位角，对比其与∠1的度数，即可结合判定定理得到结论，也可通过寻找内错角、同旁内角的关系进行推导。
【解析】
首先计算∠2的邻补角（与∠1为同位角）的度数：
∵ 互为邻补角的两个角和为180°，∠2=125°
∴ ∠2的邻补角 = 180° - 125° = 55°
又
∵ ∠1=55°
∴ 该邻补角与∠1度数相等，二者为同位角
根据“同位角相等，两直线平行”，可得a//b。
（也可通过推导内错角相等或同旁内角互补证明平行，理由合理即可）
【答案】
$a// b$；同位角相等，两直线平行（答案不唯一）
【知识点】
邻补角的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线的判定方法，解题关键是结合角度计算找到截线所形成的对应角的数量关系，熟练掌握平行线的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
