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3. [2025·郑州二模]从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形.$AD// BC,BE// DC,BF$平分$∠ EBC$,交$AD$于点$G$.当$∠ 1=70°$时,$∠ 2$的度数为 （
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时我们可以顺着已知条件逐步推导：首先根据BE//DC的平行关系，结合∠1的度数求出∠EBC的度数；再利用BF是∠EBC的角平分线，算出∠FBC的度数；最后根据AD//BC的平行关系，得到∠2和∠FBC的等量关系，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ BE//DC，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠EBC = ∠1 = 70°，
∵ BF平分∠EBC，
∴ ∠FBC = $\frac{1}{2}$∠EBC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°，
又
∵ AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠2 = ∠FBC = 35°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中的电动伸缩门场景出题，考查基础的几何角度推导，解题的关键是准确识别平行线被截线形成的内错角，结合角平分线的定义逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以顺着已知条件逐步推导：首先根据BE//DC的平行关系，结合∠1的度数求出∠EBC的度数；再利用BF是∠EBC的角平分线，算出∠FBC的度数；最后根据AD//BC的平行关系，得到∠2和∠FBC的等量关系，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ BE//DC，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠EBC = ∠1 = 70°，
∵ BF平分∠EBC，
∴ ∠FBC = $\frac{1}{2}$∠EBC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°，
又
∵ AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠2 = ∠FBC = 35°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中的电动伸缩门场景出题，考查基础的几何角度推导，解题的关键是准确识别平行线被截线形成的内错角，结合角平分线的定义逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.8
4. 如下左图，$AC ⊥ BC, CD ⊥ AB$，则点 C 到直线 AB 的距离是线段（
A.$CA$ 的长
B.$CD$ 的长
C.$CB$ 的长
D.以上都不是
B
）A.$CA$ 的长
B.$CD$ 的长
C.$CB$ 的长
D.以上都不是
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做该点到这条直线的距离。解题时第一步先确定目标点和目标直线：本题目标点是C，目标直线是AB；第二步找C到AB的垂线段，已知CD⊥AB，即CD是点C到AB的垂线段，因此点C到AB的距离就是这条垂线段的长度，对应选项即可。
【解析】
根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
已知CD⊥AB，垂足为D，因此线段CD是点C到直线AB的垂线段，所以点C到直线AB的距离是线段CD的长。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确理解点到直线距离的定义，注意距离指的是垂线段的长度，而非垂线段本身，做题时要准确匹配对应点和直线的垂线段，避免混淆其他线段。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做该点到这条直线的距离。解题时第一步先确定目标点和目标直线：本题目标点是C，目标直线是AB；第二步找C到AB的垂线段，已知CD⊥AB，即CD是点C到AB的垂线段，因此点C到AB的距离就是这条垂线段的长度，对应选项即可。
【解析】
根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
已知CD⊥AB，垂足为D，因此线段CD是点C到直线AB的垂线段，所以点C到直线AB的距离是线段CD的长。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确理解点到直线距离的定义，注意距离指的是垂线段的长度，而非垂线段本身，做题时要准确匹配对应点和直线的垂线段，避免混淆其他线段。
【难度系数】
0.9
5. 如上右图,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2是 (
A.同位角
B.内错角
C.同旁内角
D.邻补角
C
)A.同位角
B.内错角
C.同旁内角
D.邻补角
答案
5. C
解析
【分析】
要判断∠1和∠2的类型，首先需要回忆各类角的定义和位置特征，结合三线八角的结构逐一排查选项：首先明确截线是c，被截线是a、b，先排除明显不符合的邻补角（需要有公共顶点），再依次核对同位角、内错角、同旁内角的位置特征即可得出结论。
【解析】
结合各选项对应角的特征，对照图形逐一判断：
1. 选项A（同位角）：同位角需在截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧，呈“F”型，∠1和∠2不符合该特征，排除；
2. 选项B（内错角）：内错角需在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，呈“Z”型，∠1和∠2在截线c的同旁，不符合特征，排除；
3. 选项C（同旁内角）：同旁内角需在截线的同旁，且夹在两条被截直线之间，呈“U”型，∠1和∠2在截线c的同一侧，且在直线a、b之间，符合该特征，正确；
4. 选项D（邻补角）：邻补角需要有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，∠1和∠2没有公共顶点，不符合特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
三线八角识别、同旁内角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三线八角中不同类型角的识别，只要牢记各类角的位置特征就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断∠1和∠2的类型，首先需要回忆各类角的定义和位置特征，结合三线八角的结构逐一排查选项：首先明确截线是c，被截线是a、b，先排除明显不符合的邻补角（需要有公共顶点），再依次核对同位角、内错角、同旁内角的位置特征即可得出结论。
【解析】
结合各选项对应角的特征，对照图形逐一判断：
1. 选项A（同位角）：同位角需在截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧，呈“F”型，∠1和∠2不符合该特征，排除；
2. 选项B（内错角）：内错角需在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，呈“Z”型，∠1和∠2在截线c的同旁，不符合特征，排除；
3. 选项C（同旁内角）：同旁内角需在截线的同旁，且夹在两条被截直线之间，呈“U”型，∠1和∠2在截线c的同一侧，且在直线a、b之间，符合该特征，正确；
4. 选项D（邻补角）：邻补角需要有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，∠1和∠2没有公共顶点，不符合特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
三线八角识别、同旁内角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三线八角中不同类型角的识别，只要牢记各类角的位置特征就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. [2024·郑州二模]要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是 （
A.$1+3=4$
B.$-1+3=2$
C.$0+3=3$
D.$-1+(-3)=-4$
D
）A.$1+3=4$
B.$-1+3=2$
C.$0+3=3$
D.$-1+(-3)=-4$
答案
6. D
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出反例即可，反例需要满足命题的条件（两个数相加），但不满足命题的结论（和不大于任意一个加数）。解题时先明确原命题的条件和结论，再逐一分析每个选项的运算结果，判断是否符合反例的要求即可。
【解析】
原命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于其中一个加数”，我们需要找到和小于等于所有加数的反例：
选项A：$1+3=4$，$4＞1$且$4＞3$，和大于两个加数，符合原命题结论，不是反例；
选项B：$-1+3=2$，$2＞-1$，和大于其中一个加数，符合原命题结论，不是反例；
选项C：$0+3=3$，$3＞0$，和大于其中一个加数，符合原命题结论，不是反例；
选项D：$-1+(-3)=-4$，$-4＜-1$且$-4＜-3$，和小于两个加数，不满足原命题结论，是反例。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
假命题的判定；有理数的加法运算
【点评】
本题考查假命题反例的选取方法，解题核心是明确反例需同时满足“符合命题条件、不符合命题结论”的要求，结合有理数加法的运算规律逐一排查就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，只需举出反例即可，反例需要满足命题的条件（两个数相加），但不满足命题的结论（和不大于任意一个加数）。解题时先明确原命题的条件和结论，再逐一分析每个选项的运算结果，判断是否符合反例的要求即可。
【解析】
原命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于其中一个加数”，我们需要找到和小于等于所有加数的反例：
选项A：$1+3=4$，$4＞1$且$4＞3$，和大于两个加数，符合原命题结论，不是反例；
选项B：$-1+3=2$，$2＞-1$，和大于其中一个加数，符合原命题结论，不是反例；
选项C：$0+3=3$，$3＞0$，和大于其中一个加数，符合原命题结论，不是反例；
选项D：$-1+(-3)=-4$，$-4＜-1$且$-4＜-3$，和小于两个加数，不满足原命题结论，是反例。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
假命题的判定；有理数的加法运算
【点评】
本题考查假命题反例的选取方法，解题核心是明确反例需同时满足“符合命题条件、不符合命题结论”的要求，结合有理数加法的运算规律逐一排查就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. [2024·广西]已知∠1与∠2是对顶角，∠1=35°，则$∠2= \underline{\qquad}°.$
1. [2024·广西]已知∠1与∠2是对顶角，∠1=35°，则$∠2= \underline{\qquad}°.$
答案
1. 35
解析
【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：已知∠1与∠2是对顶角，且∠1=35°，要求∠2的度数。我们首先回忆对顶角的核心性质：对顶角相等，只需利用该性质将已知角度代入，就能直接求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵∠1与∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质
∴∠2 = ∠1
又
∵∠1 = 35°
∴∠2 = 35°
【答案】
35
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考查对顶角性质的运用，熟记相关几何性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.95
拿到这道题首先梳理已知条件：已知∠1与∠2是对顶角，且∠1=35°，要求∠2的度数。我们首先回忆对顶角的核心性质：对顶角相等，只需利用该性质将已知角度代入，就能直接求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵∠1与∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质
∴∠2 = ∠1
又
∵∠1 = 35°
∴∠2 = 35°
【答案】
35
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考查对顶角性质的运用，熟记相关几何性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.95
2. 如图, 直线 $ a // b $, $ ∠ 1 = 54° $, 则 $ ∠ 2 = $
54
$ ° $, $ ∠ 3 = $ 126
$ ° $, $ ∠ 4 = $ 54
$ ° $.答案
2. 54 126 54
解析
【分析】
解题时可按照从已知到未知的顺序推导：1. 首先观察∠1与∠2的位置关系，二者是对顶角，根据对顶角相等可直接求出∠2的度数；2. 已知a//b，结合平行线的性质，可得到∠4与已知角的等量关系，求出∠4；3. 最后根据∠3与∠4是邻补角（或结合平行线同旁内角互补的性质），即可求出∠3的度数。
【解析】
1. 求∠2：
∵∠1与∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴∠2=∠1=54°；
2. 求∠4：
∵直线a//b，∠2和∠4是内错角，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠4=∠2=54°（也可直接由a//b，∠1和∠4是同位角，得∠4=∠1=54°）；
3. 求∠3：
∵∠3和∠4互为邻补角，二者和为180°，
∴∠3=180°-∠4=180°-54°=126°（也可由a//b，∠2和∠3是同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠3=180°-∠2=126°）。
【答案】
54；126；54
【知识点】
对顶角性质；平行线的性质；邻补角性质
【点评】
本题是基础的角度计算问题，主要考查平面几何中基础角的性质和平行线性质的应用，属于常规考点，只要能准确识别角的位置关系，牢记相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时可按照从已知到未知的顺序推导：1. 首先观察∠1与∠2的位置关系，二者是对顶角，根据对顶角相等可直接求出∠2的度数；2. 已知a//b，结合平行线的性质，可得到∠4与已知角的等量关系，求出∠4；3. 最后根据∠3与∠4是邻补角（或结合平行线同旁内角互补的性质），即可求出∠3的度数。
【解析】
1. 求∠2：
∵∠1与∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴∠2=∠1=54°；
2. 求∠4：
∵直线a//b，∠2和∠4是内错角，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠4=∠2=54°（也可直接由a//b，∠1和∠4是同位角，得∠4=∠1=54°）；
3. 求∠3：
∵∠3和∠4互为邻补角，二者和为180°，
∴∠3=180°-∠4=180°-54°=126°（也可由a//b，∠2和∠3是同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠3=180°-∠2=126°）。
【答案】
54；126；54
【知识点】
对顶角性质；平行线的性质；邻补角性质
【点评】
本题是基础的角度计算问题，主要考查平面几何中基础角的性质和平行线性质的应用，属于常规考点，只要能准确识别角的位置关系，牢记相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 命题“等角的余角相等”的题设是
两个角相等
，结论是它们的余角相等
.答案
3. 两个角相等 它们的余角相等
解析
【分析】
要确定命题的题设和结论，首先回忆命题的组成：命题由题设（已知条件）和结论（由已知条件推出的结果）两部分构成，通常可以把命题改写为“如果……那么……”的形式，“如果”后面的内容就是题设，“那么”后面的内容就是结论。我们只需要把“等角的余角相等”改写为规范的“如果……那么……”形式，就能分别找出题设和结论了。
【解析】
我们先将命题“等角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角相等，那么它们的余角相等。
根据命题结构的定义，“如果”后的部分为题设，即两个角相等；“那么”后的部分为结论，即它们的余角相等。
【答案】
两个角相等；它们的余角相等
【知识点】
1.命题的构成 2.余角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对命题结构的识别能力，解题的关键是熟练掌握将命题改写为“如果……那么……”形式的方法，就能快速准确区分题设和结论。
【难度系数】
0.8
要确定命题的题设和结论，首先回忆命题的组成：命题由题设（已知条件）和结论（由已知条件推出的结果）两部分构成，通常可以把命题改写为“如果……那么……”的形式，“如果”后面的内容就是题设，“那么”后面的内容就是结论。我们只需要把“等角的余角相等”改写为规范的“如果……那么……”形式，就能分别找出题设和结论了。
【解析】
我们先将命题“等角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角相等，那么它们的余角相等。
根据命题结构的定义，“如果”后的部分为题设，即两个角相等；“那么”后的部分为结论，即它们的余角相等。
【答案】
两个角相等；它们的余角相等
【知识点】
1.命题的构成 2.余角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对命题结构的识别能力，解题的关键是熟练掌握将命题改写为“如果……那么……”形式的方法，就能快速准确区分题设和结论。
【难度系数】
0.8
三、解答题
如图，$AB// CD$，$EF$交$AB$于点$G$，交$CD$于点$F$，$FH$平分$∠ EFD$，交$AB$于点$H$，$∠ AGE=50°$。求$∠ BHF$的度数。
如图，$AB// CD$，$EF$交$AB$于点$G$，交$CD$于点$F$，$FH$平分$∠ EFD$，交$AB$于点$H$，$∠ AGE=50°$。求$∠ BHF$的度数。
答案
解:$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ DFH+∠ BHF=180°$,
$∠ AGE=∠ CFE=50°$.
$\therefore ∠ EFD=180°-∠ CFE=130°$.
又$FH$平分$∠ EFD$,
$\therefore ∠ DFH=\dfrac{1}{2}∠ EFD=\dfrac{1}{2}×130°=65°$.
$\therefore ∠ BHF=180°-∠ DFH=115°$.
$\therefore ∠ DFH+∠ BHF=180°$,
$∠ AGE=∠ CFE=50°$.
$\therefore ∠ EFD=180°-∠ CFE=130°$.
又$FH$平分$∠ EFD$,
$\therefore ∠ DFH=\dfrac{1}{2}∠ EFD=\dfrac{1}{2}×130°=65°$.
$\therefore ∠ BHF=180°-∠ DFH=115°$.
解析
【分析】
拿到本题首先梳理已知条件：AB平行CD，FH平分∠EFD，∠AGE=50°。解题思路如下：第一步，根据平行线的同位角相等，可得到与∠AGE相等的同位角∠CFE，算出∠CFE的度数；第二步，∠CFE和∠EFD是邻补角，和为180°，由此求出∠EFD的度数；第三步，结合角平分线的定义，算出∠DFH的度数；第四步，根据平行线的同旁内角互补，∠DFH和∠BHF的和为180°，代入数值即可求出∠BHF的度数。
【解析】
解:
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ DFH+∠ BHF=180°$，$∠ AGE=∠ CFE=50°$.
$\therefore ∠ EFD=180°-∠ CFE=130°$.
又$\because FH$平分$∠ EFD$,
$\therefore ∠ DFH=\dfrac{1}{2}∠ EFD=\dfrac{1}{2}×130°=65°$.
$\therefore ∠ BHF=180°-∠ DFH=115°$.
【答案】
$115°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于几何角度计算的基础题，核心是结合平行线的性质和角平分线的定义推导角度关系，解题时要注意准确识别同位角、同旁内角的位置，避免找错对应角导致计算错误。
【难度系数】
0.7
拿到本题首先梳理已知条件：AB平行CD，FH平分∠EFD，∠AGE=50°。解题思路如下：第一步，根据平行线的同位角相等，可得到与∠AGE相等的同位角∠CFE，算出∠CFE的度数；第二步，∠CFE和∠EFD是邻补角，和为180°，由此求出∠EFD的度数；第三步，结合角平分线的定义，算出∠DFH的度数；第四步，根据平行线的同旁内角互补，∠DFH和∠BHF的和为180°，代入数值即可求出∠BHF的度数。
【解析】
解:
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ DFH+∠ BHF=180°$，$∠ AGE=∠ CFE=50°$.
$\therefore ∠ EFD=180°-∠ CFE=130°$.
又$\because FH$平分$∠ EFD$,
$\therefore ∠ DFH=\dfrac{1}{2}∠ EFD=\dfrac{1}{2}×130°=65°$.
$\therefore ∠ BHF=180°-∠ DFH=115°$.
【答案】
$115°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于几何角度计算的基础题，核心是结合平行线的性质和角平分线的定义推导角度关系，解题时要注意准确识别同位角、同旁内角的位置，避免找错对应角导致计算错误。
【难度系数】
0.7
