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3. [2025·平顶山模拟]函数$y=kx$与$y=-x+6$的图象如图所示,则不等式$-x+6≥ kx$的解集为
$x≤2$
.答案
3. $x≤2$
解析
【分析】
要解决这个不等式的解集问题，我们可以利用一次函数图象的几何意义来分析：不等式$-x+6≥ kx$的本质是函数$y=-x+6$的函数值大于等于$y=kx$的函数值，对应到图象上就是$y=-x+6$的图象位于$y=kx$图象上方（包括交点位置）的区域对应的x的取值范围。首先我们先确定两个函数图象交点的横坐标，从图中可以看到交点处的横坐标为2，接下来只需要判断在交点左侧还是右侧满足$y=-x+6$在上方即可。
【解析】
观察图象可知，函数$y=kx$与$y=-x+6$的交点的横坐标为$x=2$。
不等式$-x+6≥ kx$表示$y=-x+6$的函数值不小于$y=kx$的函数值，对应图象中$y=-x+6$的图象在$y=kx$图象上方（含交点）的部分。
由图象可得，当$x≤2$时，满足$y=-x+6$的图象在$y=kx$图象的上方或重合，因此不等式的解集为$x≤2$。
【答案】
$x≤2$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象、正比例函数的性质
【点评】
本题核心考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，解题的关键是明确函数值的大小关系与图象上下位置的对应关系，不需要复杂计算就能通过图象直接得到不等式的解集，是对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这个不等式的解集问题，我们可以利用一次函数图象的几何意义来分析：不等式$-x+6≥ kx$的本质是函数$y=-x+6$的函数值大于等于$y=kx$的函数值，对应到图象上就是$y=-x+6$的图象位于$y=kx$图象上方（包括交点位置）的区域对应的x的取值范围。首先我们先确定两个函数图象交点的横坐标，从图中可以看到交点处的横坐标为2，接下来只需要判断在交点左侧还是右侧满足$y=-x+6$在上方即可。
【解析】
观察图象可知，函数$y=kx$与$y=-x+6$的交点的横坐标为$x=2$。
不等式$-x+6≥ kx$表示$y=-x+6$的函数值不小于$y=kx$的函数值，对应图象中$y=-x+6$的图象在$y=kx$图象上方（含交点）的部分。
由图象可得，当$x≤2$时，满足$y=-x+6$的图象在$y=kx$图象的上方或重合，因此不等式的解集为$x≤2$。
【答案】
$x≤2$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象、正比例函数的性质
【点评】
本题核心考查数形结合思想在一次函数问题中的应用，解题的关键是明确函数值的大小关系与图象上下位置的对应关系，不需要复杂计算就能通过图象直接得到不等式的解集，是对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,一次函数 $ y=kx+b(k ≠ 0) $ 的图象由函数 $ y=x $ 的图象平移得到,且经过点 $ (1,2) $.
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)当 $ x＞1 $ 时,对于 $ x $ 的每一个值,函数 $ y=mx(m ≠ 0) $ 的值大于一次函数 $ y=kx+b $ 的值,直接写出 $ m $ 的取值范围.
1. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,一次函数 $ y=kx+b(k ≠ 0) $ 的图象由函数 $ y=x $ 的图象平移得到,且经过点 $ (1,2) $.
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)当 $ x＞1 $ 时,对于 $ x $ 的每一个值,函数 $ y=mx(m ≠ 0) $ 的值大于一次函数 $ y=kx+b $ 的值,直接写出 $ m $ 的取值范围.
答案
1. 解:(1)
∵ 一次函数 $ y=kx+b(k≠0) $ 的图象由函数 $ y=x $ 的图象平移得到,
∴ $ k=1 $.
∵ 一次函数 $ y=x+b $ 的图象经过点 $ (1,2) $,
∴ $ 1+b=2. ∴ b=1 $.
∴ 这个一次函数的解析式为 $ y=x+1 $.
(2)$ m≥2 $
∵ 一次函数 $ y=kx+b(k≠0) $ 的图象由函数 $ y=x $ 的图象平移得到,
∴ $ k=1 $.
∵ 一次函数 $ y=x+b $ 的图象经过点 $ (1,2) $,
∴ $ 1+b=2. ∴ b=1 $.
∴ 这个一次函数的解析式为 $ y=x+1 $.
(2)$ m≥2 $
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据一次函数的平移性质，平移过程中斜率k不变，由原函数y=x可直接确定k=1；再将已知点(1,2)代入含参数b的一次函数解析式，求解得到b的值，即可确定最终的一次函数解析式。
(2) 解题思路：要求x＞1时mx的值始终大于一次函数值，可先找临界位置x=1处的函数值，当x=1时一次函数值为2，若要x＞1时mx恒更大，需保证x=1处mx的取值不小于2，结合函数增长规律即可推导m的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象由函数 $y=x$ 的图象平移得到，一次函数平移时斜率k保持不变，
∴ $k=1$，即该一次函数解析式可写为 $y=x+b$。
将点 $(1,2)$ 代入 $y=x+b$，得：
$1+b=2$，解得 $b=1$，
∴ 这个一次函数的解析式为 $y=x+1$。
(2) 当 $x＞1$ 时，要求 $mx ＞ x+1$ 恒成立：
当 $x=1$ 时，一次函数 $y=x+1$ 的值为 $1+1=2$，若要 $x＞1$ 时 $mx$ 始终大于 $x+1$，则 $x=1$ 时需满足 $m×1 ≥ 2$，即 $m≥2$。
当 $m≥2$ 时，对任意 $x＞1$，都有 $mx≥2x=x+x＞x+1$，满足条件，因此m的取值范围为 $m≥2$。
【答案】
(1) $y=x+1$；(2) $m≥2$
【知识点】
一次函数平移性质，待定系数法求解析式，一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数的核心基础知识点，第一问属于常规基础题型，侧重对平移性质和待定系数法的应用考查；第二问需要结合临界位置分析恒成立条件，能有效考查学生对函数值大小关系的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先根据一次函数的平移性质，平移过程中斜率k不变，由原函数y=x可直接确定k=1；再将已知点(1,2)代入含参数b的一次函数解析式，求解得到b的值，即可确定最终的一次函数解析式。
(2) 解题思路：要求x＞1时mx的值始终大于一次函数值，可先找临界位置x=1处的函数值，当x=1时一次函数值为2，若要x＞1时mx恒更大，需保证x=1处mx的取值不小于2，结合函数增长规律即可推导m的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象由函数 $y=x$ 的图象平移得到，一次函数平移时斜率k保持不变，
∴ $k=1$，即该一次函数解析式可写为 $y=x+b$。
将点 $(1,2)$ 代入 $y=x+b$，得：
$1+b=2$，解得 $b=1$，
∴ 这个一次函数的解析式为 $y=x+1$。
(2) 当 $x＞1$ 时，要求 $mx ＞ x+1$ 恒成立：
当 $x=1$ 时，一次函数 $y=x+1$ 的值为 $1+1=2$，若要 $x＞1$ 时 $mx$ 始终大于 $x+1$，则 $x=1$ 时需满足 $m×1 ≥ 2$，即 $m≥2$。
当 $m≥2$ 时，对任意 $x＞1$，都有 $mx≥2x=x+x＞x+1$，满足条件，因此m的取值范围为 $m≥2$。
【答案】
(1) $y=x+1$；(2) $m≥2$
【知识点】
一次函数平移性质，待定系数法求解析式，一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数的核心基础知识点，第一问属于常规基础题型，侧重对平移性质和待定系数法的应用考查；第二问需要结合临界位置分析恒成立条件，能有效考查学生对函数值大小关系的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图反映的过程是小涛从家出发,去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小涛离家的距离.
(1)菜地离小涛家的距离是
(2)菜地离玉米地的距离是
(3)玉米地离小涛家的距离是
(1)菜地离小涛家的距离是
1.1
km,小涛走到菜地用了15
min,小涛给菜地浇水用了10
min.(2)菜地离玉米地的距离是
0.9
km,小涛给玉米地锄草用了18
min.(3)玉米地离小涛家的距离是
2
km,小涛从玉米地走回家的平均速度是多少？答案
2. (1)1.1 15 10
(2)0.9 18
(3)2 平均速度为 80 m/min.
(2)0.9 18
(3)2 平均速度为 80 m/min.
解析
【分析】
本题是结合函数图像的行程类问题，解题核心是明确图像横、纵轴的含义：横轴x表示时间，纵轴y表示小涛离家的距离；其中图像上升段对应小涛向离家更远的位置移动，水平段对应小涛在某地停留（浇水/锄草），下降段对应小涛从外地返回家。解题时只需对应每个问题找到图像上的相关坐标，结合时间差、距离差、平均速度公式计算即可。
【解析】
(1) 观察图像：第一段上升段终点坐标为(15,1.1)，说明菜地离小涛家的距离是1.1km，小涛走到菜地用时15min；
浇水对应第一段水平段，时间范围是15min~25min，浇水用时：$25-15=10\mathrm{min}$。
(2) 玉米地对应第二段上升段的终点，纵坐标为2km，因此菜地到玉米地的距离为：$2-1.1=0.9\mathrm{km}$；
锄草对应第二段水平段，时间范围是37min~55min，锄草用时：$55-37=18\mathrm{min}$。
(3) 玉米地对应的纵坐标为2km，因此玉米地离小涛家的距离是2km；
小涛从玉米地回家的用时为：$80-55=25\mathrm{min}$，路程换算单位后为$2\mathrm{km}=2000\mathrm{m}$，
根据平均速度公式$\mathrm{平均速度}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$，得平均速度为：$2000÷25=80\ \mathrm{m/min}$。
【答案】
(1)1.1；15；10
(2)0.9；18
(3)2；平均速度为 80 m/min
【知识点】
函数图像的应用；行程问题计算；平均速度求解
【点评】
本题侧重考查对实际场景函数图像的理解，需准确识别不同线段对应的运动状态，结合基础行程公式就能顺利解题，难度较低。
【难度系数】
0.85
本题是结合函数图像的行程类问题，解题核心是明确图像横、纵轴的含义：横轴x表示时间，纵轴y表示小涛离家的距离；其中图像上升段对应小涛向离家更远的位置移动，水平段对应小涛在某地停留（浇水/锄草），下降段对应小涛从外地返回家。解题时只需对应每个问题找到图像上的相关坐标，结合时间差、距离差、平均速度公式计算即可。
【解析】
(1) 观察图像：第一段上升段终点坐标为(15,1.1)，说明菜地离小涛家的距离是1.1km，小涛走到菜地用时15min；
浇水对应第一段水平段，时间范围是15min~25min，浇水用时：$25-15=10\mathrm{min}$。
(2) 玉米地对应第二段上升段的终点，纵坐标为2km，因此菜地到玉米地的距离为：$2-1.1=0.9\mathrm{km}$；
锄草对应第二段水平段，时间范围是37min~55min，锄草用时：$55-37=18\mathrm{min}$。
(3) 玉米地对应的纵坐标为2km，因此玉米地离小涛家的距离是2km；
小涛从玉米地回家的用时为：$80-55=25\mathrm{min}$，路程换算单位后为$2\mathrm{km}=2000\mathrm{m}$，
根据平均速度公式$\mathrm{平均速度}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$，得平均速度为：$2000÷25=80\ \mathrm{m/min}$。
【答案】
(1)1.1；15；10
(2)0.9；18
(3)2；平均速度为 80 m/min
【知识点】
函数图像的应用；行程问题计算；平均速度求解
【点评】
本题侧重考查对实际场景函数图像的理解，需准确识别不同线段对应的运动状态，结合基础行程公式就能顺利解题，难度较低。
【难度系数】
0.85
