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6.木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释，如画角平分线。如图，在∠AOB的两边分别取OM=ON，将无弹性的绳子对折标记折痕(即绳子中点P)，将绳子两端分别固定在点M，N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面∠AOB内，则OP平分∠AOB。原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出∠AOP=∠BOP。这里三角形全等的判定方法是（
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
A
）A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
答案
6.A
解析
【分析】
要确定本题所用的三角形全等判定方法，首先梳理已知的相等条件：首先题目明确给出OM=ON；绳子对折后的折痕为中点P，说明绳子两端到P的长度相等，即PM=PN；另外OP是△OMP和△ONP的公共边，因此OP=OP。两个三角形三组对应边均相等，对应全等判定规则即可推出答案。
【解析】
在$△ OMP$和$△ ONP$中：
$\begin{cases}OM=ON（题干已知）\\PM=PN（P为绳子中点，对折后两段绳长相等）\\OP=OP（公共边，长度相等）\end{cases}$
因此$△ OMP ≌ △ ONP$（SSS），根据全等三角形对应角相等可得$∠ AOP=∠ BOP$，所用全等判定方法为SSS。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定定理，公共边性质，全等三角形性质
【点评】
本题结合生活实际场景考察全等三角形判定的应用，解题核心是从题干描述中提取出三组对应边相等的条件，匹配对应的判定定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
要确定本题所用的三角形全等判定方法，首先梳理已知的相等条件：首先题目明确给出OM=ON；绳子对折后的折痕为中点P，说明绳子两端到P的长度相等，即PM=PN；另外OP是△OMP和△ONP的公共边，因此OP=OP。两个三角形三组对应边均相等，对应全等判定规则即可推出答案。
【解析】
在$△ OMP$和$△ ONP$中：
$\begin{cases}OM=ON（题干已知）\\PM=PN（P为绳子中点，对折后两段绳长相等）\\OP=OP（公共边，长度相等）\end{cases}$
因此$△ OMP ≌ △ ONP$（SSS），根据全等三角形对应角相等可得$∠ AOP=∠ BOP$，所用全等判定方法为SSS。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定定理，公共边性质，全等三角形性质
【点评】
本题结合生活实际场景考察全等三角形判定的应用，解题核心是从题干描述中提取出三组对应边相等的条件，匹配对应的判定定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
7. 如图。
(1)连接AD后，当AD=
(2)连接BC后，当AB=
(1)连接AD后，当AD=
DA
，AB=DC
，BD=CA
时，可用“SSS”推得△ABD≌△DCA；(2)连接BC后，当AB=
DC
，BC=CB
，AC=DB
时，可推得△ABC≌△DCB。答案
7.(1)DA DC CA (2)DC CB DB
解析
【分析】
解题用到三角形全等的SSS判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。解题时先明确要判定全等的两个三角形，分别列出两个三角形的三条边，再按照对应边相等的原则填空即可，注意两个三角形的公共边是天然的相等对应边。
【解析】
(1) 要使用“SSS”推得△ABD≌△DCA，需要两个三角形的三组对应边分别相等：
△ABD的三条边为AD、AB、BD，△DCA的三条边为DA、DC、CA，其中AD和DA是两个三角形的公共边，因此当AD=DA，AB=DC，BD=CA时，满足三边对应相等，可通过SSS判定全等。
(2) 要推得△ABC≌△DCB，同样依据SSS判定规则：
△ABC的三条边为AB、BC、AC，△DCB的三条边为DC、CB、DB，其中BC和CB是公共边，因此当AB=DC，BC=CB，AC=DB时，满足三边对应相等，可判定全等。
【答案】
(1) DA；DC；CA
(2) DC；CB；DB
【知识点】
SSS判定全等；公共边性质；对应边识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心是掌握SSS判定的条件，解题时要准确匹配两个三角形的对应边，注意公共边本身就相等这一隐含条件，避免混淆对应关系出错。
【难度系数】
0.9
解题用到三角形全等的SSS判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。解题时先明确要判定全等的两个三角形，分别列出两个三角形的三条边，再按照对应边相等的原则填空即可，注意两个三角形的公共边是天然的相等对应边。
【解析】
(1) 要使用“SSS”推得△ABD≌△DCA，需要两个三角形的三组对应边分别相等：
△ABD的三条边为AD、AB、BD，△DCA的三条边为DA、DC、CA，其中AD和DA是两个三角形的公共边，因此当AD=DA，AB=DC，BD=CA时，满足三边对应相等，可通过SSS判定全等。
(2) 要推得△ABC≌△DCB，同样依据SSS判定规则：
△ABC的三条边为AB、BC、AC，△DCB的三条边为DC、CB、DB，其中BC和CB是公共边，因此当AB=DC，BC=CB，AC=DB时，满足三边对应相等，可判定全等。
【答案】
(1) DA；DC；CA
(2) DC；CB；DB
【知识点】
SSS判定全等；公共边性质；对应边识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心是掌握SSS判定的条件，解题时要准确匹配两个三角形的对应边，注意公共边本身就相等这一隐含条件，避免混淆对应关系出错。
【难度系数】
0.9
8.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠DAC,请补充一个条件:
AB=AD(答案不唯一)
,使△ABC≌△ADC。答案
8.AB=AD(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确要证明全等的两个三角形是△ABC和△ADC，先梳理已有的相等条件：题目已知∠BAC=∠DAC，观察图形可得AC是两个三角形的公共边，因此AC=AC。此时已经具备一组角相等、一组边相等，结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），补充对应缺少的相等条件即可：若用SAS判定，可补充夹等角的另一组边相等，即AB=AD；若用ASA判定，可补充夹公共边的另一组角相等，即∠ACB=∠ACD；若用AAS判定，可补充另一组对应角相等，即∠B=∠D，任选其一即可，最常见的补充条件为AB=AD。
【解析】
要证明△ABC≌△ADC，现有已知条件：
① ∠BAC=∠DAC（题目给出）
② AC=AC（公共边相等）
若补充条件AB=AD，在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠ BAC=∠ DAC\\AC=AC\end{array} $
根据边角边（SAS）全等判定定理，可推出△ABC≌△ADC。
（补充∠B=∠D、∠ACB=∠ACD也可满足要求，答案不唯一）
【答案】
AB=AD（答案不唯一）
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 公共边的性质
【点评】
本题属于条件开放类题目，重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，需要结合已知条件和图形隐含的公共边条件，补充符合判定规则的条件即可，解题时注意避免使用SSA这类错误的判定依据。
【难度系数】
0.8
首先明确要证明全等的两个三角形是△ABC和△ADC，先梳理已有的相等条件：题目已知∠BAC=∠DAC，观察图形可得AC是两个三角形的公共边，因此AC=AC。此时已经具备一组角相等、一组边相等，结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），补充对应缺少的相等条件即可：若用SAS判定，可补充夹等角的另一组边相等，即AB=AD；若用ASA判定，可补充夹公共边的另一组角相等，即∠ACB=∠ACD；若用AAS判定，可补充另一组对应角相等，即∠B=∠D，任选其一即可，最常见的补充条件为AB=AD。
【解析】
要证明△ABC≌△ADC，现有已知条件：
① ∠BAC=∠DAC（题目给出）
② AC=AC（公共边相等）
若补充条件AB=AD，在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠ BAC=∠ DAC\\AC=AC\end{array} $
根据边角边（SAS）全等判定定理，可推出△ABC≌△ADC。
（补充∠B=∠D、∠ACB=∠ACD也可满足要求，答案不唯一）
【答案】
AB=AD（答案不唯一）
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 公共边的性质
【点评】
本题属于条件开放类题目，重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，需要结合已知条件和图形隐含的公共边条件，补充符合判定规则的条件即可，解题时注意避免使用SSA这类错误的判定依据。
【难度系数】
0.8
9. 如图，∠ACB=∠CAD，添加条件
∠B=∠D
，可用“AAS”直接证明△ACB≌△CAD。答案
9.∠B=∠D
解析
【分析】
要使用“AAS”证明△ACB≌△CAD，首先明确AAS的判定规则：两个三角形有两组角分别相等，且其中一组等角的对边相等，即可判定全等。首先整理现有条件：题目已给出∠ACB=∠CAD，同时两个三角形有公共边AC=CA。若用AAS判定，需要补充另一组非夹边的角相等（若补充夹边对应的角相等则属于ASA判定），也就是AC边在两个三角形中分别对应的角∠B和∠D相等，即可满足AAS的判定要求。
【解析】
在△ACB和△CAD中：
已知∠ACB=∠CAD，公共边AC=CA，
若添加条件∠B=∠D，可得：
$\begin{cases}∠B=∠D \\∠ACB=∠CAD \\AC=CA\end{cases}$
完全符合“AAS”的全等判定条件，可直接证明△ACB≌△CAD。
【答案】
∠B=∠D
【知识点】
AAS判定全等，公共边性质
【点评】
本题考查全等三角形AAS判定定理的应用，解题时需要准确区分不同全等判定定理的条件，利用好图形隐含的公共边条件，区分开AAS和ASA的判定差异即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要使用“AAS”证明△ACB≌△CAD，首先明确AAS的判定规则：两个三角形有两组角分别相等，且其中一组等角的对边相等，即可判定全等。首先整理现有条件：题目已给出∠ACB=∠CAD，同时两个三角形有公共边AC=CA。若用AAS判定，需要补充另一组非夹边的角相等（若补充夹边对应的角相等则属于ASA判定），也就是AC边在两个三角形中分别对应的角∠B和∠D相等，即可满足AAS的判定要求。
【解析】
在△ACB和△CAD中：
已知∠ACB=∠CAD，公共边AC=CA，
若添加条件∠B=∠D，可得：
$\begin{cases}∠B=∠D \\∠ACB=∠CAD \\AC=CA\end{cases}$
完全符合“AAS”的全等判定条件，可直接证明△ACB≌△CAD。
【答案】
∠B=∠D
【知识点】
AAS判定全等，公共边性质
【点评】
本题考查全等三角形AAS判定定理的应用，解题时需要准确区分不同全等判定定理的条件，利用好图形隐含的公共边条件，区分开AAS和ASA的判定差异即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10.如图,已知∠B=∠E=90°,AC⊥CD,点B,C,E在一条直线上。若∠D=62°,则∠A=
28°
。答案
10.28°
解析
【分析】
要求∠A的度数，我们可以从已知的直角和垂直条件入手：首先在Rt△CDE中利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数，再结合平角的定义和AC⊥CD的条件，得到∠ACB与∠DCE互余，最后在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余的性质，推出∠A和∠DCE相等，即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 在$△ CDE$中，$∠ E=90°$，$∠ D=62°$，根据直角三角形两个锐角互余，可得：
$∠ DCE = 90° - ∠ D = 90° - 62° = 28°$
2. 已知$AC⊥ CD$，所以$∠ ACD=90°$。
又因为点$B,C,E$在同一条直线上，$∠ BCE$是平角，即$∠ BCE=180°$，因此：
$∠ ACB + ∠ ACD + ∠ DCE = 180°$
代入$∠ ACD=90°$，得$∠ ACB + ∠ DCE = 90°$
3. 在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据直角三角形两个锐角互余，可得：
$∠ A + ∠ ACB = 90°$
4. 结合$∠ ACB + ∠ DCE = 90°$和$∠ A + ∠ ACB = 90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ A = ∠ DCE = 28°$
【答案】
$28°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，平角的定义，同角的余角相等
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是梳理清楚图中各角度的互余、和差关系，熟练运用直角三角形和平角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求∠A的度数，我们可以从已知的直角和垂直条件入手：首先在Rt△CDE中利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数，再结合平角的定义和AC⊥CD的条件，得到∠ACB与∠DCE互余，最后在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余的性质，推出∠A和∠DCE相等，即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 在$△ CDE$中，$∠ E=90°$，$∠ D=62°$，根据直角三角形两个锐角互余，可得：
$∠ DCE = 90° - ∠ D = 90° - 62° = 28°$
2. 已知$AC⊥ CD$，所以$∠ ACD=90°$。
又因为点$B,C,E$在同一条直线上，$∠ BCE$是平角，即$∠ BCE=180°$，因此：
$∠ ACB + ∠ ACD + ∠ DCE = 180°$
代入$∠ ACD=90°$，得$∠ ACB + ∠ DCE = 90°$
3. 在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据直角三角形两个锐角互余，可得：
$∠ A + ∠ ACB = 90°$
4. 结合$∠ ACB + ∠ DCE = 90°$和$∠ A + ∠ ACB = 90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ A = ∠ DCE = 28°$
【答案】
$28°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，平角的定义，同角的余角相等
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是梳理清楚图中各角度的互余、和差关系，熟练运用直角三角形和平角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.已知△ABC中，∠C=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠A，求△ABC各个角的度数。
答案
解:根据题意,得∠B=2∠C,∠A=3∠C,
所以∠C+2∠C+3∠C=180°,
解得∠C=30°,所以∠B=60°,∠A=90°。
所以∠C+2∠C+3∠C=180°,
解得∠C=30°,所以∠B=60°,∠A=90°。
解析
【分析】
本题可利用三角形内角和为180°的性质求解。首先根据题目给出的三个角的数量关系，将∠A、∠B都用∠C表示，再把三个角代入三角形内角和公式，即可列出关于∠C的等式，求解出∠C的度数后，进一步计算∠B和∠A的度数即可。
【解析】
解：由题意$∠ C=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ A$，可得：
$∠ B=2∠ C$，$∠ A=3∠ C$
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
将$∠ A=3∠ C$，$∠ B=2∠ C$代入上式得：
$3∠ C + 2∠ C + ∠ C = 180°$
合并同类项得：$6∠ C=180°$
解得：$∠ C=30°$
所以$∠ B=2∠ C=2×30°=60°$，$∠ A=3∠ C=3×30°=90°$
【答案】
$∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理 2. 等量代换 3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是通过已知的角度比例关系将多个未知角转化为同一个未知角，结合三角形内角和定理列等式计算，解题思路清晰，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题可利用三角形内角和为180°的性质求解。首先根据题目给出的三个角的数量关系，将∠A、∠B都用∠C表示，再把三个角代入三角形内角和公式，即可列出关于∠C的等式，求解出∠C的度数后，进一步计算∠B和∠A的度数即可。
【解析】
解：由题意$∠ C=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ A$，可得：
$∠ B=2∠ C$，$∠ A=3∠ C$
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
将$∠ A=3∠ C$，$∠ B=2∠ C$代入上式得：
$3∠ C + 2∠ C + ∠ C = 180°$
合并同类项得：$6∠ C=180°$
解得：$∠ C=30°$
所以$∠ B=2∠ C=2×30°=60°$，$∠ A=3∠ C=3×30°=90°$
【答案】
$∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理 2. 等量代换 3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是通过已知的角度比例关系将多个未知角转化为同一个未知角，结合三角形内角和定理列等式计算，解题思路清晰，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
12.如图，△ABC≌△EBD，∠1与∠2相等吗？请说明理由。
第12题图
第12题图答案
解:∠1=∠2。理由如下:由△ABC≌△EBD,得∠A=∠E;由三角形内角和定理,得∠A+∠AOD+∠1=∠E+∠EOB+∠2=180°。又因为∠AOD=∠EOB,所以∠1=∠2。
解析
【分析】
要判断∠1和∠2是否相等，首先结合已知的△ABC≌△EBD，根据全等三角形的性质可得到对应角∠A=∠E；再观察∠1、∠2所在的三角形，∠1在△AOD中，∠2在△EOB中，两个三角形有一组对顶角∠AOD和∠EOB，二者是相等的；最后结合三角形内角和为180°，通过等量代换即可推出∠1和∠2的大小关系。
【解析】
∠1=∠2，理由如下：
∵△ABC≌△EBD，根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠A=∠E。
根据三角形内角和定理，在△AOD中有∠A+∠AOD+∠1=180°，在△EOB中有∠E+∠EOB+∠2=180°。
又
∵∠AOD与∠EOB是对顶角，
∴∠AOD=∠EOB。
通过等量代换可推出∠1=∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，注重对基础几何性质的综合应用考查，解题的关键是先从全等三角形入手得到等角，再结合内角和与对顶角相等的性质完成等量推导，整体逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
要判断∠1和∠2是否相等，首先结合已知的△ABC≌△EBD，根据全等三角形的性质可得到对应角∠A=∠E；再观察∠1、∠2所在的三角形，∠1在△AOD中，∠2在△EOB中，两个三角形有一组对顶角∠AOD和∠EOB，二者是相等的；最后结合三角形内角和为180°，通过等量代换即可推出∠1和∠2的大小关系。
【解析】
∠1=∠2，理由如下：
∵△ABC≌△EBD，根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠A=∠E。
根据三角形内角和定理，在△AOD中有∠A+∠AOD+∠1=180°，在△EOB中有∠E+∠EOB+∠2=180°。
又
∵∠AOD与∠EOB是对顶角，
∴∠AOD=∠EOB。
通过等量代换可推出∠1=∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，注重对基础几何性质的综合应用考查，解题的关键是先从全等三角形入手得到等角，再结合内角和与对顶角相等的性质完成等量推导，整体逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
