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11. 已知$ a $，$ b $，$ c $分别为三角形的三边长，且关于$ x $的方程$ a(x^2 - 1) - 2cx + b(x^2 + 1) = 0 $有两个相等的实数根，试判断该三角形的形状.
答案
11. 直角三角形
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先将给定的关于x的方程整理为一元二次方程的标准形式，合并同类项区分二次项、一次项和常数项；2. 由方程有两个相等的实数根，联想到一元二次方程根的判别式Δ=0的性质，同时结合三角形边长均为正数的隐含条件，确认二次项系数不为0，符合判别式的使用前提；3. 代入判别式得到三边的关系式，化简后结合勾股定理的逆定理即可判断三角形形状。
【解析】
首先整理方程：
将方程$a(x^2 - 1) - 2cx + b(x^2 + 1) = 0$展开并合并同类项：
$ax^2 - a - 2cx + bx^2 + b = 0$
$(a+b)x^2 - 2cx + (b - a) = 0$
∵a、b为三角形的三边长，
∴$a＞0$，$b＞0$，即$a+b≠0$，该方程为一元二次方程。
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta=(-2c)^2 - 4(a+b)(b - a) = 0$
化简得：
$4c^2 - 4(b^2 - a^2) = 0$
两边同时除以4：
$c^2 - b^2 + a^2 = 0$
即$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，边长满足两边平方和等于第三边平方的三角形为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 勾股定理的逆定理 3. 整式化简
【点评】
本题是代数与几何的综合应用题，既考查了一元二次方程根的判别式的应用，也考查了利用勾股定理逆定理判断三角形形状的方法，解题时需注意整式化简时的符号问题，同时不要忽略三角形边长为正的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先将给定的关于x的方程整理为一元二次方程的标准形式，合并同类项区分二次项、一次项和常数项；2. 由方程有两个相等的实数根，联想到一元二次方程根的判别式Δ=0的性质，同时结合三角形边长均为正数的隐含条件，确认二次项系数不为0，符合判别式的使用前提；3. 代入判别式得到三边的关系式，化简后结合勾股定理的逆定理即可判断三角形形状。
【解析】
首先整理方程：
将方程$a(x^2 - 1) - 2cx + b(x^2 + 1) = 0$展开并合并同类项：
$ax^2 - a - 2cx + bx^2 + b = 0$
$(a+b)x^2 - 2cx + (b - a) = 0$
∵a、b为三角形的三边长，
∴$a＞0$，$b＞0$，即$a+b≠0$，该方程为一元二次方程。
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta=(-2c)^2 - 4(a+b)(b - a) = 0$
化简得：
$4c^2 - 4(b^2 - a^2) = 0$
两边同时除以4：
$c^2 - b^2 + a^2 = 0$
即$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，边长满足两边平方和等于第三边平方的三角形为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 勾股定理的逆定理 3. 整式化简
【点评】
本题是代数与几何的综合应用题，既考查了一元二次方程根的判别式的应用，也考查了利用勾股定理逆定理判断三角形形状的方法，解题时需注意整式化简时的符号问题，同时不要忽略三角形边长为正的隐含条件。
【难度系数】
0.7
12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (2m - 3)x + m^2 = 0 $ 的两个不相等的实数根 $ α, β $ 满足 $ \frac{1}{α} + \frac{1}{β} = 1 $，求 $ m $ 的值.
答案
12. −3
解析
【分析】
解题时首先根据方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0求出m的取值范围；再根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积的表达式，将$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$通分变形后代入，得到关于m的分式方程，解出m的可能值后，代入之前得到的m的取值范围检验，舍去不符合条件的解，即可得到最终的m值。
【解析】
解：
∵方程$x^2 + (2m - 3)x + m^2 = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(2m-3)^2 - 4×1× m^2＞0$，
展开化简得：$4m^2 -12m +9 -4m^2＞0$，即$-12m +9＞0$，解得$m＜\frac{3}{4}$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$α+β=-(2m-3)=3-2m$，$αβ=m^2$（$m≠0$，否则分母无意义）。
∵$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}=1$，
将$α+β$、$αβ$代入得：$\frac{3-2m}{m^2}=1$，
两边同乘$m^2$整理得：$m^2 + 2m -3=0$，
因式分解得：$(m+3)(m-1)=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=1$。
结合$m＜\frac{3}{4}$的取值范围，$m=1$不符合要求，舍去；$m=-3$符合条件。
∴$m$的值为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 分式方程检验
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合题，解题的易错点是忽略根的判别式的限制条件，直接求解后不检验导致得到增根，求解时要注意结合前提条件和隐含的分母不为0的要求，对解出的结果进行验证。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0求出m的取值范围；再根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积的表达式，将$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$通分变形后代入，得到关于m的分式方程，解出m的可能值后，代入之前得到的m的取值范围检验，舍去不符合条件的解，即可得到最终的m值。
【解析】
解：
∵方程$x^2 + (2m - 3)x + m^2 = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(2m-3)^2 - 4×1× m^2＞0$，
展开化简得：$4m^2 -12m +9 -4m^2＞0$，即$-12m +9＞0$，解得$m＜\frac{3}{4}$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$α+β=-(2m-3)=3-2m$，$αβ=m^2$（$m≠0$，否则分母无意义）。
∵$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}=1$，
将$α+β$、$αβ$代入得：$\frac{3-2m}{m^2}=1$，
两边同乘$m^2$整理得：$m^2 + 2m -3=0$，
因式分解得：$(m+3)(m-1)=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=1$。
结合$m＜\frac{3}{4}$的取值范围，$m=1$不符合要求，舍去；$m=-3$符合条件。
∴$m$的值为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 分式方程检验
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合题，解题的易错点是忽略根的判别式的限制条件，直接求解后不检验导致得到增根，求解时要注意结合前提条件和隐含的分母不为0的要求，对解出的结果进行验证。
【难度系数】
0.6
13. 解某个关于 $ y $ 的一元二次方程时，学生甲看错了方程的常数项，其他均未看错，解得方程两根为8和2；学生乙看错了方程的一次项系数，其他均未看错，解得方程两根为－9和－1.已知原方程的二次项系数为1，求原方程.
答案
13. $y^2 -10y +9=0$
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆：对于二次项系数为1的一元二次方程$y^2 + by + c = 0$，若两根为$y_1,y_2$，则满足$y_1+y_2=-b$，$y_1y_2=c$。解题时先分析两名学生的看错部分：学生甲仅看错常数项，说明他计算得到的两根之和是正确的（因为一次项系数、二次项系数未看错），可据此求出正确的一次项系数；学生乙仅看错一次项系数，说明他计算得到的两根之积是正确的（因为常数项、二次项系数未看错），可据此求出正确的常数项，最后组合得到原方程。
【解析】
解：设原一元二次方程为$y^2 + by + c = 0$（二次项系数为1）。
① 学生甲看错常数项$c$，一次项系数$b$正确，他解得两根为8和2：
根据根与系数的关系，两根之和为$8+2=-b$，计算得$10=-b$，即$b=-10$。
② 学生乙看错一次项系数$b$，常数项$c$正确，他解得两根为-9和-1：
根据根与系数的关系，两根之积为$(-9)×(-1)=c$，计算得$c=9$。
将$b=-10$、$c=9$代入所设方程，得原方程为$y^2 -10y +9=0$。
【答案】
$y^2 -10y +9=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用型题目，解题核心是准确判断看错某一项时，根的哪部分运算结果仍然正确，计算时要注意两根之和与一次项系数的符号关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆：对于二次项系数为1的一元二次方程$y^2 + by + c = 0$，若两根为$y_1,y_2$，则满足$y_1+y_2=-b$，$y_1y_2=c$。解题时先分析两名学生的看错部分：学生甲仅看错常数项，说明他计算得到的两根之和是正确的（因为一次项系数、二次项系数未看错），可据此求出正确的一次项系数；学生乙仅看错一次项系数，说明他计算得到的两根之积是正确的（因为常数项、二次项系数未看错），可据此求出正确的常数项，最后组合得到原方程。
【解析】
解：设原一元二次方程为$y^2 + by + c = 0$（二次项系数为1）。
① 学生甲看错常数项$c$，一次项系数$b$正确，他解得两根为8和2：
根据根与系数的关系，两根之和为$8+2=-b$，计算得$10=-b$，即$b=-10$。
② 学生乙看错一次项系数$b$，常数项$c$正确，他解得两根为-9和-1：
根据根与系数的关系，两根之积为$(-9)×(-1)=c$，计算得$c=9$。
将$b=-10$、$c=9$代入所设方程，得原方程为$y^2 -10y +9=0$。
【答案】
$y^2 -10y +9=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用型题目，解题核心是准确判断看错某一项时，根的哪部分运算结果仍然正确，计算时要注意两根之和与一次项系数的符号关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(1 - m)x^2 - 4x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若 $ m $ 为小于 10 的整数，且该方程的根都是有理数，求 $ m $ 的值.
(1) 求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若 $ m $ 为小于 10 的整数，且该方程的根都是有理数，求 $ m $ 的值.
答案
14.(1) $m＞-3$ 且 $m≠1$
(2) 6或−2
(2) 6或−2
解析
【分析】
(1) 题目给出的是一元二次方程且有两个不相等的实数根，解题需先满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，再结合一元二次方程根的情况与判别式的关系，判别式Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2) 先根据第一问的m范围和“m为小于10的整数”确定m的所有可能取值，再根据“方程的根都是有理数”的条件：求根公式中根号下的判别式必须是完全平方数（这样开根号后为整数，根才能是有理数），逐一验证每个可能的m对应的判别式是否为完全平方数，即可求出符合要求的m值。
【解析】
(1)
∵ 方程$(1 - m)x^2 - 4x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$1 - m ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=1-m$，$b=-4$，$c=1$
代入得：$\Delta = (-4)^2 - 4 × (1 - m) × 1 = 16 - 4(1 - m) = 12 + 4m ＞ 0$
解不等式$12 + 4m ＞ 0$，得$4m ＞ -12$，即$m ＞ -3$
综上，$m$的取值范围是$m ＞ -3$且$m ≠ 1$
(2)
∵ $m$为小于10的整数，且满足$m ＞ -3$，$m ≠ 1$
∴ $m$的可能取值为：$-2, -1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$
若方程的根为有理数，则判别式$\Delta = 12 + 4m$必须是完全平方数（即能写成某个整数的平方的形式）
逐一验证：
当$m=-2$时，$\Delta = 12 + 4 × (-2) = 4 = 2^2$，是完全平方数，符合要求；
当$m=-1$时，$\Delta = 12 + 4 × (-1) = 8$，不是完全平方数，不符合；
当$m=0$时，$\Delta = 12 + 0 = 12$，不是完全平方数，不符合；
当$m=2$时，$\Delta = 12 + 8 = 20$，不是完全平方数，不符合；
当$m=3$时，$\Delta = 12 + 12 = 24$，不是完全平方数，不符合；
当$m=4$时，$\Delta = 12 + 16 = 28$，不是完全平方数，不符合；
当$m=5$时，$\Delta = 12 + 20 = 32$，不是完全平方数，不符合；
当$m=6$时，$\Delta = 12 + 24 = 36 = 6^2$，是完全平方数，符合要求；
当$m=7$时，$\Delta = 12 + 28 = 40$，不是完全平方数，不符合；
当$m=8$时，$\Delta = 12 + 32 = 44$，不是完全平方数，不符合；
当$m=9$时，$\Delta = 12 + 36 = 48$，不是完全平方数，不符合；
综上，符合条件的$m$的值为6或$-2$
【答案】
(1) $m＞-3$ 且 $m≠1$
(2) 6或−2
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式应用
3. 完全平方数性质
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，第一问解题时容易遗漏二次项系数不为0的条件，第二问需要掌握一元二次方程根为有理数时判别式为完全平方数的规律，整体考察对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出的是一元二次方程且有两个不相等的实数根，解题需先满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，再结合一元二次方程根的情况与判别式的关系，判别式Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2) 先根据第一问的m范围和“m为小于10的整数”确定m的所有可能取值，再根据“方程的根都是有理数”的条件：求根公式中根号下的判别式必须是完全平方数（这样开根号后为整数，根才能是有理数），逐一验证每个可能的m对应的判别式是否为完全平方数，即可求出符合要求的m值。
【解析】
(1)
∵ 方程$(1 - m)x^2 - 4x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$1 - m ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=1-m$，$b=-4$，$c=1$
代入得：$\Delta = (-4)^2 - 4 × (1 - m) × 1 = 16 - 4(1 - m) = 12 + 4m ＞ 0$
解不等式$12 + 4m ＞ 0$，得$4m ＞ -12$，即$m ＞ -3$
综上，$m$的取值范围是$m ＞ -3$且$m ≠ 1$
(2)
∵ $m$为小于10的整数，且满足$m ＞ -3$，$m ≠ 1$
∴ $m$的可能取值为：$-2, -1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$
若方程的根为有理数，则判别式$\Delta = 12 + 4m$必须是完全平方数（即能写成某个整数的平方的形式）
逐一验证：
当$m=-2$时，$\Delta = 12 + 4 × (-2) = 4 = 2^2$，是完全平方数，符合要求；
当$m=-1$时，$\Delta = 12 + 4 × (-1) = 8$，不是完全平方数，不符合；
当$m=0$时，$\Delta = 12 + 0 = 12$，不是完全平方数，不符合；
当$m=2$时，$\Delta = 12 + 8 = 20$，不是完全平方数，不符合；
当$m=3$时，$\Delta = 12 + 12 = 24$，不是完全平方数，不符合；
当$m=4$时，$\Delta = 12 + 16 = 28$，不是完全平方数，不符合；
当$m=5$时，$\Delta = 12 + 20 = 32$，不是完全平方数，不符合；
当$m=6$时，$\Delta = 12 + 24 = 36 = 6^2$，是完全平方数，符合要求；
当$m=7$时，$\Delta = 12 + 28 = 40$，不是完全平方数，不符合；
当$m=8$时，$\Delta = 12 + 32 = 44$，不是完全平方数，不符合；
当$m=9$时，$\Delta = 12 + 36 = 48$，不是完全平方数，不符合；
综上，符合条件的$m$的值为6或$-2$
【答案】
(1) $m＞-3$ 且 $m≠1$
(2) 6或−2
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式应用
3. 完全平方数性质
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，第一问解题时容易遗漏二次项系数不为0的条件，第二问需要掌握一元二次方程根为有理数时判别式为完全平方数的规律，整体考察对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
