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1. 配方填空：(1) $x^2 + \frac{5}{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $y^2 - \frac{2}{3}y + \_\_\_\_\_\_ = (y - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(2) $y^2 - \frac{2}{3}y + \_\_\_\_\_\_ = (y - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
1.(1) $\frac{25}{16}$，$\frac{5}{4}$ (2) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，配方的核心是牢记完全平方公式的结构：$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$。对于形如$x^2+bx$的式子，需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，等号右边括号里的常数就是一次项系数的一半。解题时先分别找到两个小题的一次项系数，再按上述规则计算即可。
【解析】
根据完全平方公式$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$计算：
(1) 该式一次项系数为$\frac{5}{2}$，一次项系数的一半为$\frac{5}{2}÷2=\frac{5}{4}$，一半的平方为$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，因此$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = (x + \frac{5}{4})^2$；
(2) 该式一次项系数为$-\frac{2}{3}$，一次项系数的一半为$-\frac{2}{3}÷2=-\frac{1}{3}$，一半的平方为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，因此$y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = (y - \frac{1}{3})^2$。
【答案】
(1) $\frac{25}{16}$，$\frac{5}{4}$；(2) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，熟练掌握配方规则是后续学习一元二次方程配方法、二次函数顶点式等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
这道题考查完全平方公式的应用，配方的核心是牢记完全平方公式的结构：$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$。对于形如$x^2+bx$的式子，需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，等号右边括号里的常数就是一次项系数的一半。解题时先分别找到两个小题的一次项系数，再按上述规则计算即可。
【解析】
根据完全平方公式$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$计算：
(1) 该式一次项系数为$\frac{5}{2}$，一次项系数的一半为$\frac{5}{2}÷2=\frac{5}{4}$，一半的平方为$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，因此$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = (x + \frac{5}{4})^2$；
(2) 该式一次项系数为$-\frac{2}{3}$，一次项系数的一半为$-\frac{2}{3}÷2=-\frac{1}{3}$，一半的平方为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，因此$y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = (y - \frac{1}{3})^2$。
【答案】
(1) $\frac{25}{16}$，$\frac{5}{4}$；(2) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，熟练掌握配方规则是后续学习一元二次方程配方法、二次函数顶点式等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
2. 若方程$4x^2 - (m - 2)x + 1 = 0$的左边可以化成关于$x$的某个整式的完全平方式，则$m$的值是________.
答案
2. 6或−2
解析
【分析】
首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，可化为$(a\pm b)^2$。本题中给定的二次三项式$4x^2-(m-2)x+1$是整式的完全平方式，先确定对应平方项：$4x^2=(2x)^2$，常数项$1=1^2$，因此中间的一次项应为$\pm2×2x×1$，再根据两个多项式相等时对应项系数相等，列关于$m$的方程求解即可，注意要考虑完全平方的两种形式，避免漏解。
【解析】
解：完全平方式满足$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构。
已知$4x^2-(m-2)x+1$是整式的完全平方式，其中$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，因此该完全平方式为$(2x+1)^2$或$(2x-1)^2$，分两种情况讨论：
1. 当完全平方式为$(2x+1)^2$时，展开得$4x^2+4x+1$，对比原式一次项系数可得：
$-(m-2)=4$
解得：$m=-2$
2. 当完全平方式为$(2x-1)^2$时，展开得$4x^2-4x+1$，对比原式一次项系数可得：
$-(m-2)=-4$
解得：$m=6$
综上，$m$的值为6或-2。
【答案】
6或−2
【知识点】
完全平方公式，多项式系数对应相等，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方式有“和的平方”和“差的平方”两种形式，易错点是只考虑单一情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，可化为$(a\pm b)^2$。本题中给定的二次三项式$4x^2-(m-2)x+1$是整式的完全平方式，先确定对应平方项：$4x^2=(2x)^2$，常数项$1=1^2$，因此中间的一次项应为$\pm2×2x×1$，再根据两个多项式相等时对应项系数相等，列关于$m$的方程求解即可，注意要考虑完全平方的两种形式，避免漏解。
【解析】
解：完全平方式满足$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构。
已知$4x^2-(m-2)x+1$是整式的完全平方式，其中$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，因此该完全平方式为$(2x+1)^2$或$(2x-1)^2$，分两种情况讨论：
1. 当完全平方式为$(2x+1)^2$时，展开得$4x^2+4x+1$，对比原式一次项系数可得：
$-(m-2)=4$
解得：$m=-2$
2. 当完全平方式为$(2x-1)^2$时，展开得$4x^2-4x+1$，对比原式一次项系数可得：
$-(m-2)=-4$
解得：$m=6$
综上，$m$的值为6或-2。
【答案】
6或−2
【知识点】
完全平方公式，多项式系数对应相等，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方式有“和的平方”和“差的平方”两种形式，易错点是只考虑单一情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
3. 若关于$x$的方程$(x-a)(x-3)=0$和$x^2 -2x -3=0$的根相同，则实数$a$的值为________.
答案
3. −1
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，两个方程根相同，我们可以先求解出不含参数的方程$x^2 -2x -3=0$的所有根；再求出含参数的方程$(x-a)(x-3)=0$的根，对比两组根，根据根完全相同的条件就能求出参数$a$的值。
【解析】
第一步：求解方程$x^2 -2x -3=0$
对左边因式分解可得：$(x-3)(x+1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得方程的根为：$x_1=3$，$x_2=-1$
第二步：求解方程$(x-a)(x-3)=0$
同理可得：$x-a=0$ 或 $x-3=0$
解得方程的根为：$x_1=a$，$x_2=3$
第三步：根据两方程根相同求$a$的值
已知两个方程的根完全相同，第一个方程已经有根3，所以另一个根$a$必须等于方程$x^2 -2x -3=0$的另一个根$-1$，即$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程因式分解法求解；同解方程的性质
【点评】
本题主要考查一元二次方程的解法和同解方程的概念，解题的关键是先求出无参数方程的全部根，再对比含参数方程的根即可得到参数的取值，属于基础题，解题时注意不要遗漏方程的根。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，两个方程根相同，我们可以先求解出不含参数的方程$x^2 -2x -3=0$的所有根；再求出含参数的方程$(x-a)(x-3)=0$的根，对比两组根，根据根完全相同的条件就能求出参数$a$的值。
【解析】
第一步：求解方程$x^2 -2x -3=0$
对左边因式分解可得：$(x-3)(x+1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得方程的根为：$x_1=3$，$x_2=-1$
第二步：求解方程$(x-a)(x-3)=0$
同理可得：$x-a=0$ 或 $x-3=0$
解得方程的根为：$x_1=a$，$x_2=3$
第三步：根据两方程根相同求$a$的值
已知两个方程的根完全相同，第一个方程已经有根3，所以另一个根$a$必须等于方程$x^2 -2x -3=0$的另一个根$-1$，即$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程因式分解法求解；同解方程的性质
【点评】
本题主要考查一元二次方程的解法和同解方程的概念，解题的关键是先求出无参数方程的全部根，再对比含参数方程的根即可得到参数的取值，属于基础题，解题时注意不要遗漏方程的根。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$ x $的方程$ x^2 - 2x + m = 0 $没有实数根，则$ m $的取值范围是________。
答案
4. $m＞1$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到一元二次方程根的判别式的相关知识。首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号决定了方程根的情况：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。本题已知方程没有实数根，因此可得到$\Delta＜0$，我们先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=m$。
根据一元二次方程根的判别式公式，得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m = 4 - 4m$
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即：
$4 - 4m ＜ 0$
解这个不等式：
移项得 $4 ＜ 4m$
两边同时除以4，得 $m ＞ 1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题的关键是准确记忆判别式与方程根的三种对应关系，正确代入系数计算、解不等式即可。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要用到一元二次方程根的判别式的相关知识。首先明确：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号决定了方程根的情况：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。本题已知方程没有实数根，因此可得到$\Delta＜0$，我们先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=m$。
根据一元二次方程根的判别式公式，得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m = 4 - 4m$
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即：
$4 - 4m ＜ 0$
解这个不等式：
移项得 $4 ＜ 4m$
两边同时除以4，得 $m ＞ 1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题的关键是准确记忆判别式与方程根的三种对应关系，正确代入系数计算、解不等式即可。
【难度系数】
0.8
5. 若 $ a $，$ b $ 是方程 $ x^2 - 2x - 1 = 0 $ 的两个实数根，则 $ (a - b)(a + b - 2) + ab = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
5. −1
解析
【分析】
首先看到a、b是一元二次方程的两个实数根，优先想到用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和a+b与两根之积ab的值。再观察所求代数式的结构，发现代数式包含a+b的整体项，直接将a+b的值代入化简即可，不需要单独计算a、b的具体数值，能简化运算。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个实数根，
∴根据根与系数的关系可得：
$a+b=2$，$ab=-1$，
将$a+b=2$代入所求代数式：
$\begin{aligned}(a-b)(a+b-2)+ab&=(a-b)×(2-2)+(-1)\\&=(a-b)×0 -1\\&=0-1\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式整体求值
【点评】
本题核心是整体代入思想的应用，解题时先观察代数式结构，利用根与系数的关系整体代入，可避免求解根的具体值，减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
首先看到a、b是一元二次方程的两个实数根，优先想到用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和a+b与两根之积ab的值。再观察所求代数式的结构，发现代数式包含a+b的整体项，直接将a+b的值代入化简即可，不需要单独计算a、b的具体数值，能简化运算。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个实数根，
∴根据根与系数的关系可得：
$a+b=2$，$ab=-1$，
将$a+b=2$代入所求代数式：
$\begin{aligned}(a-b)(a+b-2)+ab&=(a-b)×(2-2)+(-1)\\&=(a-b)×0 -1\\&=0-1\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式整体求值
【点评】
本题核心是整体代入思想的应用，解题时先观察代数式结构，利用根与系数的关系整体代入，可避免求解根的具体值，减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
6. 若关于$ x $的方程$ x^2 + (k^2 - 1)x + k = 0 $的两个实数根互为相反数，则$ k $的值等于（
A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$0$
A
）.A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$0$
答案
6. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按两个步骤思考：第一步，根据“两个实数根互为相反数”的条件，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），由两根之和为0先求出k的可能取值；第二步，因为题目明确说明方程有两个实数根，所以需要用根的判别式验证求出的k值是否满足判别式≥0，排除不符合条件的k值，最终得到正确结果。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为相反数可得：$x_1 + x_2 = 0$。
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根与系数的关系为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。本题方程中$a=1$，$b=k^2-1$，代入得：
$-(k^2 - 1) = 0$
解得$k^2=1$，即$k=1$或$k=-1$。
3. 验证判别式：方程有两个实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入参数得$\Delta=(k^2-1)^2 - 4k ≥ 0$：
当$k=1$时，$\Delta=(1-1)^2 -4×1 = -4 ＜ 0$，方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=(1-1)^2 -4×(-1) = 4 ≥ 0$，方程有两个实数根，代入原方程得$x^2 -1 =0$，根为$1$和$-1$，互为相反数，符合题意。
综上，$k=-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；相反数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的常考题型，解题时很容易忽略“方程有两个实数根”的前提，未验证判别式直接选C，因此求出参数的初步取值后，一定要结合判别式的要求检验是否符合题意，避免错解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按两个步骤思考：第一步，根据“两个实数根互为相反数”的条件，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），由两根之和为0先求出k的可能取值；第二步，因为题目明确说明方程有两个实数根，所以需要用根的判别式验证求出的k值是否满足判别式≥0，排除不符合条件的k值，最终得到正确结果。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为相反数可得：$x_1 + x_2 = 0$。
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根与系数的关系为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。本题方程中$a=1$，$b=k^2-1$，代入得：
$-(k^2 - 1) = 0$
解得$k^2=1$，即$k=1$或$k=-1$。
3. 验证判别式：方程有两个实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入参数得$\Delta=(k^2-1)^2 - 4k ≥ 0$：
当$k=1$时，$\Delta=(1-1)^2 -4×1 = -4 ＜ 0$，方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$k=-1$时，$\Delta=(1-1)^2 -4×(-1) = 4 ≥ 0$，方程有两个实数根，代入原方程得$x^2 -1 =0$，根为$1$和$-1$，互为相反数，符合题意。
综上，$k=-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；相反数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的常考题型，解题时很容易忽略“方程有两个实数根”的前提，未验证判别式直接选C，因此求出参数的初步取值后，一定要结合判别式的要求检验是否符合题意，避免错解。
【难度系数】
0.6
7. 若关于$x$的方程$x^2 - 2x - a = 0$没有实数根，则一次函数$y=(a+1)x+(a-1)$的图象不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
7. A
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，先根据一元二次方程没有实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0，求出参数a的取值范围；第二步，把a的范围代入一次函数的斜率k和截距b中，判断k、b的正负，再根据一次函数图象的性质判断它不经过的象限。
【解析】
1. 求参数a的取值范围：
已知关于x的一元二次方程$x^2 - 2x - a = 0$没有实数根，根据一元二次方程根的判别式规则，当Δ＜0时方程无实根，其中$\Delta = b^2-4ac$（对应方程中二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-a），代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-a) = 4 + 4a ＜ 0$
解不等式：$4a ＜ -4$，得$a ＜ -1$。
2. 判断一次函数图象经过的象限：
一次函数$y=(a+1)x + (a-1)$中，斜率$k=a+1$，截距$b=a-1$。
因为$a ＜ -1$，所以：
$k=a+1 ＜ -1+1=0$，斜率为负；
$b=a-1 ＜ -1-1=-2 ＜ 0$，截距为负。
根据一次函数图象性质：当k＜0、b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限，因此不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一次函数图象性质
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况和一次函数图象性质结合考察，解题的关键是先准确求出参数a的取值范围，再结合一次函数k、b的符号判断图象经过的象限，掌握核心知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：第一步，先根据一元二次方程没有实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0，求出参数a的取值范围；第二步，把a的范围代入一次函数的斜率k和截距b中，判断k、b的正负，再根据一次函数图象的性质判断它不经过的象限。
【解析】
1. 求参数a的取值范围：
已知关于x的一元二次方程$x^2 - 2x - a = 0$没有实数根，根据一元二次方程根的判别式规则，当Δ＜0时方程无实根，其中$\Delta = b^2-4ac$（对应方程中二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-a），代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-a) = 4 + 4a ＜ 0$
解不等式：$4a ＜ -4$，得$a ＜ -1$。
2. 判断一次函数图象经过的象限：
一次函数$y=(a+1)x + (a-1)$中，斜率$k=a+1$，截距$b=a-1$。
因为$a ＜ -1$，所以：
$k=a+1 ＜ -1+1=0$，斜率为负；
$b=a-1 ＜ -1-1=-2 ＜ 0$，截距为负。
根据一次函数图象性质：当k＜0、b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限，因此不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一次函数图象性质
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况和一次函数图象性质结合考察，解题的关键是先准确求出参数a的取值范围，再结合一次函数k、b的符号判断图象经过的象限，掌握核心知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
8. 方程 $ x(x - 1) = 2 $ 的两个根为(
A.$ x_1 = 0, x_2 = 1 $
B.$ x_1 = 0, x_2 = -1 $
C.$ x_1 = 1, x_2 = 2 $
D.$ x_1 = -1, x_2 = 2 $
D
).A.$ x_1 = 0, x_2 = 1 $
B.$ x_1 = 0, x_2 = -1 $
C.$ x_1 = 1, x_2 = 2 $
D.$ x_1 = -1, x_2 = 2 $
答案
8. D
解析
【分析】
求解该方程首先要注意不能直接令x=2或x-1=2，这类错误的根源是没有掌握因式分解法解方程的前提是等号右边为0。正确的解题思路有两种：一是先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解计算方程的根；二是将选项中的根依次代入原方程，验证左右两边是否相等，快速选出正确答案。
【解析】
解法一：整理方程求解
步骤1：将原方程展开并移项，化为一元二次方程的一般形式：
$x(x-1)=2$
展开左边得：$x^2 - x = 2$
移项得：$x^2 - x - 2 = 0$
步骤2：对左侧多项式用十字相乘法因式分解：
$x^2 -x -2 = (x-2)(x+1)=0$
步骤3：令每个因式等于0，求解得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
即 $x_1=2$，$x_2=-1$
解法二：代入验证法
将各选项的根代入原方程$x(x-1)=2$验证：
A选项：$x=0$时，左边$=0×(-1)=0≠2$，错误；
B选项：$x=0$时左边为0≠2，错误；
C选项：$x=1$时，左边$=1×0=0≠2$，错误；
D选项：$x=-1$时左边$=(-1)×(-2)=2$，$x=2$时左边$=2×1=2$，均满足方程，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题时需注意因式分解法解方程的适用条件，两种解题方法可灵活选用，代入验证法能帮助快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
求解该方程首先要注意不能直接令x=2或x-1=2，这类错误的根源是没有掌握因式分解法解方程的前提是等号右边为0。正确的解题思路有两种：一是先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解计算方程的根；二是将选项中的根依次代入原方程，验证左右两边是否相等，快速选出正确答案。
【解析】
解法一：整理方程求解
步骤1：将原方程展开并移项，化为一元二次方程的一般形式：
$x(x-1)=2$
展开左边得：$x^2 - x = 2$
移项得：$x^2 - x - 2 = 0$
步骤2：对左侧多项式用十字相乘法因式分解：
$x^2 -x -2 = (x-2)(x+1)=0$
步骤3：令每个因式等于0，求解得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
即 $x_1=2$，$x_2=-1$
解法二：代入验证法
将各选项的根代入原方程$x(x-1)=2$验证：
A选项：$x=0$时，左边$=0×(-1)=0≠2$，错误；
B选项：$x=0$时左边为0≠2，错误；
C选项：$x=1$时，左边$=1×0=0≠2$，错误；
D选项：$x=-1$时左边$=(-1)×(-2)=2$，$x=2$时左边$=2×1=2$，均满足方程，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题时需注意因式分解法解方程的适用条件，两种解题方法可灵活选用，代入验证法能帮助快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
9. 已知$a,b,c$分别为三角形的三边长,则关于$x$的方程$(a+b)x^2 + 2cx + (a+b)=0$的根的情况是(
A.没有实数根
B.有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
A
).A.没有实数根
B.有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
9. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，核心是计算根的判别式Δ，根据Δ的符号判断：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。首先本题中a、b是三角形边长，均为正数，所以二次项系数a+b≠0，符合一元二次方程的判定前提。接下来先代入公式计算判别式，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断Δ的符号，即可得出结论，注意不要混淆方程系数和三角形边长的符号。
【解析】
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的判别式为$\Delta=B^2-4AC$。
本题中方程的二次项系数$A=a+b$，一次项系数$B=2c$，常数项$C=a+b$，且a、b为三角形边长，故$a+b＞0$，该方程为一元二次方程。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(2c)^2-4×(a+b)×(a+b)\\&=4c^2-4(a+b)^2\\&=4[c^2-(a+b)^2]\end{aligned}$
用平方差公式分解得：
$\Delta=4(c-a-b)(c+a+b)$
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，且三边长均为正数，因此：
$a+b+c＞0$，$c-(a+b)＜0$
可得$\Delta=4×\mathrm{正数}×\mathrm{负数}＜0$，因此方程没有实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，三角形三边关系，平方差公式
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题关键是正确计算判别式，结合三角形三边的大小关系判断判别式的符号，是对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程的根的情况，核心是计算根的判别式Δ，根据Δ的符号判断：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。首先本题中a、b是三角形边长，均为正数，所以二次项系数a+b≠0，符合一元二次方程的判定前提。接下来先代入公式计算判别式，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断Δ的符号，即可得出结论，注意不要混淆方程系数和三角形边长的符号。
【解析】
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的判别式为$\Delta=B^2-4AC$。
本题中方程的二次项系数$A=a+b$，一次项系数$B=2c$，常数项$C=a+b$，且a、b为三角形边长，故$a+b＞0$，该方程为一元二次方程。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(2c)^2-4×(a+b)×(a+b)\\&=4c^2-4(a+b)^2\\&=4[c^2-(a+b)^2]\end{aligned}$
用平方差公式分解得：
$\Delta=4(c-a-b)(c+a+b)$
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，且三边长均为正数，因此：
$a+b+c＞0$，$c-(a+b)＜0$
可得$\Delta=4×\mathrm{正数}×\mathrm{负数}＜0$，因此方程没有实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，三角形三边关系，平方差公式
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题关键是正确计算判别式，结合三角形三边的大小关系判断判别式的符号，是对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 若关于$ x $的一元二次方程$(a - 1)x^2 + 2x - 3 = 0$有一个实数根是$-3$，则它的另一个实数根是（
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
B
）。A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
10. B
解析
【分析】
解题时可从已知的方程根入手：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根$x=-3$代入原方程，求出参数$a$的值，确定方程的完整形式；第二步，既可以直接求解一元二次方程得到另一个根，也可以利用根与系数的关系快速计算，避免解方程的繁琐。
【解析】
1. 求参数$a$的值
因为$x=-3$是方程$(a - 1)x^2 + 2x - 3 = 0$的实数根，将$x=-3$代入方程得：
$(a-1)×(-3)^2 + 2×(-3) - 3 = 0$
计算化简：
$9(a-1) -6 -3 = 0$
$9a - 9 -9 = 0$
$9a=18$
解得$a=2$。
2. 求另一个实数根
将$a=2$代入原方程，得方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$。
方法一（根与系数的关系）：设另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，两根之和为$-\frac{B}{A}$。已知一个根为$-3$，因此：
$-3 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$
解得$x_2=1$。
方法二（因式分解法）：将方程因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因此方程的另一个实数根是$1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，核心是利用已知根确定方程的完整形式，选择根与系数的关系解题可大幅提高效率，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时可从已知的方程根入手：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根$x=-3$代入原方程，求出参数$a$的值，确定方程的完整形式；第二步，既可以直接求解一元二次方程得到另一个根，也可以利用根与系数的关系快速计算，避免解方程的繁琐。
【解析】
1. 求参数$a$的值
因为$x=-3$是方程$(a - 1)x^2 + 2x - 3 = 0$的实数根，将$x=-3$代入方程得：
$(a-1)×(-3)^2 + 2×(-3) - 3 = 0$
计算化简：
$9(a-1) -6 -3 = 0$
$9a - 9 -9 = 0$
$9a=18$
解得$a=2$。
2. 求另一个实数根
将$a=2$代入原方程，得方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$。
方法一（根与系数的关系）：设另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，两根之和为$-\frac{B}{A}$。已知一个根为$-3$，因此：
$-3 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$
解得$x_2=1$。
方法二（因式分解法）：将方程因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因此方程的另一个实数根是$1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，核心是利用已知根确定方程的完整形式，选择根与系数的关系解题可大幅提高效率，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
