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14.已知函数$y=|x-a|=\begin{cases}x-a & (x≥ a), \\a-x & (x＜ a).\end{cases}$
(1)若$a=1$,当$0≤ x≤2$时,$y$的取值范围是________;
(2)当$1≤ x≤3$时,$y$有最小值$5$,则$a$的值是________.
(1)若$a=1$,当$0≤ x≤2$时,$y$的取值范围是________;
(2)当$1≤ x≤3$时,$y$有最小值$5$,则$a$的值是________.
答案
14.(1)$0≤y≤1$ (2)$8$或$-4$
解析
【分析】
(1) 当a=1时，函数转化为y=|x-1|，根据绝对值的非负性可确定y的最小值，再结合x的取值范围计算区间端点处的函数值得到最大值，即可确定y的取值范围。
(2) y=|x-a|的最小值为0（x=a时取得），题中1≤x≤3时y的最小值为5，说明a不在[1,3]区间内，分两种情况讨论：①a＞3时，去绝对值得到一次函数，结合增减性求最小值列方程；②a＜1时，去绝对值得到一次函数，结合增减性求最小值列方程，综合两种情况即可得到a的值。
【解析】
(1) 当a=1时，$y=|x-1|$。
由绝对值的非负性可知$|x-1|≥0$，当$x=1$时，y取最小值0。
计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=|0-1|=1$；当$x=2$时，$y=|2-1|=1$，即y的最大值为1。
因此当$0≤x≤2$时，y的取值范围是$0≤y≤1$。
(2) 分情况讨论：
① 若$a＞3$，此时$1≤x≤3＜a$，则$y=a-x$，y随x的增大而减小，当$x=3$时y取最小值。
由题意得：$a-3=5$，解得$a=8$，符合$a＞3$的条件。
② 若$a＜1$，此时$a＜1≤x≤3$，则$y=x-a$，y随x的增大而增大，当$x=1$时y取最小值。
由题意得：$1-a=5$，解得$a=-4$，符合$a＜1$的条件。
若$1≤a≤3$，则当$x=a$时y取最小值0，不符合题意，舍去。
综上，a的值为8或-4。
【答案】
(1)$0≤y≤1$ (2)$8$或$-4$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 分类讨论思想
3. 一次函数最值
【点评】
本题考查绝对值函数的相关应用，解题核心是根据参数的取值范围对绝对值去符号，结合自变量区间判断函数增减性求解最值，注意不要漏了参数的不同取值情况。
【难度系数】
0.7
(1) 当a=1时，函数转化为y=|x-1|，根据绝对值的非负性可确定y的最小值，再结合x的取值范围计算区间端点处的函数值得到最大值，即可确定y的取值范围。
(2) y=|x-a|的最小值为0（x=a时取得），题中1≤x≤3时y的最小值为5，说明a不在[1,3]区间内，分两种情况讨论：①a＞3时，去绝对值得到一次函数，结合增减性求最小值列方程；②a＜1时，去绝对值得到一次函数，结合增减性求最小值列方程，综合两种情况即可得到a的值。
【解析】
(1) 当a=1时，$y=|x-1|$。
由绝对值的非负性可知$|x-1|≥0$，当$x=1$时，y取最小值0。
计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=|0-1|=1$；当$x=2$时，$y=|2-1|=1$，即y的最大值为1。
因此当$0≤x≤2$时，y的取值范围是$0≤y≤1$。
(2) 分情况讨论：
① 若$a＞3$，此时$1≤x≤3＜a$，则$y=a-x$，y随x的增大而减小，当$x=3$时y取最小值。
由题意得：$a-3=5$，解得$a=8$，符合$a＞3$的条件。
② 若$a＜1$，此时$a＜1≤x≤3$，则$y=x-a$，y随x的增大而增大，当$x=1$时y取最小值。
由题意得：$1-a=5$，解得$a=-4$，符合$a＜1$的条件。
若$1≤a≤3$，则当$x=a$时y取最小值0，不符合题意，舍去。
综上，a的值为8或-4。
【答案】
(1)$0≤y≤1$ (2)$8$或$-4$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 分类讨论思想
3. 一次函数最值
【点评】
本题考查绝对值函数的相关应用，解题核心是根据参数的取值范围对绝对值去符号，结合自变量区间判断函数增减性求解最值，注意不要漏了参数的不同取值情况。
【难度系数】
0.7
15. 如图所示的是某型号新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量$y$(单位:$kW· h$)关于已行驶路程$x$(单位:$km$)的函数图象.
(1)当$0{≤}x{≤}200$时,求$y$关于$x$的函数解析式;
(2)当汽车行驶$180\ km$时,求蓄电池的剩余电量.
(1)当$0{≤}x{≤}200$时,求$y$关于$x$的函数解析式;
(2)当汽车行驶$180\ km$时,求蓄电池的剩余电量.
答案
15.解:(1)当 $0≤x＜150$ 时,设 $y=k_1x+b_1$,则 $$\begin{cases} b_1=60,\\ 150k_1+b_1=35.\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{6},\\ b_1=60.\end{cases}$$
\therefore y=-\dfrac{1}{6}x+60.$当 $150≤x≤200$ 时,设 $y=k_2x+b_2$,则 $$\begin{cases} 150k_2+b_2=35,\\ 200k_2+b_2=10.\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2},\\ b_2=110.\end{cases}$
$\therefore y=-\dfrac{1}{2}x+110.$
综上分析,可知 $y=\begin{cases}-\dfrac{1}{6}x+60(0≤x＜150),\\ -\dfrac{1}{2}x+110(150≤x≤200).\end{cases}$
(2)当 $x=180$ 时,$y=-\dfrac{1}{2}×180+110=20$,故此时蓄电池的剩余电量为 $20\ \mathrm{kW·h}$.
\therefore y=-\dfrac{1}{6}x+60.$当 $150≤x≤200$ 时,设 $y=k_2x+b_2$,则 $$\begin{cases} 150k_2+b_2=35,\\ 200k_2+b_2=10.\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2},\\ b_2=110.\end{cases}$
$\therefore y=-\dfrac{1}{2}x+110.$
综上分析,可知 $y=\begin{cases}-\dfrac{1}{6}x+60(0≤x＜150),\\ -\dfrac{1}{2}x+110(150≤x≤200).\end{cases}$
(2)当 $x=180$ 时,$y=-\dfrac{1}{2}×180+110=20$,故此时蓄电池的剩余电量为 $20\ \mathrm{kW·h}$.
解析
【分析】
这是一道分段一次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先观察函数图象，可知0≤x≤200时函数分为两段：0≤x＜150和150≤x≤200，每段都是一次函数，因此用待定系数法分别求两段的解析式：先确定每段上的两个已知点坐标，代入一次函数的一般形式y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k和b的值，即可写出对应区间的函数解析式，最后组合成分段函数。②解决第二问时，首先判断x=180所属的区间，代入对应区间的解析式计算，就能得到剩余电量。
【解析】
(1)分两段求函数解析式：
①当$0≤ x＜150$时，设函数解析式为$y=k_1x+b_1$，
由图象可知，函数过点$(0,60)$和$(150,35)$，代入得：
$\begin{cases} b_1=60\\ 150k_1+b_1=35 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{6}\\b_1=60\end{cases}$，因此该段解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x+60$。
②当$150≤ x≤200$时，设函数解析式为$y=k_2x+b_2$，
由图象可知，函数过点$(150,35)$和$(200,10)$，代入得：
$\begin{cases} 150k_2+b_2=35\\ 200k_2+b_2=10 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2}\\b_2=110\end{cases}$，因此该段解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+110$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为：
$y=\begin{cases}-\dfrac{1}{6}x+60 & (0≤ x＜150) \\-\dfrac{1}{2}x+110 & (150≤ x≤200)\end{cases}$
(2)因为$180$满足$150≤180≤200$，所以将$x=180$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+110$，得：
$y=-\dfrac{1}{2}×180+110=20$。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}-\dfrac{1}{6}x+60&(0≤ x＜150)\\-\dfrac{1}{2}x+110&(150≤ x≤200)\end{cases}$
(2)$20\ \mathrm{kW·h}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，分段函数，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，解题的核心是从函数图象中提取有效坐标信息，正确划分分段区间，利用待定系数法求出各段的函数解析式，再代入对应数值求解，能够锻炼学生的信息提取能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
这是一道分段一次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先观察函数图象，可知0≤x≤200时函数分为两段：0≤x＜150和150≤x≤200，每段都是一次函数，因此用待定系数法分别求两段的解析式：先确定每段上的两个已知点坐标，代入一次函数的一般形式y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k和b的值，即可写出对应区间的函数解析式，最后组合成分段函数。②解决第二问时，首先判断x=180所属的区间，代入对应区间的解析式计算，就能得到剩余电量。
【解析】
(1)分两段求函数解析式：
①当$0≤ x＜150$时，设函数解析式为$y=k_1x+b_1$，
由图象可知，函数过点$(0,60)$和$(150,35)$，代入得：
$\begin{cases} b_1=60\\ 150k_1+b_1=35 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{6}\\b_1=60\end{cases}$，因此该段解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x+60$。
②当$150≤ x≤200$时，设函数解析式为$y=k_2x+b_2$，
由图象可知，函数过点$(150,35)$和$(200,10)$，代入得：
$\begin{cases} 150k_2+b_2=35\\ 200k_2+b_2=10 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2}\\b_2=110\end{cases}$，因此该段解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+110$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为：
$y=\begin{cases}-\dfrac{1}{6}x+60 & (0≤ x＜150) \\-\dfrac{1}{2}x+110 & (150≤ x≤200)\end{cases}$
(2)因为$180$满足$150≤180≤200$，所以将$x=180$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+110$，得：
$y=-\dfrac{1}{2}×180+110=20$。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}-\dfrac{1}{6}x+60&(0≤ x＜150)\\-\dfrac{1}{2}x+110&(150≤ x≤200)\end{cases}$
(2)$20\ \mathrm{kW·h}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，分段函数，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，解题的核心是从函数图象中提取有效坐标信息，正确划分分段区间，利用待定系数法求出各段的函数解析式，再代入对应数值求解，能够锻炼学生的信息提取能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
16.综合与实践.
生活中的数学:如何确定单肩包最佳背带长度
素材1
如图所示的是一款单肩包,背带由双层部分、单层部分和调节扣构成,使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,使背带的总长度加长或缩短.(总长度为单层部分与双层部分的长度和,其中调节扣的长度忽略不计)
素材2
对该背包的背带长度进行测量,发现双层部分的长度$y$(单位:cm)是单层部分长度$x$(单位:cm)的一次函数,具体数据如下:
|单层部分的长度$x$/cm|0|2|4|6|…|140|
|----|----|----|----|----|----|----|
|双层部分的长度$y$/cm|70|69|68|67|…|0|
根据上述素材,解决下列问题:
(1)请你利用待定系数法求出$y$与$x$之间的函数解析式;
(2)根据乐乐同学的身高和习惯,背带的总长度为$110\ \mathrm{cm}$时,背起来最舒适,请求出此时单层部分的长度.
生活中的数学:如何确定单肩包最佳背带长度
素材1
如图所示的是一款单肩包,背带由双层部分、单层部分和调节扣构成,使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,使背带的总长度加长或缩短.(总长度为单层部分与双层部分的长度和,其中调节扣的长度忽略不计)
素材2
对该背包的背带长度进行测量,发现双层部分的长度$y$(单位:cm)是单层部分长度$x$(单位:cm)的一次函数,具体数据如下:
|单层部分的长度$x$/cm|0|2|4|6|…|140|
|----|----|----|----|----|----|----|
|双层部分的长度$y$/cm|70|69|68|67|…|0|
根据上述素材,解决下列问题:
(1)请你利用待定系数法求出$y$与$x$之间的函数解析式;
(2)根据乐乐同学的身高和习惯,背带的总长度为$110\ \mathrm{cm}$时,背起来最舒适,请求出此时单层部分的长度.
答案
16.解:(1)设 $y=kx+b$,由题意,得 $$\begin{cases} b=70,\\ 2k+b=69,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\ b=70,\end{cases}$$ $\therefore y=70-\dfrac{1}{2}x.$
(2)由题意,得 $x+y=110$,
$\therefore x+70-\dfrac{1}{2}x=110. \therefore x=80.$
答:此时单层部分的长度为 $80\ \mathrm{cm}$.
(2)由题意,得 $x+y=110$,
$\therefore x+70-\dfrac{1}{2}x=110. \therefore x=80.$
答:此时单层部分的长度为 $80\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1)题目明确说明双层部分长度y是单层部分长度x的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b$，再从表格中选取两组x和y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到y与x的函数解析式。
(2)背带总长度为单层部分长度与双层部分长度之和，即总长度$=x+y$，已知总长度为110cm，将第(1)问求出的y关于x的解析式代入该等量关系，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出此时单层部分的长度。
【解析】
(1)设$y$与$x$的函数解析式为$y=kx+b$，根据表格中数据，当$x=0$时，$y=70$；当$x=2$时，$y=69$，代入得：
$\begin{cases} b=70\\ 2k+b=69 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\ b=70 \end{cases}$
因此$y$与$x$之间的函数解析式为$y=70-\dfrac{1}{2}x$。
(2)由题意可知背带总长度为单层部分与双层部分长度之和，即$x+y=110$，将$y=70-\dfrac{1}{2}x$代入得：
$x+70-\dfrac{1}{2}x=110$
合并同类项得$\dfrac{1}{2}x=40$，解得$x=80$。
【答案】
(1)$y=70-\dfrac{1}{2}x$；
(2)$80\ \mathrm{cm}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中单肩包背带调节的实际场景，考查一次函数与一元一次方程的基础应用，解题的关键是准确理解题意，梳理清楚两个变量之间的等量关系，注重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
(1)题目明确说明双层部分长度y是单层部分长度x的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b$，再从表格中选取两组x和y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到y与x的函数解析式。
(2)背带总长度为单层部分长度与双层部分长度之和，即总长度$=x+y$，已知总长度为110cm，将第(1)问求出的y关于x的解析式代入该等量关系，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出此时单层部分的长度。
【解析】
(1)设$y$与$x$的函数解析式为$y=kx+b$，根据表格中数据，当$x=0$时，$y=70$；当$x=2$时，$y=69$，代入得：
$\begin{cases} b=70\\ 2k+b=69 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\ b=70 \end{cases}$
因此$y$与$x$之间的函数解析式为$y=70-\dfrac{1}{2}x$。
(2)由题意可知背带总长度为单层部分与双层部分长度之和，即$x+y=110$，将$y=70-\dfrac{1}{2}x$代入得：
$x+70-\dfrac{1}{2}x=110$
合并同类项得$\dfrac{1}{2}x=40$，解得$x=80$。
【答案】
(1)$y=70-\dfrac{1}{2}x$；
(2)$80\ \mathrm{cm}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中单肩包背带调节的实际场景，考查一次函数与一元一次方程的基础应用，解题的关键是准确理解题意，梳理清楚两个变量之间的等量关系，注重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
