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18. 若最简二次根式$\sqrt{2a-2}$与$\sqrt{-a+16}$可以合并.
(1)求$a$的值；
(2)对于任意不相等的两个数$x,y$,定义一种运算“※”如下:$x※y=\frac{\sqrt{x+y}}{x-y}$.
例如:$3※2=\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}=\sqrt{5}$.试求$a※[a※(-2)]$的值.
(1)求$a$的值；
(2)对于任意不相等的两个数$x,y$,定义一种运算“※”如下:$x※y=\frac{\sqrt{x+y}}{x-y}$.
例如:$3※2=\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}=\sqrt{5}$.试求$a※[a※(-2)]$的值.
答案
(1)$\because$最简二次根式$\sqrt{2a-2}$与$\sqrt{-a+16}$可以合并,$\therefore 2a-2=-a+16,\therefore a=6$。
(2)$\dfrac{10}{23}$
(2)$\dfrac{10}{23}$
解析
【分析】
（1）解决第一问的关键是明确最简二次根式能合并的条件：二者是同类二次根式，即被开方数相等，据此列一元一次方程即可求解a的值。
（2）解决第二问首先要理解新运算“※”的规则：运算结果等于x与y和的算术平方根除以x与y的差，运算遵循先算括号内的顺序，先代入a的值算出内层a※(-2)的结果，再将该结果代入计算外层的a※(内层结果)即可得到最终值。
【解析】
(1) 因为最简二次根式$\sqrt{2a-2}$与$\sqrt{-a+16}$可以合并，说明二者是同类二次根式，被开方数相等，因此可得方程：
$2a-2=-a+16$
移项得：$2a+a=16+2$
合并同类项得：$3a=18$
解得：$a=6$
(2) 先计算内层运算$a※(-2)$，将$a=6$，$x=6$，$y=-2$代入新运算公式$x※y=\frac{\sqrt{x+y}}{x-y}$：
$6※(-2)=\frac{\sqrt{6+(-2)}}{6-(-2)}=\frac{\sqrt{4}}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
再计算外层运算$6※\frac{1}{4}$，此时$x=6$，$y=\frac{1}{4}$：
$6※\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{6+\frac{1}{4}}}{6-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{\frac{25}{4}}}{\frac{23}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{23}{4}}=\frac{5}{2}×\frac{4}{23}=\frac{10}{23}$
【答案】
(1)$a=6$；(2)$\dfrac{10}{23}$
【知识点】
1. 同类二次根式
2. 新定义运算
3. 二次根式计算
【点评】
本题基础属性较强，核心考察对同类二次根式定义的理解以及新运算规则的应用，解题时需注意新运算要严格遵循给定规则计算，混合运算注意先算括号内的部分，计算二次根式时要正确化简。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问的关键是明确最简二次根式能合并的条件：二者是同类二次根式，即被开方数相等，据此列一元一次方程即可求解a的值。
（2）解决第二问首先要理解新运算“※”的规则：运算结果等于x与y和的算术平方根除以x与y的差，运算遵循先算括号内的顺序，先代入a的值算出内层a※(-2)的结果，再将该结果代入计算外层的a※(内层结果)即可得到最终值。
【解析】
(1) 因为最简二次根式$\sqrt{2a-2}$与$\sqrt{-a+16}$可以合并，说明二者是同类二次根式，被开方数相等，因此可得方程：
$2a-2=-a+16$
移项得：$2a+a=16+2$
合并同类项得：$3a=18$
解得：$a=6$
(2) 先计算内层运算$a※(-2)$，将$a=6$，$x=6$，$y=-2$代入新运算公式$x※y=\frac{\sqrt{x+y}}{x-y}$：
$6※(-2)=\frac{\sqrt{6+(-2)}}{6-(-2)}=\frac{\sqrt{4}}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
再计算外层运算$6※\frac{1}{4}$，此时$x=6$，$y=\frac{1}{4}$：
$6※\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{6+\frac{1}{4}}}{6-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{\frac{25}{4}}}{\frac{23}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{23}{4}}=\frac{5}{2}×\frac{4}{23}=\frac{10}{23}$
【答案】
(1)$a=6$；(2)$\dfrac{10}{23}$
【知识点】
1. 同类二次根式
2. 新定义运算
3. 二次根式计算
【点评】
本题基础属性较强，核心考察对同类二次根式定义的理解以及新运算规则的应用，解题时需注意新运算要严格遵循给定规则计算，混合运算注意先算括号内的部分，计算二次根式时要正确化简。
【难度系数】
0.7
19. (1)【阅读思考】学习了“二次根式的乘除”之后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知$x + y = -6$，$xy = 4$，求$\sqrt{\dfrac{y}{x}} + \sqrt{\dfrac{x}{y}}$的值。请仔细阅读小刚的解法，并填空。
小刚是这样解的：$\sqrt{\dfrac{y}{x}} + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{xy}}{x} + \dfrac{\sqrt{xy}}{y} = \dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$。
把$x + y = -6$，$xy = 4$代入，得$\dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy} = \_\_\_\_\_\_$。
(2)【理解运用】显然，小刚的解法是错误的，请你写出正确的解题过程。
小刚是这样解的：$\sqrt{\dfrac{y}{x}} + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{xy}}{x} + \dfrac{\sqrt{xy}}{y} = \dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$。
把$x + y = -6$，$xy = 4$代入，得$\dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy} = \_\_\_\_\_\_$。
(2)【理解运用】显然，小刚的解法是错误的，请你写出正确的解题过程。
答案
(1)$-3$
(2)$\because x+y=-6,xy=4,\therefore x＜0,y＜0,\therefore \sqrt{\dfrac{y}{x}} + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = -\dfrac{\sqrt{xy}}{x} - \dfrac{\sqrt{xy}}{y} = -\dfrac{\sqrt{xy}(x+y)}{xy}$。
把$x+y=-6,xy=4$代入,得原式$=-\dfrac{\sqrt{xy}(x+y)}{xy}=-\dfrac{\sqrt{4}×(-6)}{4}=3$。
(2)$\because x+y=-6,xy=4,\therefore x＜0,y＜0,\therefore \sqrt{\dfrac{y}{x}} + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = -\dfrac{\sqrt{xy}}{x} - \dfrac{\sqrt{xy}}{y} = -\dfrac{\sqrt{xy}(x+y)}{xy}$。
把$x+y=-6,xy=4$代入,得原式$=-\dfrac{\sqrt{xy}(x+y)}{xy}=-\dfrac{\sqrt{4}×(-6)}{4}=3$。
解析
【分析】
(1) 第一问直接将已知的$x+y=-6$、$xy=4$代入小刚推导得到的代数式中，按运算规则计算即可得到结果。
(2) 解决第二问首先要明确二次根式的被开方数必须为非负数，且分母不为0，因此先根据$xy=4＞0$判断$x$、$y$同号，再结合$x+y=-6＜0$得出$x＜0$、$y＜0$的结论，纠正小刚解法中直接将$\sqrt{\dfrac{y}{x}}$拆分为$\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$的错误（此时$x$、$y$为负数，$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$无意义），正确化简二次根式后再代入数值计算。
【解析】
(1) 把$x + y = -6$，$xy = 4$代入$\dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$得：
$\dfrac{\sqrt{4}×(-6)}{4}=\dfrac{2×(-6)}{4}=-3$。
(2) 先判断$x$、$y$的符号：
$\because xy=4＞0$，$\therefore x$、$y$同号，
又$\because x+y=-6＜0$，$\therefore x＜0$，$y＜0$。
正确化简原式：
$\sqrt{\dfrac{y}{x}} + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = \sqrt{\dfrac{xy}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{xy}{y^2}} = \dfrac{\sqrt{xy}}{\vert x \vert} + \dfrac{\sqrt{xy}}{\vert y \vert}$，
$\because x＜0,y＜0$，$\therefore \vert x \vert=-x$，$\vert y \vert=-y$，
$\therefore$原式$=\dfrac{\sqrt{xy}}{-x} + \dfrac{\sqrt{xy}}{-y} = -\dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$。
代入数值计算：
将$x + y = -6$，$xy = 4$代入得：
原式$=-\dfrac{\sqrt{4}×(-6)}{4}=-\dfrac{2×(-6)}{4}=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式被开方数非负的前提，直接拆分根号导致符号错误，解题时需先根据已知条件判断字母的正负性，再按照二次根式的性质正确化简，避免出现被开方数为负的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问直接将已知的$x+y=-6$、$xy=4$代入小刚推导得到的代数式中，按运算规则计算即可得到结果。
(2) 解决第二问首先要明确二次根式的被开方数必须为非负数，且分母不为0，因此先根据$xy=4＞0$判断$x$、$y$同号，再结合$x+y=-6＜0$得出$x＜0$、$y＜0$的结论，纠正小刚解法中直接将$\sqrt{\dfrac{y}{x}}$拆分为$\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$的错误（此时$x$、$y$为负数，$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$无意义），正确化简二次根式后再代入数值计算。
【解析】
(1) 把$x + y = -6$，$xy = 4$代入$\dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$得：
$\dfrac{\sqrt{4}×(-6)}{4}=\dfrac{2×(-6)}{4}=-3$。
(2) 先判断$x$、$y$的符号：
$\because xy=4＞0$，$\therefore x$、$y$同号，
又$\because x+y=-6＜0$，$\therefore x＜0$，$y＜0$。
正确化简原式：
$\sqrt{\dfrac{y}{x}} + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = \sqrt{\dfrac{xy}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{xy}{y^2}} = \dfrac{\sqrt{xy}}{\vert x \vert} + \dfrac{\sqrt{xy}}{\vert y \vert}$，
$\because x＜0,y＜0$，$\therefore \vert x \vert=-x$，$\vert y \vert=-y$，
$\therefore$原式$=\dfrac{\sqrt{xy}}{-x} + \dfrac{\sqrt{xy}}{-y} = -\dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$。
代入数值计算：
将$x + y = -6$，$xy = 4$代入得：
原式$=-\dfrac{\sqrt{4}×(-6)}{4}=-\dfrac{2×(-6)}{4}=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式被开方数非负的前提，直接拆分根号导致符号错误，解题时需先根据已知条件判断字母的正负性，再按照二次根式的性质正确化简，避免出现被开方数为负的错误。
【难度系数】
0.6
