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20. 观察下列一组等式,解答后面的问题:
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}-1,$
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}-\sqrt{3}.$
(1)化简:$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\_\_\_\_\_\_$,$\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\_\_\_\_\_\_$($n$为正整数);
(2)比较大小:$\sqrt{21}-\sqrt{19}\_\_\_\_\_\_\sqrt{19}-\sqrt{17}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”);
(3)根据上面的结论,找规律并计算:$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2\,027}+\sqrt{2\,025}}$.
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}-1,$
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}-\sqrt{3}.$
(1)化简:$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\_\_\_\_\_\_$,$\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\_\_\_\_\_\_$($n$为正整数);
(2)比较大小:$\sqrt{21}-\sqrt{19}\_\_\_\_\_\_\sqrt{19}-\sqrt{17}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”);
(3)根据上面的结论,找规律并计算:$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2\,027}+\sqrt{2\,025}}$.
答案
(1)$\sqrt{7}-\sqrt{5}$ $\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$
(2)$＜$
(3)$\dfrac{\sqrt{2027}-1}{2}$
(2)$＜$
(3)$\dfrac{\sqrt{2027}-1}{2}$
解析
【分析】
(1) 考查分母有理化，利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式（两个二次根式的差），消去分母中的根号即可化简；含n的一般形式用相同方法推导即可。
(2) 比较两个二次根式差的大小时，先对两个式子进行分子有理化，将差转化为分子为2的分数，再根据“分子相同，分母越大分数值越小”的规律判断原数大小。
(3) 先根据前面的规律，把每一项分式拆成两个二次根式的差除以2的形式，提取公因式$\frac{1}{2}$后，中间项可相互抵消，仅需计算剩余首尾项即可得到结果。
【解析】
(1) 化简$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$：
给分子分母同乘$\sqrt{7}-\sqrt{5}$，得：
$\frac{2×(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=\frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5}=\sqrt{7}-\sqrt{5}$
化简$\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$：
给分子分母同乘$\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$，得：
$\frac{2×(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}=\frac{2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}{(n+2)-n}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$
(2) 对两个式子分子有理化：
$\sqrt{21}-\sqrt{19}=\frac{(\sqrt{21}-\sqrt{19})(\sqrt{21}+\sqrt{19})}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}=\frac{21-19}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}=\frac{2}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}$
$\sqrt{19}-\sqrt{17}=\frac{(\sqrt{19}-\sqrt{17})(\sqrt{19}+\sqrt{17})}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}=\frac{19-17}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}=\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}$
∵$\sqrt{21}+\sqrt{19}＞\sqrt{19}+\sqrt{17}$，分子相同时分母越大分数值越小
∴$\frac{2}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}＜\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}$，即$\sqrt{21}-\sqrt{19}＜\sqrt{19}-\sqrt{17}$
(3) 根据规律可得$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a+2}-\sqrt{a}}{2}$，原式变形为：
$\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{2027}-\sqrt{2025}}{2}$
提取$\frac{1}{2}$得：
$\frac{1}{2}×[(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{2027}-\sqrt{2025})]$
中间项相互抵消后剩余：
$\frac{1}{2}×(\sqrt{2027}-1)=\frac{\sqrt{2027}-1}{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{7}-\sqrt{5}$；$\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$
(2)$＜$
(3)$\dfrac{\sqrt{2027}-1}{2}$
【知识点】
分母有理化；二次根式大小比较；裂项相消计算
【点评】
本题是二次根式章节的典型题型，核心考查利用平方差公式进行分母（分子）有理化的方法，要求学生具备一定的观察归纳能力，能发现裂项规律，通过抵消思想简化复杂求和运算，对运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 考查分母有理化，利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式（两个二次根式的差），消去分母中的根号即可化简；含n的一般形式用相同方法推导即可。
(2) 比较两个二次根式差的大小时，先对两个式子进行分子有理化，将差转化为分子为2的分数，再根据“分子相同，分母越大分数值越小”的规律判断原数大小。
(3) 先根据前面的规律，把每一项分式拆成两个二次根式的差除以2的形式，提取公因式$\frac{1}{2}$后，中间项可相互抵消，仅需计算剩余首尾项即可得到结果。
【解析】
(1) 化简$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$：
给分子分母同乘$\sqrt{7}-\sqrt{5}$，得：
$\frac{2×(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=\frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5}=\sqrt{7}-\sqrt{5}$
化简$\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$：
给分子分母同乘$\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$，得：
$\frac{2×(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}=\frac{2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}{(n+2)-n}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$
(2) 对两个式子分子有理化：
$\sqrt{21}-\sqrt{19}=\frac{(\sqrt{21}-\sqrt{19})(\sqrt{21}+\sqrt{19})}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}=\frac{21-19}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}=\frac{2}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}$
$\sqrt{19}-\sqrt{17}=\frac{(\sqrt{19}-\sqrt{17})(\sqrt{19}+\sqrt{17})}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}=\frac{19-17}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}=\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}$
∵$\sqrt{21}+\sqrt{19}＞\sqrt{19}+\sqrt{17}$，分子相同时分母越大分数值越小
∴$\frac{2}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}＜\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}$，即$\sqrt{21}-\sqrt{19}＜\sqrt{19}-\sqrt{17}$
(3) 根据规律可得$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a+2}-\sqrt{a}}{2}$，原式变形为：
$\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{2027}-\sqrt{2025}}{2}$
提取$\frac{1}{2}$得：
$\frac{1}{2}×[(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{2027}-\sqrt{2025})]$
中间项相互抵消后剩余：
$\frac{1}{2}×(\sqrt{2027}-1)=\frac{\sqrt{2027}-1}{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{7}-\sqrt{5}$；$\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$
(2)$＜$
(3)$\dfrac{\sqrt{2027}-1}{2}$
【知识点】
分母有理化；二次根式大小比较；裂项相消计算
【点评】
本题是二次根式章节的典型题型，核心考查利用平方差公式进行分母（分子）有理化的方法，要求学生具备一定的观察归纳能力，能发现裂项规律，通过抵消思想简化复杂求和运算，对运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
