1. 如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律。根据此规律，最后一个三角形中 $y$ 与 $n$ 之间的关系式是()


A.$y = 2n + 1$
B.$y = 2^{n} + n$
C.$y = 2^{n + 1} + n$
D.$y = 2^{n} + n + 1$

1. B

观察可得：
当 $n=1$ 时，左侧数为 $1$，右侧数为 $2=2^{1}$，下方数 $y=3=2^{1}+1$；
当 $n=2$ 时，左侧数为 $2$，右侧数为 $4=2^{2}$，下方数 $y=6=2^{2}+2$；
当 $n=3$ 时，左侧数为 $3$，右侧数为 $8=2^{3}$，下方数 $y=11=2^{3}+3$；
综上，规律为 $y = 2^{n} + n$。
B

2. 周六，刘老师乘车从学校出发到井冈山。已知学校距离井冈山 $150$ $km$，汽车行驶的平均速度为 $60$ $km/h$，$x$ $h$ 后刘老师距离井冈山 $y$ $km$，那么 $y$ 与 $x$ 之间的关系式是()

A.$y = 150 - 60x$
B.$y = 150 + 60x$
C.$y = 60 - 150x$
D.$y = 60 + 150x$

2. A

【分析】首先梳理题目中的数量关系：总路程为学校到井冈山的150km，汽车行驶速度是60km/h，x小时行驶的路程为速度与时间的乘积，即60x km。刘老师距离井冈山的剩余距离y，等于总路程减去已经行驶的路程，据此推导y与x的关系式。
【解析】汽车x小时行驶的路程为：$60 × x = 60x$（km），总路程是150km，因此剩余距离$y = 总路程 - 已行驶路程 = 150 - 60x$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一次函数应用、行程问题
【点评】本题是基础的一次函数实际应用题目，核心是理解行程中剩余距离的计算逻辑，属于对基础知识点的简单考察，难度较低。
【难度系数】0.9

3. 如图，要围一个长方形菜园，菜园的一边利用一面足够长的墙，另外三边用篱笆围成。已知篱笆的总长度恰好为 $36$ $m$。设 $BC$ 边为 $x$ $m$，$AB$ 边为 $y$ $m$，则 $y$ 与 $x$ 之间的关系式是()


A.$y = -\frac{1}{2}x + 36$
B.$y = -\frac{1}{2}x + 18$
C.$y = -2x + 36$
D.$y = -2x + 18$

3. B

解：由题意得，菜园三边篱笆长度之和为$36\ \mathrm{m}$，其中$BC = x\ \mathrm{m}$，$AB = CD = y\ \mathrm{m}$，则$x + 2y=36$，解得$y=-\frac{1}{2}x + 18$。
B

4. 如图，已知圆锥的高 $h$(单位：$cm$)变化时，圆锥的体积 $V$(单位：$cm^{3}$)也随之变化。当 $h$ 由 $3$ $cm$ 变化到 $6$ $cm$ 时，$V$ 由 $9π$ $cm^{3}$ 变化到 $cm^{3}$。

4. $ 18π $

圆锥体积公式为$V = \frac{1}{3}π r^2 h$。由图可知底面半径$r = 3\space cm$，当$h = 6\space cm$时，$V=\frac{1}{3}π×3^2×6 = 18π\space cm^3$。
$18π$

5. 如图，$1$ 个纸杯的高度为 $8$ $cm$，$6$ 个这样的纸杯叠放在一起的高度为 $12$ $cm$。设 $n$ 个这样的纸杯按照同样的方式叠放在一起，总高度为 $h$(单位：$cm$)，则 $h$ 与 $n$ 之间的关系式为。

5. $ h = 0.8n + 7.2 $

设每增加一个纸杯增加的高度为$x$ cm。
1个纸杯高度为8 cm，6个纸杯叠放高度为12 cm，可列方程：$8 + (6 - 1)x = 12$
解得：$5x = 4$，$x = 0.8$
则$n$个纸杯叠放总高度$h = 8 + (n - 1)×0.8 = 0.8n + 7.2$
$h = 0.8n + 7.2$

6. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$BC = 2AD = 8$，高 $AE = 4$，点 $P$ 为边 $BC$ 上任意一点，连接 $AP$。当 $BP$ 的长度由小到大变化时，四边形 $APCD$ 的面积也随之发生变化。
(1) 设 $BP = x$，四边形 $APCD$ 的面积为 $y$，求 $y$ 与 $x$ 之间的关系式；
(2) 当 $BP = AD$ 时，求四边形 $APCD$ 的面积。

6. 解：(1)因为 $ S_{四边形APCD} = S_{梯形ABCD} - S_{三角形ABP} $，
所以 $ y = \frac{1}{2} × (4 + 8) × 4 - \frac{1}{2} × x × 4 = 24 - 2x $，
即 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y = -2x + 24 $。
(2)当 $ BP = AD $ 时，$ x = 4 $，
所以 $ y = -2 × 4 + 24 = 16 $，
即四边形 $ APCD $ 的面积为 16。

【分析】
要解决本题，核心思路是利用“整体减部分”的面积关系：四边形APCD的面积等于梯形ABCD的面积减去三角形ABP的面积。先回忆梯形和三角形的面积公式，分别计算两个图形的面积，再推导y与x的关系式；第二问将BP=AD代入关系式即可求出对应面积。
【解析】
(1) 计算梯形ABCD的面积：根据梯形面积公式$ S_{梯形}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高 $，已知AD=4，BC=8，高AE=4，代入得：
$ S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}×(4+8)×4=24 $。
计算三角形ABP的面积：根据三角形面积公式$ S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高 $，底BP=x，高AE=4，代入得：
$ S_{△ABP}=\frac{1}{2}×x×4=2x $。
因为$ S_{四边形APCD}=S_{梯形ABCD}-S_{△ABP} $，所以$ y=24-2x $，即y与x的关系式为$ y=-2x+24 $。
(2) 当BP=AD时，AD=4，即x=4，将x=4代入$ y=-2x+24 $，得：
$ y=-2×4+24=16 $，即四边形APCD的面积为16。
【答案】
(1) $ y=-2x+24 $；(2) 16
【知识点】
梯形面积计算、三角形面积计算、一次函数关系式
【点评】
本题是几何面积与一次函数结合的基础题型，通过“整体减部分”的面积思路，结合基本图形面积公式推导函数关系，再代入求值，侧重考查基础几何与函数的结合应用，难度较低。
【难度系数】
0.7