关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法。利用关系式，我们可以根据自变量的任何一个值求出相应的的值。

因变量

【分析】
本题考查变量之间关系的基础概念，需明确关系式中自变量与因变量的对应逻辑：关系式用于表示两个变量的对应关系，其中自变量是主动取值的量，因变量是随自变量变化的量，给定自变量的任意值，代入关系式即可得到对应的另一变量值。
【解析】
关系式是表示变量间对应关系的常用方法，在变量关系中，自变量是可自主取值的量，因变量是随自变量变化而变化的量，因此根据自变量的任何一个值，代入关系式就能求出相应的因变量的值。
【答案】
因变量
【知识点】
变量之间的关系、自变量与因变量
【点评】
本题为基础概念识记题，核心考查对变量关系中自变量和因变量的理解，难度较低，属于必拿分的基础题型。
【难度系数】
0.9

例 1 如图，在三角形 $ABC$ 中，已知 $BC = 16$，$BC$ 边上的高 $AD = 10$，动点 $C'$ 由点 $C$ 沿 $CB$ 向点 $B$ 移动(不与点 $B$ 重合)。设 $CC'$ 的长度为 $x$，三角形 $ABC'$ 的面积为 $S$，则 $S$ 与 $x$ 之间的关系式为()


A.$S = 80 - 5x$
B.$S = 5x$
C.$S = 10x$
D.$S = 5x + 80$

【点拨】 先根据 $BC$，$CC'$ 的长度求出 $BC'$ 的长度，再根据三角形的面积公式即可求解。
因为 $BC = 16$，$CC' = x$，
所以 $BC' = 16 - x$。
又因为 $AD = 10$，
所以 $S=\frac{1}{2}· BC'· AD$
$=\frac{1}{2}× 10× (16 - x)$，
即 $S = 80 - 5x$。

【分析】要推导S与x的关系式，需先明确三角形ABC'的底和对应高：AD是BC边上的高，C'在BC上移动时，三角形ABC'的高始终为AD=10；底BC'的长度可通过BC与CC'的长度差计算，再结合三角形面积公式即可求解。
【解析】
1. 求三角形ABC'的底BC'：已知BC=16，CC'=x，因此 $ BC' = BC - CC' = 16 - x $。
2. 根据三角形面积公式 $ S = \frac{1}{2} × 底 × 高 $，代入底BC'=16-x、高AD=10，得：
$ S = \frac{1}{2} × BC' × AD = \frac{1}{2} × (16 - x) × 10 $
化简计算：$ S = 5 × (16 - x) = 80 - 5x $。
【答案】A
【知识点】三角形面积公式，动点问题
【点评】本题结合动点考查三角形面积公式的应用，核心是确定三角形的底和不变的高，属于基础题型，能帮助巩固三角形面积的计算方法。
【难度系数】0.7

【变式训练 1】 端午节期间，某商场搞优惠促销活动：凡在本商场一次性购买粽子超过 $100$ 元，超过 $100$ 元的部分按八折优惠。在此活动中，小张到该商场一次性购买单价为 $60$ 元的礼盒 $x(x ＞ 2)$ 个，则付款金额 $y$(单位：元)与商品数量 $x$(单位：个)之间的关系式是()

A.$y = 48x$
B.$y = 48x + 20$
C.$y = 48x - 80$
D.$y = 48x + 40$

变式训练 1 B

每个礼盒单价60元，购买x个礼盒的原价为$60x$元。
因为$x＞2$，所以$60x＞120$，超过100元。
超过100元的部分为$60x - 100$元，这部分按八折优惠，优惠后的金额为$0.8(60x - 100)$元。
付款金额$y = 100 + 0.8(60x - 100)$，化简得：
$\begin{aligned}y&=100 + 48x - 80\\&=48x + 20\end{aligned}$
答案：B

例 2 已知两个变量 $x$，$y$ 之间的关系如图所示，当 $x$ 分别取 $0$，$\frac{3}{2}$，$3$ 时，求输出的 $y$ 值。

当$x=0$时，$y=x+1=0+1=1$；
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=\frac{2}{x}=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$；
当$x=3$时，$y=x-1=3-1=2$。

【分析】
要解决这个问题，需先明确分段函数不同区间对应的函数表达式，再分别判断每个输入的$x$值所属的区间，最后代入对应表达式计算$y$值即可。
【解析】
分情况计算：
1. 当$x=0$时，$0＜1$，对应函数式为$y=x+1$，代入得$y=0+1=1$；
2. 当$x=\frac{3}{2}$时，$1≤\frac{3}{2}≤2$，对应函数式为$y=\frac{2}{x}$，代入得$y=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$；
3. 当$x=3$时，$3＞2$，对应函数式为$y=x-1$，代入得$y=3-1=2$。
【答案】
当$x=0$时，$y=1$；当$x=\frac{3}{2}$时，$y=\frac{4}{3}$；当$x=3$时，$y=2$。
【知识点】
分段函数，函数值计算
【点评】
本题考查分段函数的求值，核心是准确判断自变量所在区间并选择对应函数式，属于基础题型，侧重对分段函数概念的理解与简单应用。
【难度系数】
0.8

【变式训练 2】 日常生活中，“老人”是一个模糊概念，可用“老人系数”表示一个人的老年化程度。“老人系数”的计算方法如下表：

按照这样的规定，“老人系数”为 $0.6$ 的人的年龄是岁。

变式训练 2 72

解：设“老人系数”为$0.6$的人的年龄是$x$岁。
因为$0.6$介于$0$和$1$之间，所以$60 ＜ x ＜ 80$。
根据“老人系数”的计算方法，可得方程：$\frac{x - 60}{20} = 0.6$
解方程：$x - 60 = 0.6×20$
$x - 60 = 12$
$x = 72$
72