1. 信息时代确保信息安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原成明文。已知某种加密规则如图所示，则当发送方发出 $ a = 2 $，$ b = 4 $时，$ mn = $。

1. 120

解：当$a = 2$，$b = 4$时，
$m=a^{2}+ab^{2}+\dfrac{1}{4}b^{2}=2^{2}+2×4^{2}+\dfrac{1}{4}×4^{2}=4 + 2×16+\dfrac{1}{4}×16=4 + 32 + 4=40$，
$n=(4a^{2}b - 2a^{3})÷(-2a)^{2}=(4a^{2}b - 2a^{3})÷4a^{2}=b-\dfrac{1}{2}a=4-\dfrac{1}{2}×2=4 - 1=3$，
$mn = 40×3 = 120$。
120

2. 小明在研究末位数问题时，发现 3 的正整数次幂的末位数有如下规律：
$ 3^1 = 3 $，$ 3^2 = 9 $，$ 3^3 = 27 $，$ 3^4 = 81 $，$ 3^5 = 243 $，$ ··· $。
根据小明研究的规律，$ (3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) - 1 $的末位数字是。

2. 9

$(3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) - 1$
$=(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) - 1$
$=(3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) - 1$
$=(3^8 - 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) - 1$
$=(3^{16} - 1)(3^{16} + 1) - 1$
$=3^{32} - 1 - 1$
$=3^{32} - 2$
因为$3^n$的末位数字以$3$、$9$、$7$、$1$循环，$32÷4 = 8$，所以$3^{32}$的末位数字是$1$，则$3^{32}-2$的末位数字是$1 - 2 + 10 = 9$。
9

3. 观察下列各式：
$ 15^2 = 225 $，$ 25^2 = 625 $，$ 35^2 = 1225 $，$ ··· $。
个位数字是 5 的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？

3. 解：个位数字是 5 的两位数平方后，末尾的两个数总是 25。理由如下：
设这个两位数是 $ 10n + 5 $，其中 $ n $ 是小于 10 的正整数，则
$ (10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 $。
因为 $ 100n^2 $，$ 100n $ 的末尾两个数都是 0，
所以 $ 100n^2 + 100n + 25 $ 的末尾两个数必是 25，
即 $ (10n + 5)^2 $ 的末尾两个数总是 25。

【分析】先观察题目给出的特例：$15^2=225$、$25^2=625$、$35^2=1225$，发现个位是5的两位数平方后，结果末尾两位均为25，由此猜想规律；为验证规律的普遍性，需用代数方法，设该两位数为$10n+5$（$n$为正整数），展开其平方后分析末尾两位数字即可。
【解析】解：个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是25。理由如下：
设这个个位数字是5的两位数为$10n + 5$（其中$n$是小于10的正整数），根据完全平方公式展开：
$(10n + 5)^2 = (10n)^2 + 2×10n×5 + 5^2 = 100n^2 + 100n + 25$
因为$100n^2$和$100n$都是100的倍数，它们的末尾两位数字均为0，所以$100n^2 + 100n + 25$的末尾两位数字必是25，即个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是25。
【答案】个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是25。
【知识点】完全平方公式，找规律
【点评】本题通过观察特例归纳规律，再用代数运算证明规律，体现了从特殊到一般的数学思想，是整式乘法应用的基础题型，有助于培养学生的归纳推理能力。
【难度系数】0.4

4. 观察下列各式：
$ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 $；
$ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 $；
$ (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1 $；$ ··· $。
(1) 猜想：$ (x - 1)(x^n + x^{n - 1} + ··· + x + 1) = $；
(2) 当$ (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0 $时，$ x^{2025} - 1 = $。
(3) 根据上述规律，求$ 3^{2025} + 3^{2024} + ··· + 3^3 + 3^2 + 3 + 1 $的个位数字。

4. 解：（1）$ (x - 1)(x^n + x^{n - 1} + ··· + x^2 + x + 1) = x^{n + 1} - 1 $
（2）因为 $ (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 - 1 = 0 $，
所以 $ x = \pm 1 $。
当 $ x = -1 $ 时，$ x^{2025} - 1 = -2 $；
当 $ x = 1 $ 时，$ x^{2025} - 1 = 0 $。
（3）$ 3^{2025} + 3^{2024} + ··· + 3^3 + 3^2 + 3 + 1 $
$ = \frac{1}{2}(3 - 1)(3^{2025} + 3^{2024} + ··· + 3^3 + 3^2 + 3 + 1) $
$ = \frac{1}{2}(3^{2026} - 1) $。
因为 $ 3^1 = 3 $，$ 3^2 = 9 $，$ 3^3 = 27 $，$ 3^4 = 81 $，$ 3^5 = 243 $，$···$，
所以 $ 3^n $ 的个位数字按 3，9，7，1 的规律重复出现。
因为 $ 2026 ÷ 4 = 506 ··· ··· 2 $，
所以 $ 3^{2026} $ 的个位数字是 9，
所以原式的个位数字是 4。

【分析】
本题是规律探究型代数题，解题思路如下：
1. 观察已知的三个等式，归纳多项式乘法的规律，解决第(1)问；
2. 利用第(1)问的规律，将第(2)问的等式转化为关于x的方程，求解x后代入计算；
3. 第(3)问需逆用上述规律构造符合形式的式子，再结合3的幂次个位数字的循环规律，计算原式的个位数字。
【解析】
（1）观察已知等式：
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$，对应多项式最高次为1，结果为$x^{1+1}-1$；
$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$，对应多项式最高次为2，结果为$x^{2+1}-1$；
$(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1$，对应多项式最高次为3，结果为$x^{3+1}-1$；
由此猜想：$(x - 1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$。
（2）根据（1）的规律，$(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^{5+1} -1 = x^6 -1$；
已知该式等于0，即$x^6 -1 =0$，解得$x^6=1$，所以$x=1$或$x=-1$；
当$x=1$时，$x^{2025} -1 =1^{2025} -1=0$；
当$x=-1$时，$x^{2025} -1=(-1)^{2025} -1=-1 -1=-2$；
故$x^{2025} -1$的值为0或-2。
（3）设$A=3^{2025} + 3^{2024} + \dots + 3 +1$，根据（1）的规律，$(3 -1)A=3^{2026} -1$，所以$A=\frac{3^{2026} -1}{2}$；
观察3的幂次个位数字：$3^1=3$（个位3），$3^2=9$（个位9），$3^3=27$（个位7），$3^4=81$（个位1），$3^5=243$（个位3），可知个位数字按3、9、7、1循环，周期为4；
计算$2026÷4=506······2$，即$3^{2026}$的个位数字与$3^2$的个位数字相同，为9；
则$3^{2026}-1$的个位数字为$9-1=8$，所以$A$的个位数字为$8÷2=4$，即原式的个位数字为4。
【答案】
（1）$x^{n+1}-1$；（2）0或-2；（3）4
【知识点】
规律探究、多项式乘法公式、幂的个位数字规律
【点评】
本题通过观察多项式乘法的规律，考查学生的归纳推理能力，同时结合方程求解、幂的周期性运算，需要学生灵活运用公式，逆用规律解决问题，是代数部分的典型探究题。
【难度系数】
0.5