13. (8分)已知$10^{m}=20$,$10^{n}=4$.
(1)当$10^{2m - n}=10^{a}$时,求$a$的值.
(2)求$2^{6m}÷ 8^{n}$的值.

13. (1)$\because 10^{m}=20$,$10^{n}=4$,$\therefore 10^{2m - n}=10^{2m}÷10^{n}=(10^{m})^{2}÷10^{n}=20^{2}÷4=100=10^{2}=10^{a}$,$\therefore a = 2$. (2)由(1),得$2m - n = 2$,$\therefore 2^{6m}÷8^{n}=2^{6m}÷(2^{3})^{n}=2^{6m}÷2^{3n}=2^{6m - 3n}=2^{3(2m - n)}=2^{3×2}=2^{6}=64$.

14. (8分)(1)已知$4^{m}=a$,$8^{n}=b$,用含$a$、$b$的式子表示下列代数式:
①求$2^{2m + 3n}$的值;
②求$2^{4m - 6n}$的值.
(2)已知$2×8^{x}×16 = 2^{26}$,求$x$的值.

14. (1)①$\because 4^{m}=a$,$8^{n}=b$,$\therefore 2^{2m + 3n}=2^{2m}· 2^{3n}=4^{m}· 8^{n}=ab$. ②$2^{4m - 6n}=2^{4m}÷2^{6n}=(2^{2})^{2m}÷(2^{3})^{2n}=(4^{m})^{2}÷(8^{n})^{2}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$. (2)$\because 2×8^{x}×16=2^{26}$,$\therefore 2×(2^{3})^{x}×2^{4}=2^{26}$,$\therefore 2×2^{3x}×2^{4}=2^{26}$,$\therefore 2^{1 + 3x + 4}=2^{26}$,$\therefore 1 + 3x + 4 = 26$,解得$x = 7$.

15. (8分)已知$(a^{x})^{y}=a^{6}$,$(a^{x})^{2}÷ a^{y}=a^{4}$,求$xy - 3(2x - y)$的值.

15. $\because (a^{x})^{y}=a^{6}$,$\therefore a^{xy}=a^{6}$,$\therefore xy = 6$.$\because (a^{x})^{2}÷a^{y}=a^{4}$,$\therefore a^{2x}÷a^{y}=a^{2x - y}=a^{4}$,$\therefore 2x - y = 4$,$\therefore$原式$=6 - 3×4 = 6 - 12 = -6$.

16. (10分)规定两数$a$、$b$之间的一种运算,记作$(a,b)$:如果$a^{c}=b$,那么$(a,b)=c$.例如:如果$2^{3}=8$,那么$(2,8)=3$.
(1)根据上述规定,填空:$(3,27)=$,$(-2,4)=$.
(2)小明在研究这种运算时发现一个规律:$(3^{n},4^{n})=(3,4)$.
他给出了如下的证明:
设$(3^{n},4^{n})=x$,则$(3^{n})^{x}=4^{n}$,$\therefore(3^{x})^{n}=4^{n}$,
$\therefore3^{x}=4$,$\therefore(3,4)=x$,
$\therefore(3^{n},4^{n})=(3,4)$.
请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立.
$(4,5)+(4,6)=(4,30)$.
(3)计算:$(3,9)×(3,20)-(3,5)$.

16. (1)3 2 解析:$\because 3^{3}=27$,$(-2)^{2}=4$,$\therefore (3,27)=3$,$(-2,4)=2$. (2)设$(4,5)=x$,$(4,6)=y$,$(4,30)=z$,则$4^{x}=5$,$4^{y}=6$,$4^{z}=30$,$\therefore 4^{x}· 4^{y}=5×6 = 30$,$\therefore 4^{x}· 4^{y}=4^{z}$,$\therefore 4^{x + y}=4^{z}$,$\therefore x + y = z$,即$(4,5)+(4,6)=(4,30)$. (3)设$(3,20)=a$,$(3,5)=b$,则$3^{a}=20$,$3^{b}=5$.$\because (3,9)=2$,$\therefore (3,9)×(3,20)-(3,5)=2a - b$.$\because 3^{2a - b}=(3^{a})^{2}÷3^{b}=20^{2}÷5 = 80$,$\therefore 2a - b=(3,80)$,即$(3,9)×(3,20)-(3,5)=(3,80)$.

(1)3 2
(2)设$(4,5)=x$，$(4,6)=y$，$(4,30)=z$，则$4^{x}=5$，$4^{y}=6$，$4^{z}=30$。
$\because 4^{x}·4^{y}=5×6=30$，
$\therefore 4^{x}·4^{y}=4^{z}$，
$\therefore 4^{x+y}=4^{z}$，
$\therefore x+y=z$，
即$(4,5)+(4,6)=(4,30)$。
(3)设$(3,20)=a$，$(3,5)=b$，则$3^{a}=20$，$3^{b}=5$。
$\because (3,9)=2$，
$\therefore (3,9)×(3,20)-(3,5)=2a - b$。
$\because 3^{2a - b}=(3^{a})^{2}÷3^{b}=20^{2}÷5=80$，
$\therefore 2a - b=(3,80)$，
即$(3,9)×(3,20)-(3,5)=(3,80)$。