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一、选择题
1. 下列方程中，属于二元一次方程的是(
A.$3x - 2y = 4z$
B.$6xy + 9 = 0$
C.$\frac{1}{x} + 4y = 6$
D.$4x = \frac{y - 2}{4}$
1. 下列方程中，属于二元一次方程的是(
D
)A.$3x - 2y = 4z$
B.$6xy + 9 = 0$
C.$\frac{1}{x} + 4y = 6$
D.$4x = \frac{y - 2}{4}$
答案
1. D
2. 已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + 5y = 13①\\3x - 7y = -7②\end{cases}$，用加减消元法解方程组正确的是( )
A.$①×5 - ②×7$
B.$①×2 + ②×3$
C.$①×3 - ②×2$
D.$①×7 - ②×5$
A.$①×5 - ②×7$
B.$①×2 + ②×3$
C.$①×3 - ②×2$
D.$①×7 - ②×5$
答案
2. C 解析:①×3 - ②×2,得 $ 29y = 53 $,可消去 $ x $ 或
①×7 + ②×5,得 $ 29x = 56 $,可消去 $ y $.
①×7 + ②×5,得 $ 29x = 56 $,可消去 $ y $.
3. 已知有理数$x$、$y$满足方程组$\begin{cases}3x - y = 3\\2y - x = -4\end{cases}$，则$2x + y$的值为( )
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
3. A 解析$\begin{cases} 3x - y = 3①, \\ 2y - x = -4②. \end{cases}$ ① + ②,得 $ 3x - y + 2y - x = 3 + (-4) $,化简,得 $ 2x + y = -1 $.
4. 某宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团$20$人准备租用$7$间客房，每间客房都住满，那么租房方案有(
A.$1$种
B.$2$种
C.$3$种
D.$4$种
B
)A.$1$种
B.$2$种
C.$3$种
D.$4$种
答案
4. B 解析:设宾馆有二人间 $ x $ 间、三人间 $ y $ 间、四人间 $ z $ 间,根据题意,得 $\begin{cases} 2x + 3y + 4z = 20, \\ x + y + z = 7, \end{cases}$ 解得 $ y + 2x = 8 $,$\therefore y = 8 - 2x $,$\because x $、$ y $、$ z $ 都是正整数,$\therefore $ 当 $ x = 1 $ 时,$ y = 6 $,$ z = 0 $(不符合题意,舍去);当 $ x = 2 $ 时,$ y = 4 $,$ z = 1 $;当 $ x = 3 $ 时,$ y = 2 $,$ z = 2 $;当 $ x = 4 $ 时,$ y = 0 $,$ z = 0 $(不符合题意,舍去).$\therefore $ 租房方案有 2 种.
5. 若关于$x$、$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - y = 4m + 1\\x + y = 2m - 5\end{cases}$的解满足$x - y = 5$，则$m$的值为( )
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
5. C 解析:$\begin{cases} 3x - y = 4m + 1①, \\ x + y = 2m - 5②, \end{cases}$ ① - ②,得 $ x - y = m + 3 $.$\because $ 二元一次方程组的解满足 $ x - y = 5 $,$\therefore m + 3 = 5 $,解得 $ m = 2 $.
二、填空题
6. 写出一个解为$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$的二元一次方程： ______ .
6. 写出一个解为$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$的二元一次方程： ______ .
答案
6. $ x + y = -1 $(答案不唯一)
7. 已知$\begin{cases}x = 2\\y = m\end{cases}$是方程$3x + 2y = 10$的一个解，则$m$的值为 ______ .
答案
7. 2 解析:把 $\begin{cases} x = 2, \\ y = m \end{cases}$ 代入方程得 $ 3×2 + 2m = 10 $,$\therefore m = 2 $.
解析
把$\begin{cases} x = 2 \\ y = m \end{cases}$代入方程$3x + 2y = 10$，得$3×2 + 2m = 10$，即$6 + 2m = 10$，$2m = 10 - 6$，$2m = 4$，解得$m = 2$。
2
2
8. 若关于$x$、$y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax + 3y = 2a - 1\\x - y = 1\end{cases}$的解满足$x + y = 5$，则$a$的值为 ______ .
答案
8. -7 解析:由题意可得 $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + y = 5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2, \end{cases}$ 把 $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$ 代入方程 $ ax + 3y = 2a - 1 $,得 $ 3a + 3×2 = 2a - 1 $,$\therefore a = -7 $.
9. 某家商店的账目记录显示，卖出$26$支$A$型牙刷和$14$盒$B$型牙膏，收入$264$元.若以同样的价格卖出同款的$39$支牙刷和$21$盒牙膏，则收入应是
396
元.答案
9. 396 解析:设牙刷每支 $ x $ 元,牙膏每盒 $ y $ 元.根据题意,得 $ 26x + 14y = 264 $,$\therefore 39x + 21y = \frac{3}{2}(26x + 14y) = \frac{3}{2}×264 = 396 $,即卖出同款的 39 支牙刷和 21 盒牙膏收入 396 元.
解析
设牙刷每支$x$元，牙膏每盒$y$元。根据题意，得$26x + 14y = 264$。
$\because 39x + 21y = \frac{3}{2}(26x + 14y)$
$\therefore 39x + 21y = \frac{3}{2}×264 = 396$
396
$\because 39x + 21y = \frac{3}{2}(26x + 14y)$
$\therefore 39x + 21y = \frac{3}{2}×264 = 396$
396
10. 关于$x$、$y$的二元一次方程$(3 + 2m)x + (m - 2)y + 9 - m = 0$，不论$m$取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为.
答案
10. $\begin{cases} x = -1, \\ y = 3 \end{cases}$ 解析:$(3 + 2m)x + (m - 2)y + 9 - m = 0 $ 可化为 $ (3x - 2y + 9) + m(2x + y - 1) = 0 $,$\because $ 不论 $ m $ 取何值,方程总有一组固定不变的解,$\therefore \begin{cases} 3x - 2y + 9 = 0, \\ 2x + y - 1 = 0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = -1, \\ y = 3. \end{cases}$
解析
$(3 + 2m)x + (m - 2)y + 9 - m = 0$可化为$(3x - 2y + 9) + m(2x + y - 1) = 0$，
因为不论$m$取何值，方程总有一组固定不变的解，
所以$\begin{cases}3x - 2y + 9 = 0 \\ 2x + y - 1 = 0\end{cases}$，
解方程组：
由$2x + y - 1 = 0$得$y = 1 - 2x$，
将$y = 1 - 2x$代入$3x - 2y + 9 = 0$，
$3x - 2(1 - 2x) + 9 = 0$，
$3x - 2 + 4x + 9 = 0$，
$7x + 7 = 0$，
$7x = -7$，
$x = -1$，
将$x = -1$代入$y = 1 - 2x$，得$y = 1 - 2×(-1) = 3$，
所以这组解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases}$
因为不论$m$取何值，方程总有一组固定不变的解，
所以$\begin{cases}3x - 2y + 9 = 0 \\ 2x + y - 1 = 0\end{cases}$，
解方程组：
由$2x + y - 1 = 0$得$y = 1 - 2x$，
将$y = 1 - 2x$代入$3x - 2y + 9 = 0$，
$3x - 2(1 - 2x) + 9 = 0$，
$3x - 2 + 4x + 9 = 0$，
$7x + 7 = 0$，
$7x = -7$，
$x = -1$，
将$x = -1$代入$y = 1 - 2x$，得$y = 1 - 2×(-1) = 3$，
所以这组解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases}$
三、解答题
11. 解下列方程：
（1）$\begin{cases}x - 2y = 1\\3x + 4y = 23\end{cases}$
（2）$\begin{cases}3(x - 1) = y + 5\frac{y - 1}{3} = \frac{x}{5} + 1\end{cases}$
11. 解下列方程：
（1）$\begin{cases}x - 2y = 1\\3x + 4y = 23\end{cases}$
（2）$\begin{cases}3(x - 1) = y + 5\frac{y - 1}{3} = \frac{x}{5} + 1\end{cases}$
答案
11. (1)$\begin{cases} x - 2y = 1①, \\ 3x + 4y = 23②, \end{cases}$ ①×2 + ②,得 $ 5x = 25 $,解得 $ x = 5 $,把 $ x = 5 $ 代入①,得 $ 5 - 2y = 1 $,解得 $ y = 2 $,$\therefore $ 方程组的解为 $\begin{cases} x = 5, \\ y = 2. \end{cases}$ (2)将方程组变形可得 $\begin{cases} 3x - y = 8①, \\ 3x - 5y = -20②, \end{cases}$ ① - ②,得 $ 4y = 28 $,解得 $ y = 7 $,将 $ y = 7 $ 代入①,得 $ 3x - 7 = 8 $,解得 $ x = 5 $,$\therefore $ 方程组的解为 $\begin{cases} x = 5, \\ y = 7. \end{cases}$
