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1. 下列方程组中,属于二元一次方程组的是(
A.$\begin{cases}2x + y - xy = 1, \\ 3x - 2y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}3x = y - 1, \\ 5x - 4z = 7\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + \dfrac{2}{y} = 5, \\ 5x + y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + y = 7, \\ 3x + y = 9\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}2x + y - xy = 1, \\ 3x - 2y = 3\end{cases}$
B.$\begin{cases}3x = y - 1, \\ 5x - 4z = 7\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + \dfrac{2}{y} = 5, \\ 5x + y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + y = 7, \\ 3x + y = 9\end{cases}$
答案
1. D
2. 用加减法解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 4\textcircled{1}, \\ 3x + 2y = 3\textcircled{2},\end{cases}$下列方法正确的是( )
A.$\textcircled{1}×2 + \textcircled{2}×3$消去 $y$
B.$\textcircled{1}×3 - \textcircled{2}×2$消去 $y$
C.$\textcircled{1}×3 + \textcircled{2}×2$消去 $x$
D.$\textcircled{1}×2 + \textcircled{2}×3$消去 $x$
A.$\textcircled{1}×2 + \textcircled{2}×3$消去 $y$
B.$\textcircled{1}×3 - \textcircled{2}×2$消去 $y$
C.$\textcircled{1}×3 + \textcircled{2}×2$消去 $x$
D.$\textcircled{1}×2 + \textcircled{2}×3$消去 $x$
答案
2. A 解析:①×2+②×3,能消去 y,故 A 选项符合题意;①×3-②×2,不能消去 y,故 B 选项不符合题意;①×3+②×2,不能消去 x,故 C 选项不符合题意;①×2+②×3,不能消去 x,故 D 选项不符合题意.
3. 某生产太阳镜的车间共有 60 名工人,1 名工人每天可生产镜片 200 片或镜架 50 个. 两个镜片和一个镜架配套,应如何分配工人生产镜片和镜架,才能使产品配套? 设安排 $x$ 名工人生产镜片,$y$ 名工人生产镜架,则可列方程组为(
A.$\begin{cases}x + y = 60, \\ 200x = 2×50y\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 60, \\ 2×200x = 50y\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 60, \\ 200x = 50y\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 60, \\ 200x = \dfrac{1}{2}×50y\end{cases}$
A
)A.$\begin{cases}x + y = 60, \\ 200x = 2×50y\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 60, \\ 2×200x = 50y\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 60, \\ 200x = 50y\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 60, \\ 200x = \dfrac{1}{2}×50y\end{cases}$
答案
3. A
4. 已知 $x$、$y$ 满足方程组$\begin{cases}x + m = 4, \\ y - 5 = m,\end{cases}$则无论 $m$ 取何值,$x$、$y$ 始终满足( )
A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 9$
D.$x + y = -9$
A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 9$
D.$x + y = -9$
答案
4. C 解析:将 y - 5 = m 代入 x + m = 4,得 x + (y - 5) = 4,
∴x + y = 9.
∴x + y = 9.
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
5. 已知方程 $3x - 4y = 6$,用含 $x$ 的式子表示 $y$ 为
5. 已知方程 $3x - 4y = 6$,用含 $x$ 的式子表示 $y$ 为
$ y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} $
.答案
5. $ y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} $ 解析:
∵3x - 4y = 6,
∴ - 4y = - 3x + 6,
∴$ y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} $.
∵3x - 4y = 6,
∴ - 4y = - 3x + 6,
∴$ y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} $.
6. 若 $x^{2m - 1} + 5y^{3m - 2n} = 7$ 是二元一次方程,则 $m =$
1
,$n =$1
.答案
6. 1 1 解析:根据题意,得$ \begin{cases} 2m - 1 = 1, \\ 3m - 2n = 1, \end{cases} $解得$ \begin{cases} m = 1, \\ n = 1. \end{cases} $
7. 若 $(a + b - 1)^2 + |2a - b + 7| = 0$,则 $a^b =$
- 8
.答案
7. - 8 解析:
∵$ (a + b - 1)^2 + |2a - b + 7| = 0 $,
∴$ \begin{cases} a + b - 1 = 0, \\ 2a - b + 7 = 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = - 2, \\ b = 3, \end{cases} $
∴$ a^b = (-2)^3 = - 8 $.
∵$ (a + b - 1)^2 + |2a - b + 7| = 0 $,
∴$ \begin{cases} a + b - 1 = 0, \\ 2a - b + 7 = 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = - 2, \\ b = 3, \end{cases} $
∴$ a^b = (-2)^3 = - 8 $.
8. 已知关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组$\begin{cases}x - 2y = 6, \\ 3x - y = a\end{cases}$的解 $x$、$y$ 互为相反数,则 $a$ 的值为 ______ .
答案
8. 8 解析:
∵方程组$ \begin{cases} x - 2y = 6, \\ 3x - y = a \end{cases} $的解 x、y 互为相反数,
∴x + y = 0,即 y = - x,代入方程 x - 2y = 6,得 x - 2×(-x) = 6,解得 x = 2,
∴y = - 2,
∴a = 3x - y = 3×2 - (-2) = 8.
∵方程组$ \begin{cases} x - 2y = 6, \\ 3x - y = a \end{cases} $的解 x、y 互为相反数,
∴x + y = 0,即 y = - x,代入方程 x - 2y = 6,得 x - 2×(-x) = 6,解得 x = 2,
∴y = - 2,
∴a = 3x - y = 3×2 - (-2) = 8.
9. 小玲解得方程组$\begin{cases}2x + y = a, \\ 2x - y = 12\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 5, \\ y = b,\end{cases}$由于不小心滴上两滴墨水,刚好遮住了两个数(用“$a$”和“$b$”表示),则 $a =$ ______ ,$b =$ ______ .
答案
9. 8 - 2 解析:根据题意,得$ \begin{cases} 10 + b = a, \\ 10 - b = 12, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 8, \\ b = - 2. \end{cases} $
解析
将$x = 5$代入$2x - y = 12$，得$2×5 - y = 12$，解得$y = - 2$，即$b=-2$。
将$x = 5$，$y = - 2$代入$2x + y = a$，得$2×5 + (-2)=a$，解得$a = 8$。
$a = 8$，$b=-2$
将$x = 5$，$y = - 2$代入$2x + y = a$，得$2×5 + (-2)=a$，解得$a = 8$。
$a = 8$，$b=-2$
10. (2024·宿迁)若关于 $x$、$y$ 的二元一次方程组$\begin{cases}ax + y = b, \\ cx - y = d\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2,\end{cases}$则关于 $x$、$y$ 的方程组$\begin{cases}ax + 2y = 2a + b, \\ cx - 2y = 2c + d\end{cases}$的解是 ______ .
答案
10. $ \begin{cases} x = 5, \\ y = - 1 \end{cases} $ 解析:方程组$ \begin{cases} ax + 2y = 2a + b, \\ cx - 2y = 2c + d \end{cases} $可转化为$ \begin{cases} a(x - 2) + 2y = b, \\ c(x - 2) - 2y = d, \end{cases} $
∵关于 x、y 的二元一次方程组$ \begin{cases} ax + y = b, \\ cx - y = d \end{cases} $的解是$ \begin{cases} x = 3, \\ y = - 2, \end{cases} $
∴x - 2 = 3,2y = - 2,解得 x = 5,y = - 1,即关于 x、y 的方程组$ \begin{cases} ax + 2y = 2a + b, \\ cx - 2y = 2c + d \end{cases} $的解是$ \begin{cases} x = 5, \\ y = - 1. \end{cases} $
∵关于 x、y 的二元一次方程组$ \begin{cases} ax + y = b, \\ cx - y = d \end{cases} $的解是$ \begin{cases} x = 3, \\ y = - 2, \end{cases} $
∴x - 2 = 3,2y = - 2,解得 x = 5,y = - 1,即关于 x、y 的方程组$ \begin{cases} ax + 2y = 2a + b, \\ cx - 2y = 2c + d \end{cases} $的解是$ \begin{cases} x = 5, \\ y = - 1. \end{cases} $
三、解答题(共 50 分)
11. (8 分)解下列方程组:
(1)$\begin{cases}x = y + 1, \\ 3x - 4y = -2;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\dfrac{x}{2} - \dfrac{y + 1}{3} = 1, \\ 3x + 2y = 10.\end{cases}$
11. (8 分)解下列方程组:
(1)$\begin{cases}x = y + 1, \\ 3x - 4y = -2;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\dfrac{x}{2} - \dfrac{y + 1}{3} = 1, \\ 3x + 2y = 10.\end{cases}$
答案
11. (1)$ \begin{cases} x = y + 1①, \\ 3x - 4y = - 2②. \end{cases} $将①代入②,得 3(y + 1) - 4y = - 2,解得 y = 5,把 y = 5 代入①,得 x = 6,
∴原方程组的解是$ \begin{cases} x = 6, \\ y = 5. \end{cases} $
(2)$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y + 1}{3} = 1①, \\ 3x + 2y = 10②. \end{cases} $由①得,3x - 2y = 8③,②+③,得 6x = 18,解得 x = 3,把 x = 3 代入②,得 3×3 + 2y = 10,解得$ y = \frac{1}{2} $,
∴原方程组的解是$ \begin{cases} x = 3, \\ y = \frac{1}{2}. \end{cases} $
∴原方程组的解是$ \begin{cases} x = 6, \\ y = 5. \end{cases} $
(2)$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y + 1}{3} = 1①, \\ 3x + 2y = 10②. \end{cases} $由①得,3x - 2y = 8③,②+③,得 6x = 18,解得 x = 3,把 x = 3 代入②,得 3×3 + 2y = 10,解得$ y = \frac{1}{2} $,
∴原方程组的解是$ \begin{cases} x = 3, \\ y = \frac{1}{2}. \end{cases} $
