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12. (10 分)已知关于 $x$、$y$ 的方程组$\begin{cases}4x - y = 5, \\ ax + by = -1\end{cases}$和$\begin{cases}3x + y = 9, \\ 3x + 4by = 18\end{cases}$有相同的解.
(1)求出它们的相同解.
(2)求 $(3a + 5b)^{2026}$ 的值.
(1)求出它们的相同解.
(2)求 $(3a + 5b)^{2026}$ 的值.
答案
12. (1)根据题意,得$ \begin{cases} 4x - y = 5①, \\ 3x + y = 9②, \end{cases} $①+②,得 7x = 14,解得 x = 2,把 x = 2 代入②,得 3×2 + y = 9,解得 y = 3,故它们的相同解是$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 3. \end{cases} $
(2)将$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases} $代入$ \begin{cases} ax + by = - 1, \\ 3x + 4by = 18, \end{cases} $得$ \begin{cases} 2a + 3b = - 1, \\ 6 + 12b = 18, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = - 2, \\ b = 1. \end{cases} $
∴$ (3a + 5b)^{2026} = [3×(-2) + 5×1]^{2026} = (-1)^{2026} = 1 $.
(2)将$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases} $代入$ \begin{cases} ax + by = - 1, \\ 3x + 4by = 18, \end{cases} $得$ \begin{cases} 2a + 3b = - 1, \\ 6 + 12b = 18, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = - 2, \\ b = 1. \end{cases} $
∴$ (3a + 5b)^{2026} = [3×(-2) + 5×1]^{2026} = (-1)^{2026} = 1 $.
13. (10 分)已知方程组$\begin{cases}ax - y = 5\textcircled{1}, \\ 3x + by = 2\textcircled{2},\end{cases}$由于甲看错了①中的 $a$,得到方程组的解为$\begin{cases}x = -6, \\ y = 5,\end{cases}$乙看错了方程组②中的 $b$,得到方程组的解为$\begin{cases}x = 4, \\ y = 3,\end{cases}$若按照正确的 $a$、$b$ 计算,请求出方程组的解.
答案
13. 把$ \begin{cases} x = - 6, \\ y = 5 \end{cases} $代入②,得 - 18 + 5b = 2,解得 b = 4,把$ \begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases} $代入①,得 4a - 3 = 5,解得 a = 2,
∴原方程组为$ \begin{cases} 2x - y = 5①, \\ 3x + 4y = 2②. \end{cases} $①×4,得 8x - 4y = 20③,②+③,得 11x = 22,解得 x = 2,把 x = 2 代入①,得 2×2 - y = 5,解得 y = - 1,
∴原方程组的解为$ \begin{cases} x = 2, \\ y = - 1. \end{cases} $
∴原方程组为$ \begin{cases} 2x - y = 5①, \\ 3x + 4y = 2②. \end{cases} $①×4,得 8x - 4y = 20③,②+③,得 11x = 22,解得 x = 2,把 x = 2 代入①,得 2×2 - y = 5,解得 y = - 1,
∴原方程组的解为$ \begin{cases} x = 2, \\ y = - 1. \end{cases} $
14. (12 分)已知$\begin{cases}x = m + 2, \\ y = \dfrac{5 - m}{2}.\end{cases}$
(1)用含 $x$ 的代数式表示 $y$.
(2)如果 $x$、$y$ 为自然数,那么 $x$、$y$ 的值分别为多少?
(3)如果 $x$、$y$ 为整数,求 $(-2)^x·4^y$ 的值.
(1)用含 $x$ 的代数式表示 $y$.
(2)如果 $x$、$y$ 为自然数,那么 $x$、$y$ 的值分别为多少?
(3)如果 $x$、$y$ 为整数,求 $(-2)^x·4^y$ 的值.
答案
14. (1)$ \begin{cases} x = m + 2①, \\ y = \frac{5 - m}{2}②. \end{cases} $由①,得 m = x - 2③,将③代入②,得$ y = \frac{7 - x}{2} $.
(2)当 x = 1 时,y = 3;当 x = 3 时,y = 2;当 x = 5 时,y = 1;当 x = 7 时,y = 0.
(3)由(1),得 x + 2y = 7,则原式 = (-2)^x·[(-2)^2]^y = (-2)^x·(-2)^{2y} = (-2)^{x + 2y} = (-2)^7 = - 128.
(2)当 x = 1 时,y = 3;当 x = 3 时,y = 2;当 x = 5 时,y = 1;当 x = 7 时,y = 0.
(3)由(1),得 x + 2y = 7,则原式 = (-2)^x·[(-2)^2]^y = (-2)^x·(-2)^{2y} = (-2)^{x + 2y} = (-2)^7 = - 128.
15. (10 分)定义一种新运算“※”:对于有理数 $x$、$y$,规定 $x※y = ax - by + 2$. 例如:$2※1 = 2a - b + 2$.
(1)若 $1※(-1) = -4,3※2 = 4$,求 $a$、$b$ 的值.
(2)在(1)的条件下,试说明:$x※y = (x - 2)※(y - 1)$.
(1)若 $1※(-1) = -4,3※2 = 4$,求 $a$、$b$ 的值.
(2)在(1)的条件下,试说明:$x※y = (x - 2)※(y - 1)$.
答案
15. (1)
∵1※(-1) = - 4,3※2 = 4,
∴$ \begin{cases} a + b + 2 = - 4, \\ 3a - 2b + 2 = 4, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = - 2, \\ b = - 4. \end{cases} $
(2)由(1)可知,a = - 2,b = - 4,
∴x※y = ax - by + 2 = - 2x + 4y + 2,(x - 2)※(y - 1) = a(x - 2) - b(y - 1) + 2 = - 2(x - 2) + 4(y - 1) + 2 = - 2x + 4y + 2,
∴x※y = (x - 2)※(y - 1).
∵1※(-1) = - 4,3※2 = 4,
∴$ \begin{cases} a + b + 2 = - 4, \\ 3a - 2b + 2 = 4, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = - 2, \\ b = - 4. \end{cases} $
(2)由(1)可知,a = - 2,b = - 4,
∴x※y = ax - by + 2 = - 2x + 4y + 2,(x - 2)※(y - 1) = a(x - 2) - b(y - 1) + 2 = - 2(x - 2) + 4(y - 1) + 2 = - 2x + 4y + 2,
∴x※y = (x - 2)※(y - 1).
