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13. 下列说法中正确的有（）
①分式$\frac{x+1}{x^2+1}$是最简分式；
②若分式$\frac{x^2 -9}{x^2 +2x -3}$的值为0，则$x=\pm3$；
③分式$\frac{x^2 +1}{x^2 -1}$的分子恒不为0，因此该分式对任意实数$x$都有意义；
④将分式$\frac{xy}{3x -2y}$中的$x,y$都扩大到原来的3倍，分式的值不变。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①分式$\frac{x+1}{x^2+1}$是最简分式；
②若分式$\frac{x^2 -9}{x^2 +2x -3}$的值为0，则$x=\pm3$；
③分式$\frac{x^2 +1}{x^2 -1}$的分子恒不为0，因此该分式对任意实数$x$都有意义；
④将分式$\frac{xy}{3x -2y}$中的$x,y$都扩大到原来的3倍，分式的值不变。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
我们逐个判断四个说法：
1. 对于①：分子$x+1$与分母$x^2+1$没有公因式，符合最简分式的定义，①正确。
2. 对于②：分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。由$x^2-9=0$得$x=\pm3$，当$x=-3$时，分母$x^2+2x-3=0$，分式无意义，因此仅$x=3$时分式值为0，②错误。
3. 对于③：当$x=\pm1$时，分母$x^2-1=0$，分式无意义，因此该分式不是对任意实数$x$都有意义，③错误。
4. 对于④：将$x,y$都扩大到原来的3倍，代入得新分式为$\frac{3x·3y}{3·3x-2·3y}=\frac{9xy}{3(3x-2y)}=\frac{3xy}{3x-2y}$，是原分式值的3倍，分式值发生变化，④错误。
综上，正确的说法只有1个。
1. 对于①：分子$x+1$与分母$x^2+1$没有公因式，符合最简分式的定义，①正确。
2. 对于②：分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。由$x^2-9=0$得$x=\pm3$，当$x=-3$时，分母$x^2+2x-3=0$，分式无意义，因此仅$x=3$时分式值为0，②错误。
3. 对于③：当$x=\pm1$时，分母$x^2-1=0$，分式无意义，因此该分式不是对任意实数$x$都有意义，③错误。
4. 对于④：将$x,y$都扩大到原来的3倍，代入得新分式为$\frac{3x·3y}{3·3x-2·3y}=\frac{9xy}{3(3x-2y)}=\frac{3xy}{3x-2y}$，是原分式值的3倍，分式值发生变化，④错误。
综上，正确的说法只有1个。
14.若$\frac{\sqrt{x+7}}{x-3}$有意义，则$x$的取值范围为。
答案
解：要使代数式$\frac{\sqrt{x+7}}{x-3}$有意义，需满足
$\begin{cases}x+7≥0 \\x-3≠0\end{cases}$
解不等式$x+7≥0$，得$x≥-7$，
解$x-3≠0$，得$x≠3$，
因此$x$的取值范围为$x≥-7$且$x≠3$。
$\begin{cases}x+7≥0 \\x-3≠0\end{cases}$
解不等式$x+7≥0$，得$x≥-7$，
解$x-3≠0$，得$x≠3$，
因此$x$的取值范围为$x≥-7$且$x≠3$。
15. 已知$m^2 - 3m -1=0$，则$4m^2 -6m + \frac{2m^2}{9m^2 +6m +1} +2025$的值是。
答案
$\boldsymbol{2049}$
解析
解：
由$m^2 - 3m - 1 = 0$，可得：
$m^2 - 3m = 1$，$m^2 = 3m + 1$，且$m ≠ 0$。
将$m^2 - 3m = 1$两边同乘2，得$2m^2 - 6m = 2$，因此$4m^2 - 6m = 2m^2 + 2$。
对$m^2 - 3m - 1 = 0$两边同时除以$m$，得：
$m - 3 - \frac{1}{m} = 0$，即$m - \frac{1}{m} = 3$。
两边平方得：$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2} = 9$，即$m^2 + \frac{1}{m^2} = 11$。
对分式分母变形：$9m^2 + 6m + 1 = (3m + 1)^2$，代入$3m + 1 = m^2$，得：
$9m^2 + 6m + 1 = (m^2)^2 = m^4$，
因此$\frac{2m^2}{9m^2 + 6m + 1} = \frac{2m^2}{m^4} = \frac{2}{m^2}$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}&4m^2 - 6m + \frac{2m^2}{9m^2 + 6m + 1} + 2025\\=&2m^2 + 2 + \frac{2}{m^2} + 2025\\=&2(m^2 + \frac{1}{m^2}) + 2027\\=&2×11 + 2027\\=&2049\end{aligned}$
由$m^2 - 3m - 1 = 0$，可得：
$m^2 - 3m = 1$，$m^2 = 3m + 1$，且$m ≠ 0$。
将$m^2 - 3m = 1$两边同乘2，得$2m^2 - 6m = 2$，因此$4m^2 - 6m = 2m^2 + 2$。
对$m^2 - 3m - 1 = 0$两边同时除以$m$，得：
$m - 3 - \frac{1}{m} = 0$，即$m - \frac{1}{m} = 3$。
两边平方得：$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2} = 9$，即$m^2 + \frac{1}{m^2} = 11$。
对分式分母变形：$9m^2 + 6m + 1 = (3m + 1)^2$，代入$3m + 1 = m^2$，得：
$9m^2 + 6m + 1 = (m^2)^2 = m^4$，
因此$\frac{2m^2}{9m^2 + 6m + 1} = \frac{2m^2}{m^4} = \frac{2}{m^2}$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}&4m^2 - 6m + \frac{2m^2}{9m^2 + 6m + 1} + 2025\\=&2m^2 + 2 + \frac{2}{m^2} + 2025\\=&2(m^2 + \frac{1}{m^2}) + 2027\\=&2×11 + 2027\\=&2049\end{aligned}$
16. 已知 $ a_1 = -\dfrac{1}{x} (x ≠ 0 \mathrm{ 且 } x ≠ -1), a_2 = \dfrac{1}{1 - a_1}, a_3 = \dfrac{1}{1 - a_2}, \dots, a_n = \dfrac{1}{1 - a_{n-1}} $，则 $ a_{2026} $ 的值为 ______。
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{1}{x}}$
解析
解：
计算数列前几项寻找循环规律：
已知 $ a_1 = -\dfrac{1}{x} $
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - (-\dfrac{1}{x})} = \frac{1}{\dfrac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - \dfrac{x}{x+1}} = \frac{1}{\dfrac{1}{x+1}} = x+1$
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - (x+1)} = -\frac{1}{x} = a_1$
由此可知该数列每3项循环一次，周期为3。
计算2026除以3的余数：
$ 2026 ÷ 3 = 675 \dots 1 $
余数为1，因此 $ a_{2026} = a_1 = -\dfrac{1}{x} $
计算数列前几项寻找循环规律：
已知 $ a_1 = -\dfrac{1}{x} $
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - (-\dfrac{1}{x})} = \frac{1}{\dfrac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - \dfrac{x}{x+1}} = \frac{1}{\dfrac{1}{x+1}} = x+1$
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - (x+1)} = -\frac{1}{x} = a_1$
由此可知该数列每3项循环一次，周期为3。
计算2026除以3的余数：
$ 2026 ÷ 3 = 675 \dots 1 $
余数为1，因此 $ a_{2026} = a_1 = -\dfrac{1}{x} $
17.已知$a+2b-3=0$，求$\dfrac{2a+4b}{a^2+4ab+4b^2}$的值。
答案
解：
由$a+2b-3=0$，可得$a+2b=3$。
对所求式子化简：
分子$2a+4b=2(a+2b)$，
分母$a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$，
因此原式$=\dfrac{2(a+2b)}{(a+2b)^2}=\dfrac{2}{a+2b}$。
将$a+2b=3$代入，得原式$=\dfrac{2}{3}$。
由$a+2b-3=0$，可得$a+2b=3$。
对所求式子化简：
分子$2a+4b=2(a+2b)$，
分母$a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$，
因此原式$=\dfrac{2(a+2b)}{(a+2b)^2}=\dfrac{2}{a+2b}$。
将$a+2b=3$代入，得原式$=\dfrac{2}{3}$。
