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15.运行程序如图所示，规定:从“输入一个值x”到“结果是否＞5”为一次程序操作。如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是。
答案
解：
根据程序操作进行了两次才停止，可得不等式组：
$\begin{cases}2x - 1 ≤ 5 \\2(2x - 1) - 1 ＞ 5\end{cases}$
解第一个不等式：
$2x ≤ 6$，得$x ≤ 3$
解第二个不等式：
$4x - 3 ＞ 5$，$4x ＞ 8$，得$x ＞ 2$
综上，x的取值范围是$\boldsymbol{2 ＜ x ≤ 3}$。
根据程序操作进行了两次才停止，可得不等式组：
$\begin{cases}2x - 1 ≤ 5 \\2(2x - 1) - 1 ＞ 5\end{cases}$
解第一个不等式：
$2x ≤ 6$，得$x ≤ 3$
解第二个不等式：
$4x - 3 ＞ 5$，$4x ＞ 8$，得$x ＞ 2$
综上，x的取值范围是$\boldsymbol{2 ＜ x ≤ 3}$。
16.已知关于x的方程$2x - a = -1$的解为负数。
(1)a 的取值范围为________；
(2)若$b - a = 3$，$b＞2$，则$a + b$的取值范围为________。
(1)a 的取值范围为________；
(2)若$b - a = 3$，$b＞2$，则$a + b$的取值范围为________。
答案
(1) $\boldsymbol{a ＜ 1}$；(2) $\boldsymbol{1 ＜ a + b ＜ 5}$
解析
解：
(1) 解方程$2x - a = -1$，
移项得：$2x = a - 1$，
系数化为1得：$x = \frac{a-1}{2}$。
∵方程的解为负数，
∴$\frac{a-1}{2} ＜ 0$，
解得：$a ＜ 1$。
(2) ∵$b - a = 3$，
∴$b = a + 3$，$a + b = 2a + 3$。
∵$b ＞ 2$，
∴$a + 3 ＞ 2$，解得$a ＞ -1$。
结合(1)中$a ＜ 1$，可得$-1 ＜ a ＜ 1$，
不等式两边同乘2得：$-2 ＜ 2a ＜ 2$，
不等式两边同时加3得：$1 ＜ 2a + 3 ＜ 5$，
即$1 ＜ a + b ＜ 5$。
(1) 解方程$2x - a = -1$，
移项得：$2x = a - 1$，
系数化为1得：$x = \frac{a-1}{2}$。
∵方程的解为负数，
∴$\frac{a-1}{2} ＜ 0$，
解得：$a ＜ 1$。
(2) ∵$b - a = 3$，
∴$b = a + 3$，$a + b = 2a + 3$。
∵$b ＞ 2$，
∴$a + 3 ＞ 2$，解得$a ＞ -1$。
结合(1)中$a ＜ 1$，可得$-1 ＜ a ＜ 1$，
不等式两边同乘2得：$-2 ＜ 2a ＜ 2$，
不等式两边同时加3得：$1 ＜ 2a + 3 ＜ 5$，
即$1 ＜ a + b ＜ 5$。
17. 把$a,b,c$三个数按照从小到大排列，最大的数记作$\max\{a,b,c\}$，例如$\max\{1,2,4\}=4$。若直线$y=kx+2k(k≠0)$与函数$y=\max\{\dfrac{1}{2}x+3,2x+1,-x+2\}$的图象有且只有1个交点，则$k$的取值范围是。
答案
解：
1. 先求三个函数两两交点：
令$\frac{1}{2}x+3=2x+1$，解得$x=\frac{4}{3}$，对应$y=\frac{11}{3}$；
令$\frac{1}{2}x+3=-x+2$，解得$x=-\frac{2}{3}$，对应$y=\frac{8}{3}$；
令$2x+1=-x+2$，解得$x=\frac{1}{3}$，对应$y=\frac{5}{3}$。
因此分段函数$y=\max\{\frac{1}{2}x+3,2x+1,-x+2\}$为：
$y=\begin{cases}-x+2 & x＜-\dfrac{2}{3} \\\dfrac{1}{2}x+3 & -\dfrac{2}{3}\le x＜\dfrac{4}{3} \\2x+1 & x\ge\dfrac{4}{3}\end{cases}$
2. 直线$y=kx+2k=k(x+2)$恒过定点$(-2,0)$。
计算临界斜率：
直线与$y=-x+2$平行时，$k=-1$，两直线无交点；
直线过点$(-\frac{2}{3},\frac{8}{3})$时，$k=\frac{\frac{8}{3}-0}{-\frac{2}{3}+2}=2$；
直线过点$(\frac{4}{3},\frac{11}{3})$时，$k=\frac{\frac{11}{3}-0}{\frac{4}{3}+2}=\frac{11}{10}$。
3. 分类讨论：
当$k＜-1$时，直线仅与第一段$y=-x+2$交于定义域内一点，其余段无交点，满足仅有1个交点；
当$-1\le k＜\frac{11}{10}$时，直线全部位于分段函数图像下方，无交点；
当$k=\frac{11}{10}$时，直线仅在折点$(\frac{4}{3},\frac{11}{3})$处与分段函数相交，仅有1个交点；
当$\frac{11}{10}＜k＜2$时，直线同时与第二段、第三段各交于一点，共2个交点，不符合要求；
当$k\ge2$时，直线仅与第一段$y=-x+2$交于定义域内一点，其余段无交点，满足仅有1个交点。
综上，$k$的取值范围是$\boldsymbol{k＜-1或k=\dfrac{11}{10}或k\ge2}$。
1. 先求三个函数两两交点：
令$\frac{1}{2}x+3=2x+1$，解得$x=\frac{4}{3}$，对应$y=\frac{11}{3}$；
令$\frac{1}{2}x+3=-x+2$，解得$x=-\frac{2}{3}$，对应$y=\frac{8}{3}$；
令$2x+1=-x+2$，解得$x=\frac{1}{3}$，对应$y=\frac{5}{3}$。
因此分段函数$y=\max\{\frac{1}{2}x+3,2x+1,-x+2\}$为：
$y=\begin{cases}-x+2 & x＜-\dfrac{2}{3} \\\dfrac{1}{2}x+3 & -\dfrac{2}{3}\le x＜\dfrac{4}{3} \\2x+1 & x\ge\dfrac{4}{3}\end{cases}$
2. 直线$y=kx+2k=k(x+2)$恒过定点$(-2,0)$。
计算临界斜率：
直线与$y=-x+2$平行时，$k=-1$，两直线无交点；
直线过点$(-\frac{2}{3},\frac{8}{3})$时，$k=\frac{\frac{8}{3}-0}{-\frac{2}{3}+2}=2$；
直线过点$(\frac{4}{3},\frac{11}{3})$时，$k=\frac{\frac{11}{3}-0}{\frac{4}{3}+2}=\frac{11}{10}$。
3. 分类讨论：
当$k＜-1$时，直线仅与第一段$y=-x+2$交于定义域内一点，其余段无交点，满足仅有1个交点；
当$-1\le k＜\frac{11}{10}$时，直线全部位于分段函数图像下方，无交点；
当$k=\frac{11}{10}$时，直线仅在折点$(\frac{4}{3},\frac{11}{3})$处与分段函数相交，仅有1个交点；
当$\frac{11}{10}＜k＜2$时，直线同时与第二段、第三段各交于一点，共2个交点，不符合要求；
当$k\ge2$时，直线仅与第一段$y=-x+2$交于定义域内一点，其余段无交点，满足仅有1个交点。
综上，$k$的取值范围是$\boldsymbol{k＜-1或k=\dfrac{11}{10}或k\ge2}$。
18.某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8时出发，如图是其行驶路程s(单位：km)随行驶时间t(单位：h)变化的图象。乙车9时出发，若要在当天12时至13时之间(含12时和13时)追上甲车，则乙车的速度v(单位：km/h)的范围是。
答案
$\boldsymbol{75\ \mathrm{km/h}≤ v≤ 80\ \mathrm{km/h}}$
解析
解：由图象可知，甲车的速度为$60÷1=60\ \mathrm{km/h}$。
甲车8时出发：
到12时，甲车行驶时长为$12-8=4\ \mathrm{h}$，行驶路程为$60×4=240\ \mathrm{km}$；
到13时，甲车行驶时长为$13-8=5\ \mathrm{h}$，行驶路程为$60×5=300\ \mathrm{km}$。
乙车9时出发：
若12时追上甲车，乙车行驶时长为$12-9=3\ \mathrm{h}$，此时乙车速度$v=\frac{240}{3}=80\ \mathrm{km/h}$；
若13时追上甲车，乙车行驶时长为$13-9=4\ \mathrm{h}$，此时乙车速度$v=\frac{300}{4}=75\ \mathrm{km/h}$。
因此乙车的速度范围是$75≤ v≤ 80$。
甲车8时出发：
到12时，甲车行驶时长为$12-8=4\ \mathrm{h}$，行驶路程为$60×4=240\ \mathrm{km}$；
到13时，甲车行驶时长为$13-8=5\ \mathrm{h}$，行驶路程为$60×5=300\ \mathrm{km}$。
乙车9时出发：
若12时追上甲车，乙车行驶时长为$12-9=3\ \mathrm{h}$，此时乙车速度$v=\frac{240}{3}=80\ \mathrm{km/h}$；
若13时追上甲车，乙车行驶时长为$13-9=4\ \mathrm{h}$，此时乙车速度$v=\frac{300}{4}=75\ \mathrm{km/h}$。
因此乙车的速度范围是$75≤ v≤ 80$。
三、解答题
19. 解不等式$\frac{1-x}{2}-4＜\frac{x-3}{3}$，并把它的解集在数轴上表示出来。
19. 解不等式$\frac{1-x}{2}-4＜\frac{x-3}{3}$，并把它的解集在数轴上表示出来。
答案
解：
去分母，不等式两边同乘6，得：
$3(1-x) - 24 ＜ 2(x-3)$
去括号，得：
$3 - 3x - 24 ＜ 2x - 6$
移项，得：
$-3x - 2x ＜ -6 - 3 + 24$
合并同类项，得：
$-5x ＜ 15$
系数化为1，得：
$x ＞ -3$
解集在数轴上的表示：在数轴上标记出数-3对应的点，在该点处画空心圆圈，从空心圆圈出发沿数轴向右绘制射线，即为不等式的解集表示。
去分母，不等式两边同乘6，得：
$3(1-x) - 24 ＜ 2(x-3)$
去括号，得：
$3 - 3x - 24 ＜ 2x - 6$
移项，得：
$-3x - 2x ＜ -6 - 3 + 24$
合并同类项，得：
$-5x ＜ 15$
系数化为1，得：
$x ＞ -3$
解集在数轴上的表示：在数轴上标记出数-3对应的点，在该点处画空心圆圈，从空心圆圈出发沿数轴向右绘制射线，即为不等式的解集表示。
20. 下面是嘉琪同学解不等式组$\begin{cases}x - 2 ＜ 3x + 2①, \\ \dfrac{x - 3}{3} ≤ 7 - \dfrac{5}{3}x②\end{cases}$的过程:
解:由①,得$-2x ＜ -4$,所以$x ＜ 2$。 ………………………………………… 第一步
由②,得$x - 3 ≤ 7 - 5x$,所以$6x ≤ 10$,所以$x ≤ \dfrac{5}{3}$。 ……………………… 第二步
所以原不等式组的解集是$x ≤ \dfrac{5}{3}$。 ………………………………………… 第三步
(1)嘉琪同学的解答过程是错误,她开始出现错误的步骤是;
(2)请写出正确的解答过程。
解:由①,得$-2x ＜ -4$,所以$x ＜ 2$。 ………………………………………… 第一步
由②,得$x - 3 ≤ 7 - 5x$,所以$6x ≤ 10$,所以$x ≤ \dfrac{5}{3}$。 ……………………… 第二步
所以原不等式组的解集是$x ≤ \dfrac{5}{3}$。 ………………………………………… 第三步
(1)嘉琪同学的解答过程是错误,她开始出现错误的步骤是;
(2)请写出正确的解答过程。
答案
(1) 第一步
(2) 解：解不等式①，
移项得：$x - 3x ＜ 2 + 2$，
合并同类项得：$-2x ＜ 4$，
系数化为1得：$x ＞ -2$。
解不等式②，
不等式两边同时乘3得：$x - 3 ≤ 21 - 5x$，
移项得：$x + 5x ≤ 21 + 3$，
合并同类项得：$6x ≤ 24$，
系数化为1得：$x ≤ 4$。
所以原不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 4$。
(2) 解：解不等式①，
移项得：$x - 3x ＜ 2 + 2$，
合并同类项得：$-2x ＜ 4$，
系数化为1得：$x ＞ -2$。
解不等式②，
不等式两边同时乘3得：$x - 3 ≤ 21 - 5x$，
移项得：$x + 5x ≤ 21 + 3$，
合并同类项得：$6x ≤ 24$，
系数化为1得：$x ≤ 4$。
所以原不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 4$。
