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1. 下列各组整式中，没有公因式的是 （）
A.$ab$ 与 $b$
B.$a+b$ 与 $a^2+b^2$
C.$y$ 与 $3y$
D.$x$ 与 $6x^2$
A.$ab$ 与 $b$
B.$a+b$ 与 $a^2+b^2$
C.$y$ 与 $3y$
D.$x$ 与 $6x^2$
答案
B
解析
分别分析各组整式的公因式：
1. 选项A：$ab$与$b$的公因式是$b$；
2. 选项B：$a^2+b^2$无法分解出因式$a+b$，二者没有公因式；
3. 选项C：$y$与$3y$的公因式是$y$；
4. 选项D：$x$与$6x^2$的公因式是$x$。
综上，没有公因式的是B选项。
1. 选项A：$ab$与$b$的公因式是$b$；
2. 选项B：$a^2+b^2$无法分解出因式$a+b$，二者没有公因式；
3. 选项C：$y$与$3y$的公因式是$y$；
4. 选项D：$x$与$6x^2$的公因式是$x$。
综上，没有公因式的是B选项。
2.用提公因式法因式分解$5a(x-y)-10b(x-y)$，应提取的公因式是（）
A.$5a-10b$
B.$5a+10b$
C.$5(x-y)$
D.$y-x$
A.$5a-10b$
B.$5a+10b$
C.$5(x-y)$
D.$y-x$
答案
C
解析
确定公因式：首先取各项系数的最大公约数，5和-10的最大公约数是5；再取两项都含有的相同因式，两个项均含有因式$(x-y)$，因此该多项式应提取的公因式是$5(x-y)$。
3. 在下列各组式子中,没有公因式的是 （）
A.$x^2 + y^2$ 和 $x+y$
B.$ax - bx$ 和 $ay - by$
C.$2x$ 和 $4y$
D.$3 - 9y$ 和 $6y^2 - 2y$
A.$x^2 + y^2$ 和 $x+y$
B.$ax - bx$ 和 $ay - by$
C.$2x$ 和 $4y$
D.$3 - 9y$ 和 $6y^2 - 2y$
答案
A
解析
逐个分析各组式子的公因式：
1. 选项A：$x^2+y^2$无法分解为含$x+y$的整式乘积，和$x+y$除常数1外没有其他公共因式；
2. 选项B：$ax-bx=x(a-b)$，$ay-by=y(a-b)$，公因式为$a-b$；
3. 选项C：$2x$和$4y$的公因式是常数2；
4. 选项D：$3-9y=3(1-3y)$，$6y^2-2y=2y(3y-1)=-2y(1-3y)$，公因式为$1-3y$。
因此只有A组式子没有非1的公因式。
1. 选项A：$x^2+y^2$无法分解为含$x+y$的整式乘积，和$x+y$除常数1外没有其他公共因式；
2. 选项B：$ax-bx=x(a-b)$，$ay-by=y(a-b)$，公因式为$a-b$；
3. 选项C：$2x$和$4y$的公因式是常数2；
4. 选项D：$3-9y=3(1-3y)$，$6y^2-2y=2y(3y-1)=-2y(1-3y)$，公因式为$1-3y$。
因此只有A组式子没有非1的公因式。
4.已知$xy=-2$，$x-y=4$，则$xy^2 - x^2y$的值是（）
A.8
B.−8
C.2
D.−2
A.8
B.−8
C.2
D.−2
答案
A
解析
先对所求代数式因式分解，提取公因式可得：$xy^2 - x^2y = xy(y - x)$，由$x-y=4$可得$y-x=-(x-y)=-4$，将$xy=-2$、$y-x=-4$代入，得原式$= (-2)×(-4)=8$。
5. 分解因式 $x^2(y-3)+x(3-y)$ 的正确结果是 （）
A.$(y-3)(x^2+x)$
B.$x(y-3)(x+1)$
C.$(y-3)(x^2 -x)$
D.$x(y-3)(x-1)$
A.$(y-3)(x^2+x)$
B.$x(y-3)(x+1)$
C.$(y-3)(x^2 -x)$
D.$x(y-3)(x-1)$
答案
D
解析
先对原式变形，由$3-y=-(y-3)$可得：
原式$=x^2(y-3)-x(y-3)$
提取公因式$(y-3)$，得：
$=(y-3)(x^2 - x)$
再对$x^2 - x$提取公因式$x$，得：
$=x(y-3)(x-1)$
原式$=x^2(y-3)-x(y-3)$
提取公因式$(y-3)$，得：
$=(y-3)(x^2 - x)$
再对$x^2 - x$提取公因式$x$，得：
$=x(y-3)(x-1)$
6.已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$(a - c)^2 - b(a - c)=0$，则$△ ABC$的形状是（）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
答案
A
解析
对已知等式左边提取公因式$(a-c)$，可得：
$(a - c)(a - c - b)=0$
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，即$b + c ＞ a$，因此$a - c - b = a-(b+c) ＜ 0$，不可能等于0。
由此可得$a - c = 0$，即$a = c$，说明三角形有两条边相等，因此$△ ABC$是等腰三角形。
$(a - c)(a - c - b)=0$
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，即$b + c ＞ a$，因此$a - c - b = a-(b+c) ＜ 0$，不可能等于0。
由此可得$a - c = 0$，即$a = c$，说明三角形有两条边相等，因此$△ ABC$是等腰三角形。
7.把$5(a-b)-m(b-a)$提公因式$a-b$后，则另一个因式为（）
A.$5+m$
B.$5-m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
A.$5+m$
B.$5-m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
答案
A
解析
先对原式变形，将$b-a$转化为$-(a-b)$：
$5(a-b)-m(b-a)=5(a-b)-m·[-(a-b)]=5(a-b)+m(a-b)$
提取公因式$a-b$，可得：
$5(a-b)+m(a-b)=(a-b)(5+m)$
因此提公因式$a-b$后，另一个因式为$5+m$。
$5(a-b)-m(b-a)=5(a-b)-m·[-(a-b)]=5(a-b)+m(a-b)$
提取公因式$a-b$，可得：
$5(a-b)+m(a-b)=(a-b)(5+m)$
因此提公因式$a-b$后，另一个因式为$5+m$。
8. 多项式 $12a^{3}b^{2}c - 18a^{2}b^{3}c^{2}$ 的公因式是 。
答案
解：
确定公因式：
1. 取各项系数的最大公因数：12和18的最大公因数为6；
2. 取两项共有的相同字母的最低次幂：共有的字母为a、b、c，对应最低次幂分别为$a^2$、$b^2$、$c$；
组合得到该多项式的公因式是$6a^2b^2c$。
确定公因式：
1. 取各项系数的最大公因数：12和18的最大公因数为6；
2. 取两项共有的相同字母的最低次幂：共有的字母为a、b、c，对应最低次幂分别为$a^2$、$b^2$、$c$；
组合得到该多项式的公因式是$6a^2b^2c$。
9. 因式分解：$8x^2y + 4xy^2 - 12xy =$ 。
答案
解：
$8x^2y + 4xy^2 - 12xy$
$=4xy· 2x + 4xy· y - 4xy· 3$
$=4xy(2x + y - 3)$
$8x^2y + 4xy^2 - 12xy$
$=4xy· 2x + 4xy· y - 4xy· 3$
$=4xy(2x + y - 3)$
