10.若$m - n = 3$，$mn = 2$，则$m^2n - mn^2$的值为。

$\boldsymbol{6}$

解：
对所求代数式因式分解可得：
$m^2n - mn^2 = mn(m - n)$
将$m-n=3$，$mn=2$代入上式：
原式$= 2 × 3 = 6$

11. $(-2)^{100} + (-2)^{101}$ 所得的结果是 （）

A.$-2^{100}$
B.$2^{100}$
C.$-2$
D.$-1$

A

对原式变形，将$(-2)^{101}$改写为$(-2)^{100}×(-2)$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}(-2)^{100}+(-2)^{101}&=(-2)^{100}+(-2)^{100}×(-2)\\&=(-2)^{100}×(1-2)\\&=2^{100}×(-1)\\&=-2^{100}\end{aligned}$

12.杨辉是我国南宋数学家，他撰写的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知$a+b=1$，$ab=-1$，①由$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=1$，可得$a^2+b^2=3$；②由$(a+b)·(a^2+b^2)=a^3+ab^2+a^2b+b^3=3$，可得$a^3+b^3=4$。依此方法计算$a^7+b^7$的值是（）

A.29
B.30
C.31
D.32

A

根据题给递推方法逐步计算：
1. 已知$a+b=1$，$ab=-1$，已得$a^2+b^2=3$，$a^3+b^3=4$；
2. 计算$a^4+b^4$：
由$(a+b)(a^3+b^3)=a^4+b^4+ab(a^2+b^2)$，代入数值得$1×4=a^4+b^4+(-1)×3$，解得$a^4+b^4=7$；
3. 计算$a^5+b^5$：
由$(a+b)(a^4+b^4)=a^5+b^5+ab(a^3+b^3)$，代入数值得$1×7=a^5+b^5+(-1)×4$，解得$a^5+b^5=11$；
4. 计算$a^6+b^6$：
由$(a+b)(a^5+b^5)=a^6+b^6+ab(a^4+b^4)$，代入数值得$1×11=a^6+b^6+(-1)×7$，解得$a^6+b^6=18$；
5. 计算$a^7+b^7$：
由$(a+b)(a^6+b^6)=a^7+b^7+ab(a^5+b^5)$，代入数值得$1×18=a^7+b^7+(-1)×11$，解得$a^7+b^7=29$。

13.已知$m=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，则$m^2 - 2\sqrt{2}m =$（）

A.$8+2\sqrt{3}$
B.$6$
C.$4$
D.$12$

C

已知$m=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，对所求式子因式分解得：
$m^2 - 2\sqrt{2}m = m(m - 2\sqrt{2})$，
将$m=\sqrt{6}+\sqrt{2}$代入，得$m-2\sqrt{2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
因此原式$=(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})$，利用平方差公式计算：
$=(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$。

14. 因式分解：$2(a-1)^2 - a + 1 = \underline{\hspace{10cm}}$。

$\boxed{(a-1)(2a-3)}$

解：
原式$=2(a-1)^2 - (a-1)$
$=(a-1)[2(a-1)-1]$
$=(a-1)(2a-2-1)$
$=(a-1)(2a-3)$
最终

15.若实数$x$满足$x^2 - x - 1 = 0$，则代数式$x^3 - 2x^2 + 8$的值为。

$\boldsymbol{7}$

解：
由$x^2 - x - 1 = 0$可得：
$x^2 = x + 1$，且$x^2 - x = 1$
对$x^3$变形得：
$x^3 = x · x^2 = x(x+1) = x^2 + x$
将$x^3 = x^2 + x$代入代数式$x^3 - 2x^2 + 8$：
$\begin{aligned}x^3 - 2x^2 + 8&=x^2 + x - 2x^2 + 8\\&=-x^2 + x + 8\\&=-(x^2 - x) + 8\end{aligned}$
将$x^2 - x = 1$代入上式：
原式$= -1 + 8 = 7$

16.若一个四位自然数$M=\overline{abcd}$能被表示为$M=\overline{abcd}=\overline{(c+i)d}^2$（$i$是整数且$0≤ i≤9$），则称$M$为$i$阶数，例如：7225，因为$7225=85^2=\overline{(2+6)5}^2$，所以7225是6阶数。若$N=\overline{abc5}$是1阶数，则$N$的值为；若$M=\overline{abcd}$是0阶数，则$M$的值为。

$\boldsymbol{1225}$；$\boldsymbol{5776}$

解：
第一空：求$N=\overline{abc5}$的值
已知$N$是1阶数，$d=5$，$i=1$，根据定义可得：
$N = \overline{(c+1)5}^2$，设两位数$\overline{(c+1)5}=10(c+1)+5=10c+15$，则：
$(10c+15)^2=100c^2+300c+225$
个位为5的整数平方的后两位恒为25，因此$N$的十位数字是2，即$c=2$。
代入得两位数为$10×(2+1)+5=35$，$35^2=1225$，符合四位数$\overline{abc5}$的形式。
故$N=1225$。
---
第二空：求0阶数$M=\overline{abcd}$的值
已知$M$是0阶数，$i=0$，根据定义可得：
$M=\overline{cd}^2$，即设两位数$x=\overline{cd}=10c+d$，则$x^2=\overline{abcd}$，因此$x^2$的十位数字为$c$，个位数字为$d$。
由平方数个位等于自身，得$d\in\{0,1,5,6\}$，分情况讨论：
1. $d=0$：$x=10c$，$x^2=100c^2$，十位数字为0，得$c=0$，不是两位数，舍去；
2. $d=1$：$x=10c+1$，$x^2=100c^2+20c+1$，十位数字为$2c$的个位，要求$2c≡ c\pmod{10}$，得$c=0$，不符合两位数要求，舍去；
3. $d=5$：$x=10c+5$，$x^2=100c(c+1)+25$，十位数字为2，得$c=2$，$x=25$，$25^2=625$是三位数，不符合四位数要求，舍去；
4. $d=6$：$x=10c+6$，$x^2=100c^2+120c+36$，十位数字为$(2c+3)$的个位，要求$2c+3≡ c\pmod{10}$，得$c=7$，$x=76$，$76^2=5776$，符合四位数$\overline{abcd}$的形式。
故$M=5776$。

17. 把下列各式因式分解：
(1) $-12x^2y + 6xy - 18xy^2$；
(2) $(a - b)(x - y) - (b - a)(x + y)$；
(3) $(2m + 3n)(2m - n) - n(2m - n)$。

解：
(1) 原式$=-6xy· 2x + (-6xy)· (-1) + (-6xy)· 3y$
$=-6xy(2x - 1 + 3y)$
$=-6xy(2x + 3y - 1)$
(2) 原式$=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)$
$=(a-b)[(x-y)+(x+y)]$
$=(a-b)· 2x$
$=2x(a-b)$
(3) 原式$=(2m-n)[(2m+3n)-n]$
$=(2m-n)(2m+2n)$
$=2(2m-n)(m+n)$