【例1】计算：
(1)$(x+1)(x+2)=$；
(2)$(2x-3)(3x+1)=$。

(1)$x^2+3x+2$
(2)$6x^2-7x-3$

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路是依据多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到结果。计算时需注意不要漏乘项，同时要准确处理各项的符号。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x+1)(x+2)&=x· x + x·2 + 1· x +1×2\\&=x^2 +2x +x +2\\&=x^2+3x+2\end{aligned}$
(2) 同理计算，注意负号的运算：
$\begin{aligned}(2x-3)(3x+1)&=2x·3x +2x·1 + (-3)·3x + (-3)×1\\&=6x^2 +2x -9x -3\\&=6x^2-7x-3\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^2+3x+2$；(2)$6x^2-7x-3$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是多项式乘法的基础题型，核心是对多项式乘多项式运算法则的运用，计算时要注意避免漏乘、符号出错以及合并同类项错误等常见问题。
【难度系数】
0.9

练习1.(1)$(x+2)(x-4)=$; (2)$(x+2)(x-2)=$; (3)$(x+3)(x-2)+(x-3)(x+2)=$.

(1)$x^2-2x-8$
(2)$x^2-4$
(3)$2x^2-12$

【分析】
解决这组整式乘法题目，核心思路为：①遇到两个多项式相乘时，先观察是否符合乘法公式特征，符合的直接套用公式简化计算；不符合的就用多项式乘多项式法则：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加；②所有乘法计算完成后，合并同类项得到最简结果。具体到各小题：(1)是普通的一次二项式相乘，直接用多项式乘法法则展开合并即可；(2)符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，可直接套用公式；(3)先分别计算两个多项式的乘积，再把结果相加，合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
$(x+2)(x-4) = x· x + x· (-4) + 2· x + 2× (-4) = x^2 -4x +2x -8 = x^2 -2x -8$
(2) 式子符合平方差公式特征，其中$a=x$，$b=2$，直接套用公式：
$(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 -4$
(3) 先分别展开两个乘积，再合并同类项：
展开$(x+3)(x-2)=x^2 -2x +3x -6 = x^2 +x -6$
展开$(x-3)(x+2)=x^2 +2x -3x -6 = x^2 -x -6$
相加合并同类项：
$(x^2 +x -6)+(x^2 -x -6) = x^2 +x -6 +x^2 -x -6 = 2x^2 -12$
【答案】
(1)$x^2-2x-8$；(2)$x^2-4$；(3)$2x^2-12$
【知识点】
多项式乘多项式；平方差公式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础练习题，重点考查对多项式乘法法则和平方差公式的掌握，计算时要注意各项的符号，合并同类项时要准确识别同类项，避免漏算、错算。
【难度系数】
0.8

练习 2.(教材 P107 例 3 改编)计算：
(1)$(2a+b)(a-2b)$；
(2)$(x-2)(x+3)$；
(3)$(a+b)^2$；
(4)$a(a-3)+(a-2)(a-1)$；
(5)$(x-2)(x^2+2x+4)$；
(6)$(x+y)(x-3y)-x(x-2y)$。

(1)原式$=2a^2-4ab+ab-2b^2$
$=2a^2-3ab-2b^2$；
(2)原式$=x^2+3x-2x-6$
$=x^2+x-6$；
(3)原式$=(a+b)(a+b)$
$=a^2+ab+ab+b^2$
$=a^2+2ab+b^2$；
(4)原式$=a^2-3a+a^2-3a+2$
$=2a^2-6a+2$；
(5)原式$=x^3+2x^2+4x-2x^2-4x-8$
$=x^3-8$；
(6)原式$=x^2-3y^2-2xy-x^2+2xy$
$=-3y^2$。

【分析】
这组题目均为整式乘法相关运算，解题核心是掌握整式乘法运算法则：①单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得积相加；②多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加。所有运算展开后需合并同类项得到最简结果，计算时要注意每一项的符号，避免漏乘项。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
原式$=2a^2-4ab+ab-2b^2$
$=2a^2-3ab-2b^2$
(2) 按多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
原式$=x^2+3x-2x-6$
$=x^2+x-6$
(3) 先将乘方改写为乘法形式，再按多项式乘多项式法则展开合并：
原式$=(a+b)(a+b)$
$=a^2+ab+ab+b^2$
$=a^2+2ab+b^2$
(4) 先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再合并同类项：
原式$=a^2-3a+a^2-3a+2$
$=2a^2-6a+2$
(5) 按多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
原式$=x^3+2x^2+4x-2x^2-4x-8$
$=x^3-8$
(6) 先分别计算两个乘法项，再合并同类项：
原式$=x^2-3xy+xy-3y^2-x^2+2xy$
$=-3y^2$
【答案】
(1) $2a^2-3ab-2b^2$
(2) $x^2+x-6$
(3) $a^2+2ab+b^2$
(4) $2a^2-6a+2$
(5) $x^3-8$
(6) $-3y^2$
【知识点】
多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础训练题，重点考查多项式乘法法则的应用，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断每一项的符号，合并同类项时要准确区分同类项，熟练掌握此类题型是后续学习整式化简、因式分解等知识的基础。
【难度系数】
0.8

【例2】先化简，再求值：$(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)$，其中$x=-1,y=2.$

原式$=x^2+xy-6y^2-(2x^2-9xy+4y^2)$
$=-x^2+10xy-10y^2$，
当$x=-1,y=2$时，原式$=-61$。

【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，利用多项式乘多项式的运算法则分别计算两个乘积项，再通过去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将已知的x、y的值代入最简整式计算，即可得到结果。运算时要注意第二个乘积项前是减号，去括号时括号内各项都要变号，避免符号错误。
【解析】
第一步：根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$计算两个乘积项：
$(x-2y)(x+3y)=x· x + x·3y -2y· x -2y·3y =x^2+3xy-2xy-6y^2=x^2+xy-6y^2$
$(2x-y)(x-4y)=2x· x +2x·(-4y) -y· x + (-y)·(-4y)=2x^2-8xy-xy+4y^2=2x^2-9xy+4y^2$
第二步：代入原式后去括号、合并同类项：
原式$=x^2+xy-6y^2-(2x^2-9xy+4y^2)$
$=x^2+xy-6y^2-2x^2+9xy-4y^2$
$=-x^2+10xy-10y^2$
第三步：代入$x=-1,y=2$计算：
原式$=-(-1)^2 + 10×(-1)×2 -10×2^2$
$=-1 -20 -40$
$=-61$
【答案】
化简结果为$-x^2+10xy-10y^2$，求值结果为$\boldsymbol{-61}$
【知识点】
多项式乘多项式，整式加减运算，代数式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查多项式乘法法则和去括号、合并同类项的运算规则，解题时要注意去括号的符号变化，先化简再求值的方式能大幅减少运算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.75

练习.先化简,再求值:$2(x+1)(x-1)-3x(3+x)+(x+5)(x-2)$,其中$x=-\dfrac{1}{6}.$

原式$=2(x^2-1)-9x-3x^2+x^2+3x-10$
$=-6x-12$，
当$x=-\dfrac{1}{6}$时，原式$=-11$。

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先根据平方差公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则分别展开式子中的每一项乘法，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将x的取值代入最简整式计算结果，先化简再代值可以大幅减少计算量，降低出错概率。展开运算时要注意每项的符号，合并同类项时要找准同类项再计算。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2(x^2-1)-3x(3+x)+(x+5)(x-2)\\&=2x^2-2-9x-3x^2+x^2+3x-10\\&=-6x-12\end{aligned}$
再将$x=-\dfrac{1}{6}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-6×(-\dfrac{1}{6})-12\\&=1-12\\&=-11\end{aligned}$
【答案】
$-11$
【知识点】
平方差公式；整式的乘法；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查整式混合运算的熟练度，运算过程中要特别注意去括号时的符号变化，掌握先化简再求值的运算技巧能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8