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1.已知$a+b=5,ab=3$,则$(a+1)(b+1)=$
$9$
,$(a-2)(b-2)=$$-3$
.答案
1.$9$ $-3$
解析
【分析】
解决本题的思路是先利用多项式乘多项式的法则将要求的代数式展开，整理成含有$a+b$和$ab$的形式，再将已知的$a+b=5$、$ab=3$整体代入计算即可，不需要单独求出a和b的具体值，能简化运算过程。
【解析】
1. 计算$(a+1)(b+1)$：
根据多项式乘多项式法则展开得：
$(a+1)(b+1)=ab + a + b + 1$
将$a+b=5$，$ab=3$代入上式：
原式$=3 + 5 + 1 = 9$
2. 计算$(a-2)(b-2)$：
根据多项式乘多项式法则展开得：
$(a-2)(b-2)=ab - 2a - 2b + 4$
整理为含$a+b$的形式：$ab - 2(a+b) + 4$
将$a+b=5$，$ab=3$代入上式：
原式$=3 - 2×5 + 4 = 3 - 10 + 4 = -3$
【答案】
$9$；$-3$
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，学会运用整体代入的思想简化代数式求值的过程，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9
解决本题的思路是先利用多项式乘多项式的法则将要求的代数式展开，整理成含有$a+b$和$ab$的形式，再将已知的$a+b=5$、$ab=3$整体代入计算即可，不需要单独求出a和b的具体值，能简化运算过程。
【解析】
1. 计算$(a+1)(b+1)$：
根据多项式乘多项式法则展开得：
$(a+1)(b+1)=ab + a + b + 1$
将$a+b=5$，$ab=3$代入上式：
原式$=3 + 5 + 1 = 9$
2. 计算$(a-2)(b-2)$：
根据多项式乘多项式法则展开得：
$(a-2)(b-2)=ab - 2a - 2b + 4$
整理为含$a+b$的形式：$ab - 2(a+b) + 4$
将$a+b=5$，$ab=3$代入上式：
原式$=3 - 2×5 + 4 = 3 - 10 + 4 = -3$
【答案】
$9$；$-3$
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，学会运用整体代入的思想简化代数式求值的过程，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9
2.一个长方体的长，宽，高分别是$3x - 4$，$2x - 1$和$x$，则它的体积是（
B
）答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体体积公式：体积=长×宽×高，先把题干给出的长、宽、高代入公式，得到整式相乘的式子。接下来按照整式乘法的运算顺序计算：先运用多项式乘多项式法则计算前两个多项式的乘积，即先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项，最后用得到的结果乘第三个单项式x，运用单项式乘多项式法则计算出最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：根据长方体体积公式，代入长、宽、高可得：
$\begin{aligned}\mathrm{体积}&=(3x-4)(2x-1)· x\\&=[3x·2x + 3x·(-1) + (-4)·2x + (-4)·(-1)]· x\\&=(6x^2 - 3x - 8x + 4)· x\\&=(6x^2 - 11x + 4)· x\\&=6x^3 - 11x^2 + 4x\end{aligned}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算；多项式乘多项式；单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式乘法在几何问题中的基础应用题，解题的关键是熟记体积公式，运算时注意多项式乘法的符号处理，合并同类项时不要漏项、错算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆长方体体积公式：体积=长×宽×高，先把题干给出的长、宽、高代入公式，得到整式相乘的式子。接下来按照整式乘法的运算顺序计算：先运用多项式乘多项式法则计算前两个多项式的乘积，即先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项，最后用得到的结果乘第三个单项式x，运用单项式乘多项式法则计算出最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：根据长方体体积公式，代入长、宽、高可得：
$\begin{aligned}\mathrm{体积}&=(3x-4)(2x-1)· x\\&=[3x·2x + 3x·(-1) + (-4)·2x + (-4)·(-1)]· x\\&=(6x^2 - 3x - 8x + 4)· x\\&=(6x^2 - 11x + 4)· x\\&=6x^3 - 11x^2 + 4x\end{aligned}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算；多项式乘多项式；单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式乘法在几何问题中的基础应用题，解题的关键是熟记体积公式，运算时注意多项式乘法的符号处理，合并同类项时不要漏项、错算。
【难度系数】
0.8
3.如图所示的长方形面积可以说明的多项式乘法运算是
$(a+3b)(a+b)=a^2+4ab+3b^2$
。答案
3.$(a+3b)(a+b)=a^2+4ab+3b^2$
解析
【分析】
要确定该长方形对应的多项式乘法运算，我们可以通过两种计算面积的方法推导：第一种是整体法，直接用长方形的长乘宽得到面积表达式；第二种是分割法，计算所有小矩形、小正方形的面积之和，两种方法得到的面积相等，即可推出对应的多项式乘法等式。首先先识别长方形的总边长：横向总长度是a加3个b，即长为$a+3b$；纵向总宽度是a加b，即宽为$a+b$，整体面积就是二者的乘积。再统计分割后各小图形的面积求和，两个结果相等即可得到对应运算式。
【解析】
步骤1：计算长方形整体面积
观察图形可得，长方形的长为$a + b + b + b = a + 3b$，宽为$a + b$，因此整体面积为：
$S=(a + 3b)(a + b)$
步骤2：计算分割后各小图形的面积和
拆分长方形后，各部分面积分别为：
1个边长为a的正方形，面积为$a^2$；
4个长为a、宽为b的长方形，总面积为$4ab$；
3个边长为b的正方形，总面积为$3b^2$；
因此总面积为：
$S=a^2 + 4ab + 3b^2$
步骤3：联立面积表达式
由于两种方法计算的是同一个长方形的面积，因此可得等式：
$(a + 3b)(a + b)=a^2 + 4ab + 3b^2$
【答案】
$(a+3b)(a+b)=a^2+4ab+3b^2$
【知识点】
多项式乘多项式，矩形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想在整式乘法中的典型应用，通过面积法可以直观理解多项式乘法的运算原理，解题时要准确识别长方形的总边长，同时注意不要漏算、错算拆分后小图形的数量。
【难度系数】
0.8
要确定该长方形对应的多项式乘法运算，我们可以通过两种计算面积的方法推导：第一种是整体法，直接用长方形的长乘宽得到面积表达式；第二种是分割法，计算所有小矩形、小正方形的面积之和，两种方法得到的面积相等，即可推出对应的多项式乘法等式。首先先识别长方形的总边长：横向总长度是a加3个b，即长为$a+3b$；纵向总宽度是a加b，即宽为$a+b$，整体面积就是二者的乘积。再统计分割后各小图形的面积求和，两个结果相等即可得到对应运算式。
【解析】
步骤1：计算长方形整体面积
观察图形可得，长方形的长为$a + b + b + b = a + 3b$，宽为$a + b$，因此整体面积为：
$S=(a + 3b)(a + b)$
步骤2：计算分割后各小图形的面积和
拆分长方形后，各部分面积分别为：
1个边长为a的正方形，面积为$a^2$；
4个长为a、宽为b的长方形，总面积为$4ab$；
3个边长为b的正方形，总面积为$3b^2$；
因此总面积为：
$S=a^2 + 4ab + 3b^2$
步骤3：联立面积表达式
由于两种方法计算的是同一个长方形的面积，因此可得等式：
$(a + 3b)(a + b)=a^2 + 4ab + 3b^2$
【答案】
$(a+3b)(a+b)=a^2+4ab+3b^2$
【知识点】
多项式乘多项式，矩形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想在整式乘法中的典型应用，通过面积法可以直观理解多项式乘法的运算原理，解题时要准确识别长方形的总边长，同时注意不要漏算、错算拆分后小图形的数量。
【难度系数】
0.8
4.如图,两个长方形面积分别为$S_1$和$S_2$,则$S_1 - S_2=$
$4m+4$
.答案
4.$4m+4$
解析
【分析】
要计算$ S_1 - S_2 $，首先根据长方形面积公式分别求出两个长方形的面积$ S_1 $和$ S_2 $，再将两个面积相减，按照多项式乘多项式的法则展开后，合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据长方形面积=长×宽，分别计算两个长方形的面积：
1. 计算$ S_1 $：
$ S_1=(m+13)(m+3) $，根据多项式乘多项式法则展开：
$ S_1=m^2 + 3m +13m + 39 = m^2 +16m +39 $
2. 计算$ S_2 $：
$ S_2=(m+7)(m+5) $，同理展开得：
$ S_2=m^2 +5m +7m +35 = m^2 +12m +35 $
3. 计算$ S_1 - S_2 $：
$ S_1 - S_2=(m^2 +16m +39) - (m^2 +12m +35) $
去括号得：
$ S_1 - S_2=m^2 +16m +39 -m^2 -12m -35 $
合并同类项后得：
$ S_1 - S_2=4m+4 $
【答案】
$ 4m+4 $
【知识点】
长方形面积计算，多项式乘多项式，整式的加减
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式的运算，解题时需准确运用多项式乘法法则展开，去括号时注意符号变化，再正确合并同类项即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算$ S_1 - S_2 $，首先根据长方形面积公式分别求出两个长方形的面积$ S_1 $和$ S_2 $，再将两个面积相减，按照多项式乘多项式的法则展开后，合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据长方形面积=长×宽，分别计算两个长方形的面积：
1. 计算$ S_1 $：
$ S_1=(m+13)(m+3) $，根据多项式乘多项式法则展开：
$ S_1=m^2 + 3m +13m + 39 = m^2 +16m +39 $
2. 计算$ S_2 $：
$ S_2=(m+7)(m+5) $，同理展开得：
$ S_2=m^2 +5m +7m +35 = m^2 +12m +35 $
3. 计算$ S_1 - S_2 $：
$ S_1 - S_2=(m^2 +16m +39) - (m^2 +12m +35) $
去括号得：
$ S_1 - S_2=m^2 +16m +39 -m^2 -12m -35 $
合并同类项后得：
$ S_1 - S_2=4m+4 $
【答案】
$ 4m+4 $
【知识点】
长方形面积计算，多项式乘多项式，整式的加减
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式的运算，解题时需准确运用多项式乘法法则展开，去括号时注意符号变化，再正确合并同类项即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5.求证:对于任意的正整数$n$,代数式$n(n+7)-(n+3)(n-2)$的值必是6的倍数.
答案
证明:原式$=n^2+7n-(n^2+n-6)$
$=6n+6$
$=6(n+1)$，
∴原式是6的倍数。
$=6n+6$
$=6(n+1)$，
∴原式是6的倍数。
解析
【分析】
要证明代数式的值是6的倍数，核心思路是先化简代数式，若化简结果可表示为6与某个整数的乘积，即可得证。第一步先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项；第二步去括号后合并同类项；第三步观察化简后的式子提取公因式6，结合n是正整数判断另一个因式为整数，即可证明结论。
【解析】
证明：先根据整式乘法法则展开各项：
$n(n+7)=n^2+7n$，$(n+3)(n-2)=n^2+n-6$
代入原式得：
原式$=n^2+7n-(n^2+n-6)$
$=n^2+7n-n^2-n+6$
$=6n+6$
$=6(n+1)$
∵n是正整数，
∴n+1是正整数，因此$6(n+1)$是6的倍数，即原代数式的值必是6的倍数。
【答案】
证明:原式$=n^2+7n-(n^2+n-6)$
$=6n+6$
$=6(n+1)$，
∴原式是6的倍数。
【知识点】
多项式乘多项式，整式的加减，提公因式法因式分解
【点评】
本题是整式运算的基础证明题，解题关键是熟练掌握整式乘法、合并同类项的运算法则，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
要证明代数式的值是6的倍数，核心思路是先化简代数式，若化简结果可表示为6与某个整数的乘积，即可得证。第一步先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项；第二步去括号后合并同类项；第三步观察化简后的式子提取公因式6，结合n是正整数判断另一个因式为整数，即可证明结论。
【解析】
证明：先根据整式乘法法则展开各项：
$n(n+7)=n^2+7n$，$(n+3)(n-2)=n^2+n-6$
代入原式得：
原式$=n^2+7n-(n^2+n-6)$
$=n^2+7n-n^2-n+6$
$=6n+6$
$=6(n+1)$
∵n是正整数，
∴n+1是正整数，因此$6(n+1)$是6的倍数，即原代数式的值必是6的倍数。
【答案】
证明:原式$=n^2+7n-(n^2+n-6)$
$=6n+6$
$=6(n+1)$，
∴原式是6的倍数。
【知识点】
多项式乘多项式，整式的加减，提公因式法因式分解
【点评】
本题是整式运算的基础证明题，解题关键是熟练掌握整式乘法、合并同类项的运算法则，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
6.(教材P111T11变式)已知$p,q$为正整数.
(1)若$(x-6)(x-p)=x^2+mx+24$,则$m=$
(2)若$(x+p)(x+q)=x^2+mx+24$,则$m$的值为
(3)若$(x^2+mx+8)(x^2-3x+n)$的展开式中不含$x^2$项和$x^3$项,求$mn$的值.
(1)若$(x-6)(x-p)=x^2+mx+24$,则$m=$
$-10$
;(2)若$(x+p)(x+q)=x^2+mx+24$,则$m$的值为
$25或14或11或10$
;(3)若$(x^2+mx+8)(x^2-3x+n)$的展开式中不含$x^2$项和$x^3$项,求$mn$的值.
答案
(1)$-10$
(2)$pq=24$,又$p,q$为正整数,设$p＜q$,
$\therefore \begin{cases}p=1\\q=24\end{cases},\begin{cases}p=2\\q=12\end{cases},\begin{cases}p=3\\q=8\end{cases},\begin{cases}p=4\\q=6\end{cases},$
故$m=25$或$14$或$11$或$10$。
(3)$\because (x^2+mx+8)(x^2-3x+n)=x^4-3x^3+nx^2+mx^3-3mx^2+mnx+8x^2-24x+8n=x^4+(m-3)x^3+(n-3m+8)x^2+(mn-24)x+8n$。
$\because$展开式中不含$x^3$项和$x^2$项，
$\therefore \begin{cases}m-3=0\\n-3m+8=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$,$\therefore mn=3$。
(2)$pq=24$,又$p,q$为正整数,设$p＜q$,
$\therefore \begin{cases}p=1\\q=24\end{cases},\begin{cases}p=2\\q=12\end{cases},\begin{cases}p=3\\q=8\end{cases},\begin{cases}p=4\\q=6\end{cases},$
故$m=25$或$14$或$11$或$10$。
(3)$\because (x^2+mx+8)(x^2-3x+n)=x^4-3x^3+nx^2+mx^3-3mx^2+mnx+8x^2-24x+8n=x^4+(m-3)x^3+(n-3m+8)x^2+(mn-24)x+8n$。
$\because$展开式中不含$x^3$项和$x^2$项，
$\therefore \begin{cases}m-3=0\\n-3m+8=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$,$\therefore mn=3$。
解析
【分析】
(1) 先利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，再根据两个多项式相等时对应同类项系数相等的性质，先通过常数项求出p的值，再代入计算一次项系数即可得到m的值。
(2) 同样先展开左侧乘积，得到pq=24、m=p+q的关系，结合p、q是正整数的条件，列举24的所有正整数因数对，分别计算每对的和就能得到m的所有可能值。
(3) 先将两个多项式相乘展开并合并同类项，“展开式不含x²和x³项”意味着这两项的系数均为0，据此列出关于m、n的二元一次方程组，求解后代入计算mn即可。
【解析】
(1) 展开左侧式子：
$(x-6)(x-p)=x^2-(p+6)x+6p$
对比右侧$x^2+mx+24$，可得$6p=24$，解得$p=4$，
则$m=-(6+4)=-10$。
(2) 展开左侧式子：
$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$
对比右侧$x^2+mx+24$，可得$pq=24$，$m=p+q$。
∵p、q为正整数，24的正整数因数对为$\begin{cases}p=1\\q=24\end{cases},\begin{cases}p=2\\q=12\end{cases},\begin{cases}p=3\\q=8\end{cases},\begin{cases}p=4\\q=6\end{cases}$，
∴对应m的值为$1+24=25$、$2+12=14$、$3+8=11$、$4+6=10$。
(3) 展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x^2+mx+8)(x^2-3x+n)&=x^4-3x^3+nx^2+mx^3-3mx^2+mnx+8x^2-24x+8n\\&=x^4+(m-3)x^3+(n-3m+8)x^2+(mn-24)x+8n\end{aligned}$
∵展开式不含$x^2$和$x^3$项，
∴两项系数为0，列方程组：
$\begin{cases}m-3=0\\n-3m+8=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$，则$mn=3×1=3$。
【答案】
(1) $-10$
(2) $25$或$14$或$11$或$10$
(3) $3$
【知识点】
多项式乘多项式，系数对应相等，解二元一次方程组
【点评】
本题重点考察多项式乘法的应用，核心是掌握多项式相乘的运算规则，理解“多项式不含某一项即该项系数为0”的性质，第二问需结合正整数条件分类列举，避免漏解，同时对运算准确性有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，再根据两个多项式相等时对应同类项系数相等的性质，先通过常数项求出p的值，再代入计算一次项系数即可得到m的值。
(2) 同样先展开左侧乘积，得到pq=24、m=p+q的关系，结合p、q是正整数的条件，列举24的所有正整数因数对，分别计算每对的和就能得到m的所有可能值。
(3) 先将两个多项式相乘展开并合并同类项，“展开式不含x²和x³项”意味着这两项的系数均为0，据此列出关于m、n的二元一次方程组，求解后代入计算mn即可。
【解析】
(1) 展开左侧式子：
$(x-6)(x-p)=x^2-(p+6)x+6p$
对比右侧$x^2+mx+24$，可得$6p=24$，解得$p=4$，
则$m=-(6+4)=-10$。
(2) 展开左侧式子：
$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$
对比右侧$x^2+mx+24$，可得$pq=24$，$m=p+q$。
∵p、q为正整数，24的正整数因数对为$\begin{cases}p=1\\q=24\end{cases},\begin{cases}p=2\\q=12\end{cases},\begin{cases}p=3\\q=8\end{cases},\begin{cases}p=4\\q=6\end{cases}$，
∴对应m的值为$1+24=25$、$2+12=14$、$3+8=11$、$4+6=10$。
(3) 展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x^2+mx+8)(x^2-3x+n)&=x^4-3x^3+nx^2+mx^3-3mx^2+mnx+8x^2-24x+8n\\&=x^4+(m-3)x^3+(n-3m+8)x^2+(mn-24)x+8n\end{aligned}$
∵展开式不含$x^2$和$x^3$项，
∴两项系数为0，列方程组：
$\begin{cases}m-3=0\\n-3m+8=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$，则$mn=3×1=3$。
【答案】
(1) $-10$
(2) $25$或$14$或$11$或$10$
(3) $3$
【知识点】
多项式乘多项式，系数对应相等，解二元一次方程组
【点评】
本题重点考察多项式乘法的应用，核心是掌握多项式相乘的运算规则，理解“多项式不含某一项即该项系数为0”的性质，第二问需结合正整数条件分类列举，避免漏解，同时对运算准确性有一定要求。
【难度系数】
0.7
7.请先阅读下面的解题过程,再解答下面的问题.(引参法比较大小)
例:若$x=6789×6786,y=6788×6787$,试比较$x,y$的大小.
解:设$6788=a$,
则$x=(a+1)(a-2)=a^2 -a -2,y=a(a-1)=a^2 -a$.
∵$x-y=(a^2 -a -2)-(a^2 -a)=-2＜0$,
∴$x＜y$.
请利用上面的方法解答下列问题:
若$x=2024×2028 -2025×2027,y=2025×2029 -2026×2028$,试比较$x,y$的大小.
例:若$x=6789×6786,y=6788×6787$,试比较$x,y$的大小.
解:设$6788=a$,
则$x=(a+1)(a-2)=a^2 -a -2,y=a(a-1)=a^2 -a$.
∵$x-y=(a^2 -a -2)-(a^2 -a)=-2＜0$,
∴$x＜y$.
请利用上面的方法解答下列问题:
若$x=2024×2028 -2025×2027,y=2025×2029 -2026×2028$,试比较$x,y$的大小.
答案
解:设$2025=m$,
则$x=(m-1)(m+3)-m(m+2)=-3$,
$y=m(m+4)-(m+1)(m+3)=-3$,
$\therefore x=y$。
则$x=(m-1)(m+3)-m(m+2)=-3$,
$y=m(m+4)-(m+1)(m+3)=-3$,
$\therefore x=y$。
解析
【分析】
本题可参考例题给出的引参法解题，首先观察x、y表达式中涉及的数字均为连续整数，我们可选取中间值设为参数，将所有大数替换为含参数的代数式，再代入x、y的表达式，按照多项式乘多项式法则展开、合并同类项化简，最后根据化简结果比较大小即可，无需计算大数乘积，可大大简化运算量。
【解析】
解：设$2025=m$，
则$x=(m-1)(m+3)-m(m+2)$
$=(m^2+3m-m-3)-(m^2+2m)$
$=m^2+2m-3-m^2-2m$
$=-3$
$y=m(m+4)-(m+1)(m+3)$
$=(m^2+4m)-(m^2+3m+m+3)$
$=m^2+4m-m^2-4m-3$
$=-3$
$\because x=-3，y=-3$
$\therefore x=y$
【答案】
$x=y$
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简，参数法比较大小
【点评】
本题通过引入参数将复杂的大数乘法运算转化为整式运算，有效降低了计算量，解题的核心是合理选取参数，同时要求熟练掌握多项式乘法及整式加减的运算法则。
【难度系数】
0.7
本题可参考例题给出的引参法解题，首先观察x、y表达式中涉及的数字均为连续整数，我们可选取中间值设为参数，将所有大数替换为含参数的代数式，再代入x、y的表达式，按照多项式乘多项式法则展开、合并同类项化简，最后根据化简结果比较大小即可，无需计算大数乘积，可大大简化运算量。
【解析】
解：设$2025=m$，
则$x=(m-1)(m+3)-m(m+2)$
$=(m^2+3m-m-3)-(m^2+2m)$
$=m^2+2m-3-m^2-2m$
$=-3$
$y=m(m+4)-(m+1)(m+3)$
$=(m^2+4m)-(m^2+3m+m+3)$
$=m^2+4m-m^2-4m-3$
$=-3$
$\because x=-3，y=-3$
$\therefore x=y$
【答案】
$x=y$
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简，参数法比较大小
【点评】
本题通过引入参数将复杂的大数乘法运算转化为整式运算，有效降低了计算量，解题的核心是合理选取参数，同时要求熟练掌握多项式乘法及整式加减的运算法则。
【难度系数】
0.7
