9. 下列长度的线段中,能围成三角形的是().

A.7,5,12
B.6,8,15
C.4,5,6
D.3,4,8

C

根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，只需验证每组内较短线段的和是否大于最长线段即可：
选项A：5+7=12，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形；
选项B：6+8=14＜15，不满足三边关系，不能围成三角形；
选项C：4+5=9＞6，满足三边关系，可以围成三角形；
选项D：3+4=7＜8，不满足三边关系，不能围成三角形。

10. 若$△ ABC$的3个内角$∠ A, ∠ B, ∠ C$满足关系式$∠ B + ∠ C = 3∠ A$,则此三角形().

A.一定有一个内角为$45°$
B.一定有一个内角为$60°$
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形

A

根据三角形内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°。将已知条件∠B+∠C=3∠A代入该等式，得∠A+3∠A=180°，即4∠A=180°，解得∠A=45°，说明此三角形一定有一个内角为45°，剩余两个内角的和为135°，无法确定这两个角的具体度数，因此不能判定该三角形是直角三角形或钝角三角形，也不存在度数一定为60°的内角。

11. 如图, ∠A = 36°, BD ⊥ AC 于点 D, CE ⊥ AB于点E,则BD与CE相交成的锐角的度数为().

A.20°
B.30°
C.36°
D.40°

C

设BD与CE的交点为F。
因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠ADB=90°，∠AEC=90°。
在Rt△ABD中，∠A + ∠B = 90°；在Rt△BEF中，∠B + ∠BFE = 90°。
根据同角的余角相等，可得∠BFE=∠A=36°，即BD与CE相交成的锐角为36°。

12. 如图，$AB = AC$，$BE ⊥ AC$于点$E$，$CF ⊥ AB$于点$F$，$BE$，$CF$相交于点$D$。有下列结论：①$△ ABE ≌ △ ACF$；②$△ BDF ≌ △ CDE$；③点$D$在$∠ BAC$的平分线上。其中，正确的结论是()。

A.①
B.②
C.①②
D.①②③

D

1. 验证结论①：
∵ $BE⊥AC$，$CF⊥AB$，∴ $∠ AEB=∠ AFC=90°$，
又∵ $∠ A$是公共角，$AB=AC$，根据AAS全等判定，可得$△ ABE ≌ △ ACF$，①正确。
2. 验证结论②：
由$△ ABE ≌ △ ACF$得$AE=AF$，结合$AB=AC$，可得$AB-AF=AC-AE$，即$BF=CE$。
又∵ $∠ BFD=∠ CED=90°$，$∠ BDF=∠ CDE$（对顶角相等），根据AAS全等判定，可得$△ BDF ≌ △ CDE$，②正确。
3. 验证结论③：
由$△ BDF ≌ △ CDE$得$DF=DE$，且$DF⊥ AB$，$DE⊥ AC$，根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，可知点$D$在$∠ BAC$的平分线上，③正确。
因此①②③均正确。

13.若等腰三角形一腰上的中线把周长分成33 cm和24 cm两部分,则该三角形的腰长为().

A.13 cm
B.16 cm
C.22 cm
D.16 cm或22 cm

D

设等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，腰上的中线将腰分为长度均为$\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$的两段，分两种情况讨论：
1. 若腰长与半腰长的和为$33\ \mathrm{cm}$：
列方程$x+\frac{x}{2}=33$，解得$x=22$，此时底边长为$24-\frac{22}{2}=13\ \mathrm{cm}$，三边为$22\ \mathrm{cm},22\ \mathrm{cm},13\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系。
2. 若腰长与半腰长的和为$24\ \mathrm{cm}$：
列方程$x+\frac{x}{2}=24$，解得$x=16$，此时底边长为$33-\frac{16}{2}=25\ \mathrm{cm}$，三边为$16\ \mathrm{cm},16\ \mathrm{cm},25\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系。
因此该三角形的腰长为$16\ \mathrm{cm}$或$22\ \mathrm{cm}$。

14. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形. 下列说法正确的是().


A.$AD = DC$
B.$AE ⊥ CE$
C.$∠ DBC = ∠ ECA$
D.$∠ ADB = ∠ AEC$

D

已知△ABC和△ADE都是等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°。
由此推出∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根据SAS可证△BAD≌△CAE，因此对应角∠ADB=∠AEC。
其余选项：A无条件证明AD=DC；B无法推出∠AEC=90°，AE⊥CE不成立；C由全等得∠ABD=∠ECA，无法推出∠DBC=∠ECA，均错误。

15. 如图, 已知 $AB = CD, AC = BD$, $△ ABC ≌ △ DCB$ 吗? $△ ABO ≌ △ DCO$ 吗?

解：
$△ ABC ≌ △ DCB$，理由如下：
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}AB = CD \\AC = BD \\BC = CB\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB \ (\mathrm{边边边(SSS)})$
$△ ABO ≌ △ DCO$，理由如下：
由$△ ABC ≌ △ DCB$可得$∠ A = ∠ D$，
在$△ ABO$和$△ DCO$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D \\∠ AOB = ∠ DOC \\AB = CD\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ DCO \ (\mathrm{角角边(AAS)})$
答：$△ ABC$与$△ DCB$全等，$△ ABO$与$△ DCO$全等。