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13.完成下面的推理过程：
如图所示，DE//CF，∠ACF=∠BAC=80°，∠ADE=120°，求∠CAD的度数.
解：∵∠ACF=∠BAC=80°，
∴AB//CF(
∵DE//CF，
∴DE//
∴∠BAD+∠EDA=
∵∠ADE=120°，
∴∠BAD=180°−∠ADE=
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=80°−
如图所示，DE//CF，∠ACF=∠BAC=80°，∠ADE=120°，求∠CAD的度数.
解：∵∠ACF=∠BAC=80°，
∴AB//CF(
内错角相等，两直线平行
).∵DE//CF，
∴DE//
AB
(平行于同一直线的两直线平行
).∴∠BAD+∠EDA=
$180°$
(两直线平行，同旁内角互补
).∵∠ADE=120°，
∴∠BAD=180°−∠ADE=
$60°$
.∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=80°−
$60°$
=$20°$
.答案
13.内错角相等，两直线平行 AB 平行于同一直线的两直线平行 $180°$ 两直线平行，同旁内角互补 $60°$ $60°$ $20°$
解析
【分析】
解题时先从已知等角入手，首先观察到∠ACF和∠BAC是直线AB、CF被AC所截形成的内错角，根据内错角相等可判定两直线平行，得到AB//CF；再结合已知DE//CF，依据平行公理的推论可推出DE与AB平行；接下来利用平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，得到∠BAD与∠ADE的和为180°，代入∠ADE的度数算出∠BAD的大小，最后用∠BAC减去∠BAD即可求出∠CAD的度数。
【解析】
按推理步骤依次填空：
∵∠ACF=∠BAC=80°，
∴AB//CF（内错角相等，两直线平行）。
∵DE//CF，
∴DE//$\boldsymbol{AB}$（平行于同一直线的两直线平行）。
∴∠BAD+∠EDA=$\boldsymbol{180°}$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠ADE=120°，
∴∠BAD=180°−∠ADE=$\boldsymbol{60°}$。
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=80°−$\boldsymbol{60°}$=$\boldsymbol{20°}$。
【答案】
内错角相等，两直线平行；AB；平行于同一直线的两直线平行；$180°$；两直线平行，同旁内角互补；$60°$；$60°$；$20°$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题是基础的几何推理题，重点考查平行线相关定理的应用，解题关键是结合图形准确判断角的位置关系和直线的平行关系，按逻辑逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知等角入手，首先观察到∠ACF和∠BAC是直线AB、CF被AC所截形成的内错角，根据内错角相等可判定两直线平行，得到AB//CF；再结合已知DE//CF，依据平行公理的推论可推出DE与AB平行；接下来利用平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，得到∠BAD与∠ADE的和为180°，代入∠ADE的度数算出∠BAD的大小，最后用∠BAC减去∠BAD即可求出∠CAD的度数。
【解析】
按推理步骤依次填空：
∵∠ACF=∠BAC=80°，
∴AB//CF（内错角相等，两直线平行）。
∵DE//CF，
∴DE//$\boldsymbol{AB}$（平行于同一直线的两直线平行）。
∴∠BAD+∠EDA=$\boldsymbol{180°}$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠ADE=120°，
∴∠BAD=180°−∠ADE=$\boldsymbol{60°}$。
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=80°−$\boldsymbol{60°}$=$\boldsymbol{20°}$。
【答案】
内错角相等，两直线平行；AB；平行于同一直线的两直线平行；$180°$；两直线平行，同旁内角互补；$60°$；$60°$；$20°$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题是基础的几何推理题，重点考查平行线相关定理的应用，解题关键是结合图形准确判断角的位置关系和直线的平行关系，按逻辑逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
14.一个自然数的算术平方根为$a$，则下一个自然数的算术平方根是（
A.$\sqrt{a+1}$
B.$\sqrt{a^2+1}$
C.$-a+1$
D.$a^2+1$
B
）A.$\sqrt{a+1}$
B.$\sqrt{a^2+1}$
C.$-a+1$
D.$a^2+1$
答案
14.B
解析
【分析】
解题时先从算术平方根的定义入手思考：首先，已知一个自然数的算术平方根是a，我们可以先反推出这个自然数是多少；接着，“下一个自然数”就是比这个数大1的数，用含a的式子表示出来；最后再求这个新的自然数的算术平方根，就能得到答案。要注意避免直接将a加1再开根号的错误思路。
【解析】
解：设这个自然数为$x$。
根据算术平方根的定义：若一个非负数的算术平方根为$a$，则这个数等于$a$的平方，可得：
$x=a^2$
那么和它相邻的下一个自然数为$x+1=a^2+1$
再求$a^2+1$的算术平方根，可得结果为$\sqrt{a^2+1}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.相邻自然数的表示
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对算术平方根定义的理解，易错点是容易混淆原自然数和它的算术平方根的对应关系，误将算术平方根a直接加1后开根号。只要理顺“算术平方根→原自然数→下一个自然数→新数的算术平方根”的推导逻辑，就能准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时先从算术平方根的定义入手思考：首先，已知一个自然数的算术平方根是a，我们可以先反推出这个自然数是多少；接着，“下一个自然数”就是比这个数大1的数，用含a的式子表示出来；最后再求这个新的自然数的算术平方根，就能得到答案。要注意避免直接将a加1再开根号的错误思路。
【解析】
解：设这个自然数为$x$。
根据算术平方根的定义：若一个非负数的算术平方根为$a$，则这个数等于$a$的平方，可得：
$x=a^2$
那么和它相邻的下一个自然数为$x+1=a^2+1$
再求$a^2+1$的算术平方根，可得结果为$\sqrt{a^2+1}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.相邻自然数的表示
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对算术平方根定义的理解，易错点是容易混淆原自然数和它的算术平方根的对应关系，误将算术平方根a直接加1后开根号。只要理顺“算术平方根→原自然数→下一个自然数→新数的算术平方根”的推导逻辑，就能准确作答。
【难度系数】
0.8
15.如图所示,数轴上A,B两点对应的实数分别为1和$\sqrt{3}$,若点A关于点B的对称点为C,则点C所对应的实数为 （
A.$2\sqrt{3}-1$
B.$1+\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}+1$
A
）A.$2\sqrt{3}-1$
B.$1+\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}+1$
答案
15.A
解析
【分析】
本题考查数轴上点的对称问题，解题思路如下：首先理解点A关于点B对称的含义：即点B是线段AC的中点，因此A到B的距离与B到C的距离相等。先计算出AB的长度，再根据C在B的右侧，用B对应的实数加上AB的长度就能得到C对应的实数。
【解析】
解：
∵点A关于点B的对称点为C
∴点B是线段AC的中点，即AB=BC
已知A对应实数1，B对应实数$\sqrt{3}$
∴AB的长度为：$\sqrt{3} - 1$
∴$BC=AB=\sqrt{3} - 1$
∵点C在点B的右侧
∴点C对应的实数为：$\sqrt{3} + (\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - 1$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用、对称的性质、实数运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是理解对称点与中点的关系，掌握数轴上两点距离的计算方法，计算时注意实数加减的运算规则即可。
【难度系数】
0.7
本题考查数轴上点的对称问题，解题思路如下：首先理解点A关于点B对称的含义：即点B是线段AC的中点，因此A到B的距离与B到C的距离相等。先计算出AB的长度，再根据C在B的右侧，用B对应的实数加上AB的长度就能得到C对应的实数。
【解析】
解：
∵点A关于点B的对称点为C
∴点B是线段AC的中点，即AB=BC
已知A对应实数1，B对应实数$\sqrt{3}$
∴AB的长度为：$\sqrt{3} - 1$
∴$BC=AB=\sqrt{3} - 1$
∵点C在点B的右侧
∴点C对应的实数为：$\sqrt{3} + (\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - 1$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用、对称的性质、实数运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是理解对称点与中点的关系，掌握数轴上两点距离的计算方法，计算时注意实数加减的运算规则即可。
【难度系数】
0.7
16.为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，小明把某同学“抖空竹”时的一个瞬间抽象成如图所示的数学问题：已知$AB// CD$，$∠ BAE=75°$，$∠ DCE=120°$，则$∠ E$的度数是
$45°$
。答案
16.$45°$
解析
【分析】
本题是平行线背景下的角度计算问题，解题关键是构造辅助线建立已知角与未知角的联系。首先过点E作EF//AB，根据平行公理的推论可得EF//CD，再分别利用平行线的性质求出∠AEF和∠CEF的度数，最后通过角的和差关系即可算出∠E的度数。
【解析】
解：过点E作EF//AB。
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵EF//AB，
∴∠AEF=∠BAE=75°（两直线平行，内错角相等）。
∵EF//CD，
∴∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠DCE=120°，
∴∠CEF=180°-120°=60°。
∴∠E=∠AEF-∠CEF=75°-60°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
平行线的性质，平行公理，角的运算
【点评】
本题是平行线中折线角度计算的典型题型，构造平行辅助线是解决这类问题的常用技巧，能将分散的角度条件整合，解题时要熟练掌握平行线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题是平行线背景下的角度计算问题，解题关键是构造辅助线建立已知角与未知角的联系。首先过点E作EF//AB，根据平行公理的推论可得EF//CD，再分别利用平行线的性质求出∠AEF和∠CEF的度数，最后通过角的和差关系即可算出∠E的度数。
【解析】
解：过点E作EF//AB。
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵EF//AB，
∴∠AEF=∠BAE=75°（两直线平行，内错角相等）。
∵EF//CD，
∴∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠DCE=120°，
∴∠CEF=180°-120°=60°。
∴∠E=∠AEF-∠CEF=75°-60°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
平行线的性质，平行公理，角的运算
【点评】
本题是平行线中折线角度计算的典型题型，构造平行辅助线是解决这类问题的常用技巧，能将分散的角度条件整合，解题时要熟练掌握平行线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
17.Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，将△DEF沿从点B到点C的方向平移到如图所示位置，DE交AC于点H.已知AB=14，图中阴影部分的面积为84，DH=4，则平移距离为
7
.答案
17.7
解析
【分析】
解题时首先利用平移的性质：平移前后的两个图形全等，对应边相等，可得△ABC和△DEF面积相等，DE=AB=14。两个三角形同时减去公共部分△HEC的面积后，剩余部分面积仍然相等，即阴影部分的面积等于直角梯形ABEH的面积。接下来设平移距离为BE=x，先求出梯形的上底HE=DE-DH，再代入梯形面积公式列方程求解即可得到平移距离。
【解析】
由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，$DE=AB=14$，
∴$S_{△ ABC}-S_{△ HEC}=S_{△ DEF}-S_{△ HEC}$，即$S_{梯形ABEH}=S_{阴影}=84$。
∵$DH=4$，
∴$HE=DE-DH=14-4=10$，
设平移距离$BE=x$，
∵$AB⊥BF$，$DE⊥BF$，
∴梯形ABEH为直角梯形，高为$BE=x$，
根据梯形面积公式得：$\frac{(AB+HE)×BE}{2}=84$，
代入数值：$\frac{(14+10)x}{2}=84$，
化简得：$12x=84$，
解得：$x=7$。
【答案】
7
【知识点】
平移的性质、梯形面积计算、全等图形性质
【点评】
本题核心是利用平移的性质实现面积的转化，将不好直接计算的阴影部分面积转化为规则的梯形面积求解，掌握转化思想能大幅降低这类几何题的解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平移的性质：平移前后的两个图形全等，对应边相等，可得△ABC和△DEF面积相等，DE=AB=14。两个三角形同时减去公共部分△HEC的面积后，剩余部分面积仍然相等，即阴影部分的面积等于直角梯形ABEH的面积。接下来设平移距离为BE=x，先求出梯形的上底HE=DE-DH，再代入梯形面积公式列方程求解即可得到平移距离。
【解析】
由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，$DE=AB=14$，
∴$S_{△ ABC}-S_{△ HEC}=S_{△ DEF}-S_{△ HEC}$，即$S_{梯形ABEH}=S_{阴影}=84$。
∵$DH=4$，
∴$HE=DE-DH=14-4=10$，
设平移距离$BE=x$，
∵$AB⊥BF$，$DE⊥BF$，
∴梯形ABEH为直角梯形，高为$BE=x$，
根据梯形面积公式得：$\frac{(AB+HE)×BE}{2}=84$，
代入数值：$\frac{(14+10)x}{2}=84$，
化简得：$12x=84$，
解得：$x=7$。
【答案】
7
【知识点】
平移的性质、梯形面积计算、全等图形性质
【点评】
本题核心是利用平移的性质实现面积的转化，将不好直接计算的阴影部分面积转化为规则的梯形面积求解，掌握转化思想能大幅降低这类几何题的解题难度。
【难度系数】
0.7
18.如图所示，如果$AB// EF$，$EF// CD$，则$∠2+∠3-∠1=$
$180°$
。答案
18.$180°$
解析
【分析】
解题时先结合已知的平行关系，运用平行线的性质得到对应角的关系：第一步，由AB//EF可得∠2与∠BEF互补，可表示出∠BEF的度数；第二步，由EF//CD可得∠3与∠CEF相等；第三步，结合角的和差关系可知∠CEF=∠1+∠BEF，将前两步得到的角的关系代入该式，整理后即可求出∠2+∠3-∠1的结果。
【解析】
解：
∵ AB//EF（已知）
∴ ∠2 + ∠BEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BEF = 180° - ∠2
∵ EF//CD（已知）
∴ ∠3 = ∠CEF（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠CEF = ∠1 + ∠BEF（角的和差定义）
将∠BEF = 180° - ∠2、∠3 = ∠CEF代入上式得：
∠3 = ∠1 + 180° - ∠2
移项整理得：∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°
【答案】
180°
【知识点】
平行线的性质，角的和差运算
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用题型，解题核心是准确识别平行线对应的角的位置关系，再通过等量代换整理即可求解，能够有效考查学生对平行线性质的掌握程度和角度运算的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的平行关系，运用平行线的性质得到对应角的关系：第一步，由AB//EF可得∠2与∠BEF互补，可表示出∠BEF的度数；第二步，由EF//CD可得∠3与∠CEF相等；第三步，结合角的和差关系可知∠CEF=∠1+∠BEF，将前两步得到的角的关系代入该式，整理后即可求出∠2+∠3-∠1的结果。
【解析】
解：
∵ AB//EF（已知）
∴ ∠2 + ∠BEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BEF = 180° - ∠2
∵ EF//CD（已知）
∴ ∠3 = ∠CEF（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠CEF = ∠1 + ∠BEF（角的和差定义）
将∠BEF = 180° - ∠2、∠3 = ∠CEF代入上式得：
∠3 = ∠1 + 180° - ∠2
移项整理得：∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°
【答案】
180°
【知识点】
平行线的性质，角的和差运算
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用题型，解题核心是准确识别平行线对应的角的位置关系，再通过等量代换整理即可求解，能够有效考查学生对平行线性质的掌握程度和角度运算的能力。
【难度系数】
0.7
19.如图所示，O是直线AB上的一点，OC⊥OD，OE平分∠BOC，若∠AOC=α，则∠DOE的度数是
$\frac{1}{2}α$
（用含α的代数式表示）。答案
19.$\frac{1}{2}α$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先O在直线AB上，可得∠AOB是180°平角，结合已知∠AOC=α，可先求出∠BOC的度数；再根据OE平分∠BOC，算出∠COE的度数；最后利用OC⊥OD得到∠COD=90°，用∠COD减去∠COE即可求出∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上的点，
∴ ∠AOB=180°，
∵ ∠AOC=α，
∴ ∠BOC=180°-∠AOC=180°-α，
∵ OE平分∠BOC，
∴ $∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°，
∴ $∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。
【答案】
$\frac{1}{2}α$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，垂直的定义
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题关键是理清各个角之间的和差关系，熟练运用平角、垂直、角平分线的相关性质逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先O在直线AB上，可得∠AOB是180°平角，结合已知∠AOC=α，可先求出∠BOC的度数；再根据OE平分∠BOC，算出∠COE的度数；最后利用OC⊥OD得到∠COD=90°，用∠COD减去∠COE即可求出∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上的点，
∴ ∠AOB=180°，
∵ ∠AOC=α，
∴ ∠BOC=180°-∠AOC=180°-α，
∵ OE平分∠BOC，
∴ $∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD=90°，
∴ $∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。
【答案】
$\frac{1}{2}α$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，垂直的定义
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题关键是理清各个角之间的和差关系，熟练运用平角、垂直、角平分线的相关性质逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
