20.如图(1)所示,将长方形纸带ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在点H,G的位置,GH交BC于点M,再沿BC折叠成如图(2)所示,点H落在点N的位置,若∠DEF=72°,则∠GMN的度数是.

20.$72°$

【分析】
解题时先结合长方形对边平行的性质，利用平行线内错角相等求出∠EFB的度数；再根据折叠前后对应角相等的特征，先推导第一次折叠后∠HFM、∠HMF的度数，进而得到∠BMH的大小；之后结合第二次折叠的性质得到∠BMN和∠BMH相等，最后利用对顶角相等求出∠BMG，用∠BMN减去∠BMG即可得到∠GMN的度数。
【解析】
1.
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，根据平行线内错角相等，得∠EFB=∠DEF=72°。
2. 第一次沿EF折叠，点C落在H处，折叠前后对应角相等，
∴∠EFH=∠EFC，又
∵∠EFC=180°-∠EFB=180°-72°=108°，
∴∠EFH=108°，则∠HFM=∠EFH-∠EFB=108°-72°=36°。
3. 折叠后∠H=∠C=90°，在Rt△MFH中，直角三角形两锐角互余，
∴∠HMF=90°-∠HFM=90°-36°=54°，根据对顶角相等，得∠BMG=∠HMF=54°。
4. 由平角为180°，得∠BMH=180°-∠HMF=180°-54°=126°。
5. 第二次沿BC折叠，点H落在N处，折叠前后对应角相等，
∴∠BMN=∠BMH=126°。
6. 因此∠GMN=∠BMN-∠BMG=126°-54°=72°。
【答案】
72°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了长方形的特征、平行线的性质和折叠的性质，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的规律，理清不同折叠步骤中各个角的位置关系和数量关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.6

21.如图所示,已知$AC// FE$,$∠ 1+∠ 2=180°$.
(1)求证:$∠ FAB=∠ BDC$;
(2)若$AC$平分$∠ FAD$,$EF⊥ BE$于点$E$,$∠ FAD=80°$,求$∠ BCD$的度数.

(1)证明:$\because AC// EF,\therefore ∠ 1+∠ FAC=180°.$
又$\because ∠ 1+∠ 2=180°,$
$\therefore ∠ FAC=∠ 2.$
$\therefore FA// CD.$
$\therefore ∠ FAB=∠ BDC.$
(2)解:$\because AC$平分$∠ FAD,$
$\therefore ∠ FAC=∠ CAD,∠ FAD=2∠ FAC.$
由(1)知$∠ FAC=∠ 2,$
$\therefore ∠ FAD=2∠ 2.$
$\therefore ∠ 2=\frac{1}{2}∠ FAD.$
$\because ∠ FAD=80°,$
$\therefore ∠ 2=\frac{1}{2}× 80°=40°.$
$\because EF⊥ BE,AC// EF,$
$\therefore AC⊥ BE.$
$\therefore ∠ ACB=90°.$
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ 2=50°.$

【分析】
(1) 要证明∠FAB=∠BDC，可先推导FA与CD平行。首先利用AC//FE的性质得到同旁内角互补，结合已知∠1+∠2=180°，通过同角的补角相等得到内错角相等，即可判定FA//CD，再根据平行线的性质即可得证结论。
(2) 求∠BCD的度数时，先根据角平分线的定义求出∠FAC的度数，结合(1)的结论得到∠2的度数，再由EF⊥BE、AC//EF推出AC⊥BE得到∠ACB为直角，最后利用角的和差关系计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC// EF$，
$\therefore ∠ 1+∠ FAC=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ 1+∠ 2=180°$，
$\therefore ∠ FAC=∠ 2$（同角的补角相等），
$\therefore FA// CD$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ FAB=∠ BDC$（两直线平行，同位角相等）。
(2) 解：
$\because AC$平分$∠ FAD$，
$\therefore ∠ FAC=∠ CAD$，即$∠ FAD=2∠ FAC$。
由(1)知$∠ FAC=∠ 2$，
$\therefore ∠ FAD=2∠ 2$，
$\therefore ∠ 2=\frac{1}{2}∠ FAD$。
$\because ∠ FAD=80°$，
$\therefore ∠ 2=\frac{1}{2}×80°=40°$。
$\because EF⊥ BE$，$AC// EF$，
$\therefore AC⊥ BE$（一条直线垂直于一组平行线中的一条，也垂直于另一条），
$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ 2=90°-40°=50°$。
【答案】
(1) $∠ FAB=∠ BDC$得证；
(2) $∠ BCD=50°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查平行线相关定理的应用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，同时结合角平分线、垂直的性质完成角度计算，解题逻辑清晰，对几何基础能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7

22.(1)通过计算下列各式的值探究问题：
①$\sqrt{3^2} =$ ；$\sqrt{0^2} =$ ；$\sqrt{(-2)^2} =$ ；$\sqrt{(-\dfrac{1}{2})^2} =$ .
综上，对于任意有理数$a$，$\sqrt{a^2} =$ .
②$\sqrt[3]{3^3} =$ ；$\sqrt[3]{0^3} =$ ；$\sqrt[3]{(-2)^3} =$ ；$\sqrt[3]{(-\dfrac{1}{2})^3} =$ .
综上，对于任意有理数$a$，$\sqrt[3]{a^3} =$ .
(2)应用(1)所得结论解决问题：有理数$a$，$b$在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：$|a - b| - \sqrt[3]{b^3} + \sqrt{a^2}$.

(1)①3 0 2 $\frac{1}{2}$ $|a|$ ②3 0 $-2$ $-\frac{1}{2}$ $a$
(2)由a,b在数轴上的位置知,$a＜0,b＞0,a-b＜0.$
$\therefore |a-b|-\sqrt[3]{b^3}+\sqrt{a^2}$
$=-(a-b)-b+|a|$
$=-a+b-b-a$
$=-2a.$

【分析】
这道题分为探究规律和应用规律两部分，解题思路如下：1. 先计算(1)中给出的具体根式的值，通过观察计算结果总结出$\sqrt{a^2}$和$\sqrt[3]{a^3}$的运算性质：①计算平方的算术平方根时，结果是非负数，对应绝对值的性质；②计算立方的立方根时，结果和原数的符号、大小都相同。2. 解决(2)时，先根据数轴上a、b的位置判断a、b的正负以及$a-b$的正负，再结合(1)总结的性质去掉绝对值和根号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
(1)①计算各式：
$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3$；$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$；$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$；$\sqrt{(-\dfrac{1}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$；
观察结果可知，无论a为正、负还是0，$\sqrt{a^2}$的结果均为非负数，因此对于任意有理数a，$\sqrt{a^2}=|a|$。
②计算各式：
$\sqrt[3]{3^3}=3$；$\sqrt[3]{0^3}=0$；$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$；$\sqrt[3]{(-\dfrac{1}{2})^3}=-\dfrac{1}{2}$；
观察结果可知，$\sqrt[3]{a^3}$的结果和原数a完全相等，因此对于任意有理数a，$\sqrt[3]{a^3}=a$。
(2)由数轴上a、b的位置可知：$a＜0＜b$，因此$a-b＜0$，代入式子结合(1)的结论化简：
$\begin{aligned}|a - b| - \sqrt[3]{b^3} + \sqrt{a^2}&=-(a-b) - b + |a|\\&=-a + b - b + (-a)\\&=-2a\end{aligned}$
【答案】
(1)①$3$；$0$；$2$；$\dfrac{1}{2}$；$|a|$ ②$3$；$0$；$-2$；$-\dfrac{1}{2}$；$a$
(2)$-2a$
【知识点】
算术平方根的性质；立方根的性质；绝对值化简
【点评】
本题从特殊值运算出发，引导学生总结根式的运算规律，再结合数轴知识进行化简，重点考查对根式性质的区分和绝对值化简方法的掌握，解题时要注意$\sqrt{a^2}$和$\sqrt[3]{a^3}$的运算区别，去绝对值前需先判断绝对值内式子的正负。
【难度系数】
0.7