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8.如图所示,某地进行城市规划,在一条新修公路旁有一超市,现要建一个汽车站,为了使超市距离汽车站最近,请你在公路上选一点来建汽车站,应建在点
C
,依据是垂线段最短
.答案
8.C 垂线段最短
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确需求是在公路（可看作一条直线）上找一点，使得该点到直线外的超市O的距离最短。我们可以回忆点与直线的连线相关性质：连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。接下来观察图形，找到O到公路的垂线段的垂足，就是距离最短的站点位置。
【解析】
我们将公路看作一条直线，超市O是这条直线外的一点。根据几何性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。观察题图可知，OC与公路所在直线垂直，OC是O到公路的垂线段，因此汽车站建在C点时，超市到汽车站的距离最近，依据就是垂线段最短。
【答案】
C；垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类题目，解题的核心是熟练掌握垂线段最短的性质，结合图形快速定位垂线段的垂足即可作答，这类题目能很好地体现数学与生活的关联性。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先明确需求是在公路（可看作一条直线）上找一点，使得该点到直线外的超市O的距离最短。我们可以回忆点与直线的连线相关性质：连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。接下来观察图形，找到O到公路的垂线段的垂足，就是距离最短的站点位置。
【解析】
我们将公路看作一条直线，超市O是这条直线外的一点。根据几何性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。观察题图可知，OC与公路所在直线垂直，OC是O到公路的垂线段，因此汽车站建在C点时，超市到汽车站的距离最近，依据就是垂线段最短。
【答案】
C；垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类题目，解题的核心是熟练掌握垂线段最短的性质，结合图形快速定位垂线段的垂足即可作答，这类题目能很好地体现数学与生活的关联性。
【难度系数】
0.9
9.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图(1)是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图(2)是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=50°，当∠MAC的度数为
$70°$
时，AM//BE.答案
9.$70°$
解析
【分析】
解题时先围绕目标条件AM//BE思考需要的角度关系：首先利用AB与CD平行的已知条件，先求出∠ACB的度数；再结合平行线的判定定理，要让AM平行于BE，需满足内错角相等，即可推出∠MAC的度数。具体步骤：第一步，由AB//CD，根据平行线内错角相等得到∠ABC的度数；第二步，在△ABC中用三角形内角和180°算出∠ACB的度数；第三步，根据平行线判定的内错角相等条件，可得∠MAC等于∠ACB，即可求出结果。
【解析】
∵AB//CD，BC是两条平行线的截线，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠ABC=∠BCD=60°。
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠BAC=50°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-50°-60°=70°。
若AM//BE，AC是两条线的截线，∠MAC与∠ACB为内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，
可得当∠MAC=∠ACB=70°时，AM//BE。
【答案】
$70°$
【知识点】
平行线的性质与判定、三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础知识点，难度不大，解题关键是准确找到平行线的截线，梳理清楚角度之间的等量关系，是将几何知识应用到实际生活的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先围绕目标条件AM//BE思考需要的角度关系：首先利用AB与CD平行的已知条件，先求出∠ACB的度数；再结合平行线的判定定理，要让AM平行于BE，需满足内错角相等，即可推出∠MAC的度数。具体步骤：第一步，由AB//CD，根据平行线内错角相等得到∠ABC的度数；第二步，在△ABC中用三角形内角和180°算出∠ACB的度数；第三步，根据平行线判定的内错角相等条件，可得∠MAC等于∠ACB，即可求出结果。
【解析】
∵AB//CD，BC是两条平行线的截线，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠ABC=∠BCD=60°。
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠BAC=50°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-50°-60°=70°。
若AM//BE，AC是两条线的截线，∠MAC与∠ACB为内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，
可得当∠MAC=∠ACB=70°时，AM//BE。
【答案】
$70°$
【知识点】
平行线的性质与判定、三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础知识点，难度不大，解题关键是准确找到平行线的截线，梳理清楚角度之间的等量关系，是将几何知识应用到实际生活的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.如图所示,在$△ ABC$中,已知$AB=2\ \mathrm{cm},AC=3\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,将$△ ABC$沿$BC$方向平移$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$得到$△ DEF$,连接$AD$,则四边形$ABFD$的周长为
$12\ \mathrm{cm}$
.答案
10.$12\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
遇到平移类求周长的问题，首先回忆平移的核心性质：平移前后图形的对应边相等，对应点连接的线段长度等于平移距离。要求四边形ABFD的周长，先明确它的四条边分别是AB、BF、FD、DA：AB是已知量，DA等于平移距离，FD是△ABC中AC的对应边（平移后相等），BF是原BC边长度加上平移距离CF，把各边长度找到后代入周长公式即可求解。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC方向平移$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$得到△DEF，
根据平移的性质可得：
$AD=CF=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$，$DF=AC=3\ \mathrm{cm}$，
又
∵$BF=BC+CF$，已知$BC=4\ \mathrm{cm}$，
∴$BF=4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}\ \mathrm{cm}$，
四边形ABFD的周长为：
$\begin{aligned}C_{ABFD}&=AB+BF+FD+DA\\&=2+\frac{11}{2}+3+\frac{3}{2}\\&=5+\frac{14}{2}\\&=5+7\\&=12\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是熟练掌握平移的性质，准确找到对应边和对应点连线的长度，再结合周长公式计算即可。
【难度系数】
0.7
遇到平移类求周长的问题，首先回忆平移的核心性质：平移前后图形的对应边相等，对应点连接的线段长度等于平移距离。要求四边形ABFD的周长，先明确它的四条边分别是AB、BF、FD、DA：AB是已知量，DA等于平移距离，FD是△ABC中AC的对应边（平移后相等），BF是原BC边长度加上平移距离CF，把各边长度找到后代入周长公式即可求解。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC方向平移$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$得到△DEF，
根据平移的性质可得：
$AD=CF=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$，$DF=AC=3\ \mathrm{cm}$，
又
∵$BF=BC+CF$，已知$BC=4\ \mathrm{cm}$，
∴$BF=4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}\ \mathrm{cm}$，
四边形ABFD的周长为：
$\begin{aligned}C_{ABFD}&=AB+BF+FD+DA\\&=2+\frac{11}{2}+3+\frac{3}{2}\\&=5+\frac{14}{2}\\&=5+7\\&=12\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是熟练掌握平移的性质，准确找到对应边和对应点连线的长度，再结合周长公式计算即可。
【难度系数】
0.7
11.计算:(1)$-2^2 × \sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} + \sqrt{9} × (-1)^{2026}$；
(2)$\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) - |1-\sqrt{2}| - (-\sqrt{3})^2$。
(2)$\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) - |1-\sqrt{2}| - (-\sqrt{3})^2$。
答案
(1)$-2^2 × \sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} + \sqrt{9} × (-1)^{2026}$
$=-4× \frac{1}{2}-2+3× 1$
$=-2-2+3$
$=-1.$
(2)$\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) - |1-\sqrt{2}| - (-\sqrt{3})^2$
$=2\sqrt{2}+2-(\sqrt{2}-1)-3$
$=2\sqrt{2}+2-\sqrt{2}+1-3$
$=\sqrt{2}.$
$=-4× \frac{1}{2}-2+3× 1$
$=-2-2+3$
$=-1.$
(2)$\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) - |1-\sqrt{2}| - (-\sqrt{3})^2$
$=2\sqrt{2}+2-(\sqrt{2}-1)-3$
$=2\sqrt{2}+2-\sqrt{2}+1-3$
$=\sqrt{2}.$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序，有括号优先算括号内的内容。
(1)首先分别计算乘方、开方项：注意$-2^2$表示$2^2$的相反数，结果为-4；$\sqrt{\frac{1}{4}}$是$\frac{1}{4}$的算术平方根，结果为$\frac{1}{2}$；$\sqrt[3]{8}$是8的立方根，结果为2；$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3；(-1)的偶次幂为1。再依次计算乘法，最后算加减即可。
(2)首先用乘法分配律展开二次根式的乘法，再化简绝对值（因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$），计算乘方项$(-\sqrt{3})^2=3$，最后去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算乘方、开方，再计算乘法，最后算加减：
$\begin{aligned}&-2^2 × \sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} + \sqrt{9} × (-1)^{2026}\\=&-4× \frac{1}{2}-2+3× 1\\=&-2-2+3\\=&-1\end{aligned}$
(2) 先展开乘法、化简绝对值、计算乘方，再去括号合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) - |1-\sqrt{2}| - (-\sqrt{3})^2\\=&2\sqrt{2}+2-(\sqrt{2}-1)-3\\=&2\sqrt{2}+2-\sqrt{2}+1-3\\=&\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
实数混合运算、二次根式运算、绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题型，易错点在于符号的判断：如$-2^2$的符号、绝对值去括号后的符号、负号平方后的符号，计算时严格遵循运算顺序，细心处理符号即可正确求解。
【难度系数】
0.7
本题考查实数的混合运算，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序，有括号优先算括号内的内容。
(1)首先分别计算乘方、开方项：注意$-2^2$表示$2^2$的相反数，结果为-4；$\sqrt{\frac{1}{4}}$是$\frac{1}{4}$的算术平方根，结果为$\frac{1}{2}$；$\sqrt[3]{8}$是8的立方根，结果为2；$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3；(-1)的偶次幂为1。再依次计算乘法，最后算加减即可。
(2)首先用乘法分配律展开二次根式的乘法，再化简绝对值（因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$），计算乘方项$(-\sqrt{3})^2=3$，最后去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算乘方、开方，再计算乘法，最后算加减：
$\begin{aligned}&-2^2 × \sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{8} + \sqrt{9} × (-1)^{2026}\\=&-4× \frac{1}{2}-2+3× 1\\=&-2-2+3\\=&-1\end{aligned}$
(2) 先展开乘法、化简绝对值、计算乘方，再去括号合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) - |1-\sqrt{2}| - (-\sqrt{3})^2\\=&2\sqrt{2}+2-(\sqrt{2}-1)-3\\=&2\sqrt{2}+2-\sqrt{2}+1-3\\=&\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
实数混合运算、二次根式运算、绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题型，易错点在于符号的判断：如$-2^2$的符号、绝对值去括号后的符号、负号平方后的符号，计算时严格遵循运算顺序，细心处理符号即可正确求解。
【难度系数】
0.7
12.把下列各数填在相应的大括号里.
$-4,-|-\frac{4}{3}|,0,\frac{22}{7},\frac{π}{2},2026,-(+5),+1.88,0.010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1),$-2.33$.
整数集合:{ …};
非负数集合:{ …};
分数集合:{ …};
无理数集合:{ …};
$-4,-|-\frac{4}{3}|,0,\frac{22}{7},\frac{π}{2},2026,-(+5),+1.88,0.010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1),$-2.33$.
整数集合:{ …};
非负数集合:{ …};
分数集合:{ …};
无理数集合:{ …};
答案
整数集合:{$-4,0,2\ 026,-(+5),···$};
非负数集合:$\{0,\frac{22}{7},\frac{π}{2},2\ 026,+1.88,0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),···\}$;
分数集合:$\{-\left|-\frac{4}{3}\right|,\frac{22}{7},+1.88,-2.33,···\}$;
无理数集合:$\{\frac{π}{2},0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),···\}.$
非负数集合:$\{0,\frac{22}{7},\frac{π}{2},2\ 026,+1.88,0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),···\}$;
分数集合:$\{-\left|-\frac{4}{3}\right|,\frac{22}{7},+1.88,-2.33,···\}$;
无理数集合:$\{\frac{π}{2},0.010\ 010\ 001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),···\}.$
解析
【分析】
解题前首先需要先将题目中带有绝对值、括号的数化简，再回忆各类数的定义：①整数包括正整数、0、负整数；②非负数是大于或等于0的数；③分数包括正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数；④无理数是无限不循环小数。之后逐个判断每个数所属的集合，注意不要漏填、错填。
【解析】
第一步：先化简带符号的数：
$-|-\frac{4}{3}|=-\frac{4}{3}$，$-(+5)=-5$。
第二步：按定义逐个分类：
1. 整数集合：负整数有$-4$、$-(+5)$，0是整数，正整数有$2026$，因此这几个数属于整数集合；
2. 非负数集合：大于等于0的数有$0$、正分数$\frac{22}{7}$、正无理数$\frac{π}{2}$、正整数$2026$、正有限小数$+1.88$、正无限不循环小数$0.010010001…$（相邻两个1之间0的个数逐次加1），均属于非负数集合；
3. 分数集合：负分数有$-|-\frac{4}{3}|$、$-2.33$，正分数有$\frac{22}{7}$、$+1.88$，均属于分数集合；
4. 无理数集合：无限不循环小数有$\frac{π}{2}$、$0.010010001…$（相邻两个1之间0的个数逐次加1），属于无理数集合。
【答案】
整数集合:{$-4,0,2026,-(+5),···$};
非负数集合:$\{0,\frac{22}{7},\frac{π}{2},2026,+1.88,0.010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),···\}$;
分数集合:$\{-\left|-\frac{4}{3}\right|,\frac{22}{7},+1.88,-2.33,···\}$;
无理数集合:$\{\frac{π}{2},0.010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),··\}.$
【知识点】
实数的分类，整数的定义，无理数的识别
【点评】
本题考查实数的分类问题，解题的关键是先化简含有符号、绝对值的数，再结合各类数的定义进行判断，要特别注意：含π的数、无限不循环小数是无理数，有限小数和无限循环小数都属于分数，非负数包含0和所有正数，不要漏填0。
【难度系数】
0.7
解题前首先需要先将题目中带有绝对值、括号的数化简，再回忆各类数的定义：①整数包括正整数、0、负整数；②非负数是大于或等于0的数；③分数包括正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数；④无理数是无限不循环小数。之后逐个判断每个数所属的集合，注意不要漏填、错填。
【解析】
第一步：先化简带符号的数：
$-|-\frac{4}{3}|=-\frac{4}{3}$，$-(+5)=-5$。
第二步：按定义逐个分类：
1. 整数集合：负整数有$-4$、$-(+5)$，0是整数，正整数有$2026$，因此这几个数属于整数集合；
2. 非负数集合：大于等于0的数有$0$、正分数$\frac{22}{7}$、正无理数$\frac{π}{2}$、正整数$2026$、正有限小数$+1.88$、正无限不循环小数$0.010010001…$（相邻两个1之间0的个数逐次加1），均属于非负数集合；
3. 分数集合：负分数有$-|-\frac{4}{3}|$、$-2.33$，正分数有$\frac{22}{7}$、$+1.88$，均属于分数集合；
4. 无理数集合：无限不循环小数有$\frac{π}{2}$、$0.010010001…$（相邻两个1之间0的个数逐次加1），属于无理数集合。
【答案】
整数集合:{$-4,0,2026,-(+5),···$};
非负数集合:$\{0,\frac{22}{7},\frac{π}{2},2026,+1.88,0.010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),···\}$;
分数集合:$\{-\left|-\frac{4}{3}\right|,\frac{22}{7},+1.88,-2.33,···\}$;
无理数集合:$\{\frac{π}{2},0.010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1),··\}.$
【知识点】
实数的分类，整数的定义，无理数的识别
【点评】
本题考查实数的分类问题，解题的关键是先化简含有符号、绝对值的数，再结合各类数的定义进行判断，要特别注意：含π的数、无限不循环小数是无理数，有限小数和无限循环小数都属于分数，非负数包含0和所有正数，不要漏填0。
【难度系数】
0.7
