2. (2025 镇江市丹徒区期末)如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD ⊥ AB$于点$E$,连接$AD$.若$BE=2$,$AD=4\sqrt{5}$,则$CD$的长为 （）

A.$4$
B.$4\sqrt{2}$
C.$8$
D.$9$

C 提示:如图,连接OD,设$\odot O$的半径为r,则$AE=2r-2$.因为$CD ⊥ AB$,所以$CE=DE$,$∠ AED=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$DE^2+(2r-2)^2=(4\sqrt{5})^2$①;在$\mathrm{Rt}△ ODE$中,$DE^2+(r-2)^2=r^2$②.①-②,得$(2r-2)^2-(r-2)^2=(4\sqrt{5})^2-r^2$.整理,得$r^2-r-20=0$,解得$r_1=5$,$r_2=-4$(舍去),所以$OD=5$,$OE=3$,所以$DE=\sqrt{5^2-3^2}=4$,所以$CD=2DE=8$.

【分析】
要解决本题，需结合垂径定理和勾股定理，通过设圆的半径为未知数，在两个直角三角形中建立方程求解半径，进而求出弦CD的长度。核心思路是利用垂直关系构造直角三角形，结合勾股定理消元求解，最终根据垂径定理得到CD的长。
【解析】
连接OD，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$。
因为$BE=2$，所以$OE = r - BE = r - 2$，$AE = AB - BE = 2r - 2$。
已知$CD⊥AB$，根据垂径定理，$CD=2DE$，且$∠ AED=∠ OED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE^2 + AE^2 = AD^2$，即$DE^2 + (2r - 2)^2 = (4\sqrt{5})^2$ ①；
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得：
$DE^2 + OE^2 = OD^2$，即$DE^2 + (r - 2)^2 = r^2$ ②；
用① - ②消去$DE^2$：
$(2r - 2)^2 - (r - 2)^2 = (4\sqrt{5})^2 - r^2$，
展开整理得：$r^2 - r - 20 = 0$，
解得$r_1=5$，$r_2=-4$（半径为正，舍去负根）。
所以$OD=5$，$OE=5-2=3$，在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，
$DE=\sqrt{OD^2 - OE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
因此$CD=2DE=2×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，结合垂径定理和勾股定理，通过方程思想求解半径是关键，考查学生对圆的性质和直角三角形应用的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.6

3. (2024 南京市鼓楼区期中) 如图，$\odot O$ 的半径为 5，$OP = 1$。若将 $\odot O$ 沿某条弦所在的直线翻折，翻折后的弧恰好经过点 $P$，则这条弦的长度 $a$ 的范围是。

$8≤ a≤ 2\sqrt{21}$ 提示:过点P作$\odot O$的直径CE.由垂径定理知,当弦AB垂直平分CP时,弦AB最短;当弦AB垂直平分PE时,弦AB最长.如图1,连接OA.因为$\odot O$的半径为5,$OP=1$,所以$CP=OC-OP=4$.由翻折易得$CD=PD=\dfrac{1}{2}CP=2$,所以$OD=3$.在$\mathrm{Rt}△ OAD$中,$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=4$,所以$a=AB=2AD=8$.如图2,连接OA.因为$\odot O$的半径为5,$OP=1$,所以$PE=OE+OP=6$.由翻折易得$ED=PD=\dfrac{1}{2}PE=3$,所以$OD=2$.在$\mathrm{Rt}△ OAD$中,$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{21}$,所以$a=AB=2AD=2\sqrt{21}$.所以这条弦的长度a的范围是$8≤ a≤ 2\sqrt{21}$.

【分析】
要解决这个问题，需结合翻折的性质和垂径定理，找到弦长的最值情况：翻折后弧过点P，说明弦AB是翻折的对称轴，此时弦AB到圆心O的距离决定弦长，当AB垂直平分线段CP时弦最短，垂直平分线段PE时弦最长，通过计算两种情况的弦长即可得到范围。
【解析】
设弦为AB，$\odot O$半径为5，$OP=1$。
1. 计算最短弦长：
过O作直径CE，C在O上方，E在O下方。当AB垂直平分CP时，翻折后的弧过P，此时$CP=OC - OP=5 - 1=4$，故$CD=PD=\frac{1}{2}CP=2$，$OD=OC - CD=5 - 2=3$。
在$\mathrm{Rt}△OAD$中，$OA=5$，$OD=3$，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，因此$AB=2AD=8$，即最短弦长为8。
2. 计算最长弦长：
当AB垂直平分PE时，$PE=OE + OP=5 + 1=6$，故$ED=PD=\frac{1}{2}PE=3$，$OD=OE - ED=5 - 3=2$。
在$\mathrm{Rt}△OAD$中，$OA=5$，$OD=2$，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 2^2}=\sqrt{21}$，因此$AB=2AD=2\sqrt{21}$，即最长弦长为$2\sqrt{21}$。
综上，弦长$a$的范围是$8≤ a≤ 2\sqrt{21}$。
【答案】
$8≤ a≤ 2\sqrt{21}$
【知识点】
垂径定理、翻折性质、勾股定理
【点评】
本题结合翻折性质与圆的相关定理，考查弦长的最值问题，关键是确定弦长最短和最长时的位置，利用勾股定理计算，属于圆的基础应用题型。
【难度系数】
0.5

4. 上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型. 如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同. 某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小.

（1）利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心$O$(保留作图痕迹).
（2）如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧点$A$处，将所携带的$200\ \mathrm{m}$绳子拉直至圆弧形道路内侧另一点$B$处，并测得绳子中点$C$与圆弧形道路内侧中点$D$的距离为$10\ \mathrm{m}$，圆弧形水道外侧到圆弧形道路内侧的距离$DE$为$22\ \mathrm{m}$(点$D$,$C$,$E$在同一直线上)，请计算圆弧形水道外侧的半径.

(1) 如图1,分别在圆弧形水道、圆弧形道路上取一条弦,分别作两条弦的垂直平分线,二者的交点即为点O.

(2) 如图2,连接OA,OC,OD.因为C为AB的中点,D为圆弧形道路内侧中点,所以$OC ⊥ AB$,$OD ⊥ AB$,$AC=\dfrac{1}{2}AB=100\ \mathrm{m}$,所以O,E,C,D四点共线.设$OA=OD=r\ \mathrm{m}$,则$OC=(r-10)\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ AOC$中,由勾股定理,得$OA^2=OC^2+AC^2$,所以$r^2=(r-10)^2+100^2$,解得$r=505$,所以$OE=OD-DE=505-22=483(\mathrm{m})$.
答:圆弧形水道外侧的半径为483 m.

【分析】
第(1)问，根据垂径定理：圆的任意一条弦的垂直平分线必过圆心，因此在圆弧形水道（或道路）上取两条不平行的弦，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O。
第(2)问，利用垂径定理得OC⊥AB、OD⊥AB，故O、C、D共线；由AB长度求出AC=100m，设圆弧形道路内侧半径为r，用r表示OC的长度，再在Rt△AOC中应用勾股定理列方程，求解后减去DE的长度即可得到圆弧形水道外侧的半径。
【解析】
(1) 作图：在圆弧形水道（或道路）上取两条不平行的弦，用尺规分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，保留弦和垂直平分线的作图痕迹。
(2) 连接OA、OC、OD。
因为C是AB中点，AB=200m，所以$AC=\frac{1}{2}AB=100\ \mathrm{m}$。
又OC⊥AB，OD⊥AB，故O、C、D三点共线。
设圆弧形道路内侧半径$OA=OD=r\ \mathrm{m}$，则$OC=(r-10)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△AOC$中，由勾股定理：
$OA^2=OC^2+AC^2$
代入得：$r^2=(r-10)^2+100^2$
展开化简：$r^2=r^2-20r+100+10000$，解得$r=505$。
圆弧形水道外侧半径$OE=OD-DE=505-22=483\ \mathrm{m}$。
【答案】
圆弧形水道外侧的半径为483 m。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的半径计算
【点评】
本题结合实际景观场景，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过设未知数列方程求解，体现了数学在实际问题中的应用，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5

5. 如图,$M$为$\odot O$内任意一点,$AB$为过点$M$且和$OM$垂直的一条弦,$CD$为过点$M$的任意一条弦(不与$AB$重合).
(1) 求证:$AB＜CD$.
(2) 在过点$M$的所有弦中,有没有最长的弦? (填"有"或"没有").有没有最短的弦? (填"有"或"没有").如果有,最长的弦与$OM$的位置关系为,最短的弦与$OM$的位置关系为.
(3) 如果过点$M$的所有弦中,最长的弦是$EF$,最短的弦是$GH$,且$EF=26$,$GH=24$,求$OM$的长度.

(1) 证明:连接OA,OD,过点O作$ON ⊥ CD$于点N,则$DN=\dfrac{1}{2}CD$,$OM＞ON$.因为$OM ⊥ AB$,所以$AM=\dfrac{1}{2}AB$.由勾股定理,得$AM^2=OA^2-OM^2$,$DN^2=OD^2-ON^2$.因为$OA=OD$,$OM＞ON$,所以$AM^2＜DN^2$,所以$AM＜DN$,所以$AB＜CD$.
(2) 有 有 重合 垂直 提示:由(1)可知,在过点M的所有弦中,AB是最短的一条.因为CD为过点M的任意一条弦,连接OC,OD,所以$OC+OD≥ CD$,$OC+OD$的长等于直径长,即在过点M的所有弦中,与弦AB垂直的直径是最长的弦.
(3) 解:如图,连接OG.由题意,得$EF ⊥ GH$,EF是$\odot O$的直径,$OG=\dfrac{1}{2}EF=13$,$GM=\dfrac{1}{2}GH=12$,所以$OM=\sqrt{OG^2-GM^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$.

【分析】
要解决这道题，需结合垂径定理、勾股定理分析圆中弦的长度关系：
1. 第(1)问：比较两条弦AB和CD的长度，利用垂径定理将弦长转化为弦心距与半径的关系，通过勾股定理比较弦长的一半，进而得到弦长的大小；
2. 第(2)问：根据圆中弦的性质，过圆内一点的最长弦是直径，最短弦是垂直于该点与圆心连线的弦，结合第(1)问的结论即可判断；
3. 第(3)问：利用最长弦是直径、最短弦垂直于直径，结合勾股定理计算OM的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OA、OD，过点O作ON⊥CD于点N。
根据垂径定理，得：$AM=\frac{1}{2}AB$，$DN=\frac{1}{2}CD$。
在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得：$AM^2=OA^2 - OM^2$；
在$Rt△ DON$中，由勾股定理得：$DN^2=OD^2 - ON^2$。
∵ OA、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$。
又
∵ CD是过点M的任意弦，OM⊥AB，
∴ $OM＞ON$，
∴ $AM^2=OA^2 - OM^2 ＜ OD^2 - ON^2=DN^2$，即$AM ＜ DN$，
∴ $2AM ＜ 2DN$，故$AB ＜ CD$。
(2) 在过点M的所有弦中，直径是最长的弦（直径长度为2r，是圆中最长的弦），故填“有”；
最短的弦是垂直于OM的弦（由(1)可知，过M的弦中，到圆心距离最大的弦最短，OM是圆心到AB的距离，是过M的弦中最大的弦心距，对应弦最短），故填“有”；
最长的弦是直径，直径过圆心O，故与OM的位置关系是“重合”；
最短的弦AB与OM垂直，故填“垂直”。
(3) 解：连接OG。
由题意，EF是过点M的最长弦，故EF是$\odot O$的直径，因此$OG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×26=13$；
GH是过点M的最短弦，故EF⊥GH，根据垂径定理，$GM=\frac{1}{2}GH=\frac{1}{2}×24=12$。
在$Rt△ OMG$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OG^2 - GM^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) 有；有；重合；垂直；(3) $OM=5$；
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦的性质
【点评】
本题综合考查垂径定理、勾股定理的应用，核心是理解圆中过定点的弦的长度与弦心距的关系：弦心距越大，弦越短；过圆内一点的最长弦是直径，最短弦是垂直于该点与圆心连线的弦。题目难度适中，是圆的基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6