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1. 若圆的一条弦把圆分成度数之比为$1:3$的两条弧，则这条弦所对的圆周角的度数为
（
A.$45^{\circ }$
B.$135^{\circ }$
C.$90^{\circ }$或$270^{\circ }$
D.$45^{\circ }$或$135^{\circ }$
（
D
）A.$45^{\circ }$
B.$135^{\circ }$
C.$90^{\circ }$或$270^{\circ }$
D.$45^{\circ }$或$135^{\circ }$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据弦分圆的弧的度数比算出两条弧的度数，再结合圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两种情况（分别对应劣弧和优弧），即可得出结果。
【解析】
1. 计算两条弧的度数：整个圆周的度数为$360°$，弦把圆分成度数比为$1:3$的两条弧，因此劣弧的度数为$360° × \frac{1}{1+3} = 90°$，优弧的度数为$360° × \frac{3}{1+3} = 270°$。
2. 应用圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
当圆周角所对的弧为劣弧时，该圆周角的度数为$\frac{1}{2} × 90° = 45°$；
当圆周角所对的弧为优弧时，该圆周角的度数为$\frac{1}{2} × 270° = 135°$。
因此这条弦所对的圆周角的度数为$45°$或$135°$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，弧的度数计算
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是明确弦所对的圆周角有两种情况，需分别对应所对的劣弧和优弧计算，避免漏解。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先根据弦分圆的弧的度数比算出两条弧的度数，再结合圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两种情况（分别对应劣弧和优弧），即可得出结果。
【解析】
1. 计算两条弧的度数：整个圆周的度数为$360°$，弦把圆分成度数比为$1:3$的两条弧，因此劣弧的度数为$360° × \frac{1}{1+3} = 90°$，优弧的度数为$360° × \frac{3}{1+3} = 270°$。
2. 应用圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
当圆周角所对的弧为劣弧时，该圆周角的度数为$\frac{1}{2} × 90° = 45°$；
当圆周角所对的弧为优弧时，该圆周角的度数为$\frac{1}{2} × 270° = 135°$。
因此这条弦所对的圆周角的度数为$45°$或$135°$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，弧的度数计算
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是明确弦所对的圆周角有两种情况，需分别对应所对的劣弧和优弧计算，避免漏解。
【难度系数】
0.5
2. 如图,四边形$ABCD$的顶点都在$\odot O$上.若四边形$OBCD$为菱形,则$∠ A$的度数为（
A.$45^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$72^{\circ }$
D.$36^{\circ }$
B
）A.$45^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$72^{\circ }$
D.$36^{\circ }$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形性质、圆的半径特征推导圆心角度数，再利用圆周角定理计算∠A。首先，由菱形四边相等和圆半径相等，可推出△OBC、△OCD为等边三角形，得到圆心角∠BOD的度数；再根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可求出∠A。
【解析】
∵ 四边形OBCD为菱形，
∴ OB = BC = CD = DO（菱形的四条边相等），
又
∵ OB、OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OB = OC = OD，
∴ OB = BC = OC，OD = CD = OC，
∴ △OBC和△OCD都是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴ ∠BOC = ∠COD = 60°，
∴ ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 60° + 60° = 120°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠A是弧BCD所对的圆周角，∠BOD是弧BCD所对的圆心角，
∴ ∠A = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，菱形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查菱形性质与圆的核心定理，需通过几何图形的性质关联推导角度，关键是利用菱形和圆的半径特征求出圆心角，再结合圆周角定理求解，是中等难度的几何基础题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形性质、圆的半径特征推导圆心角度数，再利用圆周角定理计算∠A。首先，由菱形四边相等和圆半径相等，可推出△OBC、△OCD为等边三角形，得到圆心角∠BOD的度数；再根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可求出∠A。
【解析】
∵ 四边形OBCD为菱形，
∴ OB = BC = CD = DO（菱形的四条边相等），
又
∵ OB、OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OB = OC = OD，
∴ OB = BC = OC，OD = CD = OC，
∴ △OBC和△OCD都是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴ ∠BOC = ∠COD = 60°，
∴ ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 60° + 60° = 120°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠A是弧BCD所对的圆周角，∠BOD是弧BCD所对的圆心角，
∴ ∠A = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，菱形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查菱形性质与圆的核心定理，需通过几何图形的性质关联推导角度，关键是利用菱形和圆的半径特征求出圆心角，再结合圆周角定理求解，是中等难度的几何基础题。
【难度系数】
0.5
3. 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的弦, 圆周角 $∠ A C B=$ $70°$, 那么 $∠ O A B$ 的度数是（
A.$70°$
B.$20°$
C.$100°$
D.$35°$
B
）A.$70°$
B.$20°$
C.$100°$
D.$35°$
答案
3. B
解析
【分析】
要计算∠OAB的度数，需先利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠AOB，再结合圆的半径相等得到等腰三角形OAB，最后根据三角形内角和定理计算底角∠OAB。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。已知圆周角∠ACB=70°，它所对的弧是AB，对应的圆心角为∠AOB，因此∠AOB=2∠ACB=2×70°=140°。
2. 因为OA、OB都是⊙O的半径，所以OA=OB，△OAB是等腰三角形，故∠OAB=∠OBA。
3. 根据三角形内角和为180°，可得∠OAB=(180°-∠AOB)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题是圆的基础题型，核心考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题思路直接，步骤清晰，属于学生应掌握的基础知识点应用。
【难度系数】
0.3
要计算∠OAB的度数，需先利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠AOB，再结合圆的半径相等得到等腰三角形OAB，最后根据三角形内角和定理计算底角∠OAB。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。已知圆周角∠ACB=70°，它所对的弧是AB，对应的圆心角为∠AOB，因此∠AOB=2∠ACB=2×70°=140°。
2. 因为OA、OB都是⊙O的半径，所以OA=OB，△OAB是等腰三角形，故∠OAB=∠OBA。
3. 根据三角形内角和为180°，可得∠OAB=(180°-∠AOB)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题是圆的基础题型，核心考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题思路直接，步骤清晰，属于学生应掌握的基础知识点应用。
【难度系数】
0.3
4.（2024 连云港市中考）如图，AB 是圆的直径，$∠ 1,∠ 2,∠ 3,∠ 4$ 的顶点均在 AB 上方的圆弧上，$∠ 1,∠ 4$ 的一边分别经过点 A，B，则 $∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=$
90
$°$.答案
4. 90
解析
【分析】
要解决本题，需运用圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。观察图形可知，AB是圆的直径，AB上方的圆弧为半圆，弧度数为180°；∠1、∠2、∠3、∠4均为顶点在AB上方圆弧上的圆周角，它们各自所对的弧的总和恰好是这个半圆，据此可计算四个角的和。
【解析】
∵ AB是圆的直径，
∴ AB上方的圆弧为半圆，其弧度数为180°。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
可知∠1、∠2、∠3、∠4的度数分别等于它们各自所对弧度数的一半。
这四个角所对的弧的总度数为180°，
因此∠1+∠2+∠3+∠4 = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是识别四个角所对弧的总和为半圆，利用定理简化计算，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需运用圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。观察图形可知，AB是圆的直径，AB上方的圆弧为半圆，弧度数为180°；∠1、∠2、∠3、∠4均为顶点在AB上方圆弧上的圆周角，它们各自所对的弧的总和恰好是这个半圆，据此可计算四个角的和。
【解析】
∵ AB是圆的直径，
∴ AB上方的圆弧为半圆，其弧度数为180°。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
可知∠1、∠2、∠3、∠4的度数分别等于它们各自所对弧度数的一半。
这四个角所对的弧的总度数为180°，
因此∠1+∠2+∠3+∠4 = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是识别四个角所对弧的总和为半圆，利用定理简化计算，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
5. 在 $△ ABC$ 中, 若 $AB=6,∠ ACB=45°$, 则 $△ ABC$ 的面积的最大值为
$9\sqrt{2}+9$
.答案
5. $9\sqrt{2}+9$ 提示:如图,作$△ ABC$的外接圆$\odot O$,过点C作$CM⊥ AB$于点M. 因为弦AB已确定,所以要使$△ ABC$的面积最大,只要CM取最大值即可.当CM过圆心O时,CM最大. 因为$∠ AOB=2∠ ACB=2×45°=90°$,$CM⊥ AB$,$OA=OB$,所以$OM=AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$,所以$OA=\sqrt{OM^2+AM^2}=3\sqrt{2}$,所以$CM=OC+OM=3\sqrt{2}+3$,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CM=\frac{1}{2}×6×(3\sqrt{2}+3)=9\sqrt{2}+9$.
解析
【分析】
要使△ABC的面积最大，由于底AB固定为6，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，只需高CM最大即可。点C满足∠ACB=45°，其轨迹是以AB为弦的圆弧，当高CM经过外接圆圆心O时，CM取得最大值（此时CM为过圆心的线段，长度最大）。接下来利用圆周角定理求出圆心角，结合等腰直角三角形性质计算相关线段长度，进而求出最大高CM，最终计算面积。
【解析】
1. 作△ABC的外接圆⊙O，过点C作CM⊥AB于点M。因为AB=6固定，所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CM$，要使面积最大，需CM最大，当CM过圆心O时，CM最大。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠ACB=45°，因此∠AOB=2∠ACB=90°。
3. 因为OA=OB，CM⊥AB，所以△AOB是等腰直角三角形，OM⊥AB，故$AM=BM=\frac{1}{2}AB=3$，且等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，得OM=AM=3。
4. 在Rt△AOM中，由勾股定理得$OA=\sqrt{OM^2+AM^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，又OC=OA（同圆半径相等），所以$CM=OC+OM=3\sqrt{2}+3$。
5. 代入面积公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CM=\frac{1}{2}×6×(3\sqrt{2}+3)=9\sqrt{2}+9$。
【答案】
$9\sqrt{2}+9$
【知识点】
圆周角定理，三角形面积公式，圆的外接圆性质
【点评】
本题为几何最值问题，核心是利用圆周角定理确定点C的轨迹，找到高的最大值，进而计算三角形面积，需掌握圆的性质与三角形面积计算，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.4
要使△ABC的面积最大，由于底AB固定为6，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，只需高CM最大即可。点C满足∠ACB=45°，其轨迹是以AB为弦的圆弧，当高CM经过外接圆圆心O时，CM取得最大值（此时CM为过圆心的线段，长度最大）。接下来利用圆周角定理求出圆心角，结合等腰直角三角形性质计算相关线段长度，进而求出最大高CM，最终计算面积。
【解析】
1. 作△ABC的外接圆⊙O，过点C作CM⊥AB于点M。因为AB=6固定，所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CM$，要使面积最大，需CM最大，当CM过圆心O时，CM最大。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠ACB=45°，因此∠AOB=2∠ACB=90°。
3. 因为OA=OB，CM⊥AB，所以△AOB是等腰直角三角形，OM⊥AB，故$AM=BM=\frac{1}{2}AB=3$，且等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，得OM=AM=3。
4. 在Rt△AOM中，由勾股定理得$OA=\sqrt{OM^2+AM^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，又OC=OA（同圆半径相等），所以$CM=OC+OM=3\sqrt{2}+3$。
5. 代入面积公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CM=\frac{1}{2}×6×(3\sqrt{2}+3)=9\sqrt{2}+9$。
【答案】
$9\sqrt{2}+9$
【知识点】
圆周角定理，三角形面积公式，圆的外接圆性质
【点评】
本题为几何最值问题，核心是利用圆周角定理确定点C的轨迹，找到高的最大值，进而计算三角形面积，需掌握圆的性质与三角形面积计算，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.4
6. 如图,$\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆,$AB=AC$,
$P$ 是$\odot O$ 上一点.
(1) 请你只用无刻度的直尺,分别画出图 1
和图 2 中$∠ BPC$ 的平分线;
(2) 请结合图 2,说明你这样画的理由.
$P$ 是$\odot O$ 上一点.
(1) 请你只用无刻度的直尺,分别画出图 1
和图 2 中$∠ BPC$ 的平分线;
(2) 请结合图 2,说明你这样画的理由.
答案
6. 解:(1) 如图1,射线PA即为所求作的角平分线;如图2,射线PD即为所求作的角平分线.
(2) 因为AD是直径,所以$\overset{\frown}{ABD}=\overset{\frown}{ACD}$.又因为$AB=AC$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,所以$∠ BPD=∠ CPD$,所以PD平分$∠ BPC$.
解析
【分析】
要画出∠BPC的平分线，需利用圆中弧与圆周角的关系（圆周角定理）：等弧所对的圆周角相等。对于图1，已知AB=AC，根据等腰三角形外接圆的性质，弧AB等于弧AC，同弧对应的圆周角∠BPA与∠CPA相等，故PA是角平分线；对于图2，AD是直径，直径将圆分成两个相等的半圆，结合AB=AC得弧AB=弧AC，可推出弧BD=弧CD，对应的圆周角∠BPD=∠CPD，故PD是角平分线。解题时需紧扣圆周角定理，通过弧的等量关系推导角的等量关系。
【解析】
(1) 作图：
图1中，连接点A与点P，射线PA即为∠BPC的平分线；
图2中，连接点P与点D，射线PD即为∠BPC的平分线。
(2) 证明理由：
因为AD是⊙O的直径，所以$\overset{\frown}{ABD} = \overset{\frown}{ACD}$（直径所对的弧相等）。
又因为AB=AC，所以$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
因此$\overset{\frown}{ABD} - \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{ACD} - \overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$。
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，所以∠BPD=∠CPD，故PD平分∠BPC。
【答案】
(1) 图1中射线PA，图2中射线PD；
(2) 因为AD是直径，所以$\overset{\frown}{ABD}=\overset{\frown}{ACD}$，又AB=AC得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，故$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，所以∠BPD=∠CPD，PD平分∠BPC。
【知识点】
圆周角定理、圆的弧弦关系、等腰三角形性质
【点评】
本题结合圆的性质与等腰三角形特点，考查无刻度直尺作角平分线，核心是用圆周角定理推导角相等，需掌握圆中弧与角的对应关系，属于中等难度几何题。
【难度系数】
0.5
要画出∠BPC的平分线，需利用圆中弧与圆周角的关系（圆周角定理）：等弧所对的圆周角相等。对于图1，已知AB=AC，根据等腰三角形外接圆的性质，弧AB等于弧AC，同弧对应的圆周角∠BPA与∠CPA相等，故PA是角平分线；对于图2，AD是直径，直径将圆分成两个相等的半圆，结合AB=AC得弧AB=弧AC，可推出弧BD=弧CD，对应的圆周角∠BPD=∠CPD，故PD是角平分线。解题时需紧扣圆周角定理，通过弧的等量关系推导角的等量关系。
【解析】
(1) 作图：
图1中，连接点A与点P，射线PA即为∠BPC的平分线；
图2中，连接点P与点D，射线PD即为∠BPC的平分线。
(2) 证明理由：
因为AD是⊙O的直径，所以$\overset{\frown}{ABD} = \overset{\frown}{ACD}$（直径所对的弧相等）。
又因为AB=AC，所以$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
因此$\overset{\frown}{ABD} - \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{ACD} - \overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$。
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，所以∠BPD=∠CPD，故PD平分∠BPC。
【答案】
(1) 图1中射线PA，图2中射线PD；
(2) 因为AD是直径，所以$\overset{\frown}{ABD}=\overset{\frown}{ACD}$，又AB=AC得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，故$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，所以∠BPD=∠CPD，PD平分∠BPC。
【知识点】
圆周角定理、圆的弧弦关系、等腰三角形性质
【点评】
本题结合圆的性质与等腰三角形特点，考查无刻度直尺作角平分线，核心是用圆周角定理推导角相等，需掌握圆中弧与角的对应关系，属于中等难度几何题。
【难度系数】
0.5
7. 如图,已知在$\odot O$中,$\overgroup{AB}=\overgroup{BC}=\overgroup{CD}$,连接$AD$,$OC$与$AD$相交于点$E$.求证:
(1)$AD// BC$;
(2)四边形$BCDE$为菱形.
(1)$AD// BC$;
(2)四边形$BCDE$为菱形.
答案
7. 证明:(1) 连接BD. 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,所以$∠ ADB=∠ CBD$,所以$AD// BC$.
(2) 设BD交CE于点F. 由(1)知$∠ EDF=∠ CBF$. 因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,所以$BC=CD$,$OC⊥ BD$,所以$BF=DF$. 又因为$∠ DFE=∠ BFC$,所以$△ DEF≌△ BCF$(ASA),所以$DE=BC$. 又由(1),得$AD// BC$,即$DE// BC$,所以四边形BCDE为平行四边形. 又因为$BC=CD$,所以$□ BCDE$为菱形.
(2) 设BD交CE于点F. 由(1)知$∠ EDF=∠ CBF$. 因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,所以$BC=CD$,$OC⊥ BD$,所以$BF=DF$. 又因为$∠ DFE=∠ BFC$,所以$△ DEF≌△ BCF$(ASA),所以$DE=BC$. 又由(1),得$AD// BC$,即$DE// BC$,所以四边形BCDE为平行四边形. 又因为$BC=CD$,所以$□ BCDE$为菱形.
解析
【分析】
要证明$AD// BC$，需利用弧相等对应的圆周角相等，得到内错角相等从而判定平行；要证明四边形$BCDE$为菱形，需先证其为平行四边形，再结合弧相等得到的邻边相等来判定。首先，由弧$AB=$弧$CD$，可得对应的圆周角$∠ ADB=∠ CBD$，根据内错角相等两直线平行，证明$AD// BC$；接着，由弧$BC=$弧$CD$，得$BC=CD$，且$OC$垂直平分$BD$，结合平行线的性质得到角相等，证明三角形全等，得到$DE=BC$，结合$DE// BC$，证得平行四边形，再由邻边相等得菱形。
【解析】
证明：
(1) 连接$BD$。
$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore$ 同弧所对的圆周角相等，即$∠ ADB = ∠ CBD$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$AD// BC$。
(2) 设$BD$交$OC$于点$F$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore$ 弦$BC=CD$，且圆心$O$到弦$BD$的垂线平分$BD$，即$OC⊥ BD$，故$BF=DF$。
由(1)知$AD// BC$，则$∠ EDF = ∠ CBF$。
在$△ DEF$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠ EDF = ∠ CBF \\DF = BF \\∠ DFE = ∠ BFC \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ DEF ≌ △ BCF$（ASA），
$\therefore DE = BC$。
又$\because DE// BC$（由(1)得$AD// BC$，即$DE$在$AD$上），
$\therefore$ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形$BCDE$为平行四边形。
又$\because BC=CD$，
$\therefore$ 邻边相等的平行四边形是菱形，因此$□ BCDE$为菱形。
【答案】
(1) $AD// BC$；(2) 四边形$BCDE$为菱形。
【知识点】
圆的弧弦关系、平行线判定、菱形判定
【点评】
本题结合圆的弧与弦、圆周角的性质，通过平行线判定、全等三角形证明及菱形判定定理逐步推导，逻辑清晰，需熟练掌握圆的相关性质与特殊四边形的判定方法。
【难度系数】
0.5
要证明$AD// BC$，需利用弧相等对应的圆周角相等，得到内错角相等从而判定平行；要证明四边形$BCDE$为菱形，需先证其为平行四边形，再结合弧相等得到的邻边相等来判定。首先，由弧$AB=$弧$CD$，可得对应的圆周角$∠ ADB=∠ CBD$，根据内错角相等两直线平行，证明$AD// BC$；接着，由弧$BC=$弧$CD$，得$BC=CD$，且$OC$垂直平分$BD$，结合平行线的性质得到角相等，证明三角形全等，得到$DE=BC$，结合$DE// BC$，证得平行四边形，再由邻边相等得菱形。
【解析】
证明：
(1) 连接$BD$。
$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore$ 同弧所对的圆周角相等，即$∠ ADB = ∠ CBD$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$AD// BC$。
(2) 设$BD$交$OC$于点$F$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore$ 弦$BC=CD$，且圆心$O$到弦$BD$的垂线平分$BD$，即$OC⊥ BD$，故$BF=DF$。
由(1)知$AD// BC$，则$∠ EDF = ∠ CBF$。
在$△ DEF$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠ EDF = ∠ CBF \\DF = BF \\∠ DFE = ∠ BFC \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ DEF ≌ △ BCF$（ASA），
$\therefore DE = BC$。
又$\because DE// BC$（由(1)得$AD// BC$，即$DE$在$AD$上），
$\therefore$ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形$BCDE$为平行四边形。
又$\because BC=CD$，
$\therefore$ 邻边相等的平行四边形是菱形，因此$□ BCDE$为菱形。
【答案】
(1) $AD// BC$；(2) 四边形$BCDE$为菱形。
【知识点】
圆的弧弦关系、平行线判定、菱形判定
【点评】
本题结合圆的弧与弦、圆周角的性质，通过平行线判定、全等三角形证明及菱形判定定理逐步推导，逻辑清晰，需熟练掌握圆的相关性质与特殊四边形的判定方法。
【难度系数】
0.5
