1. 一个不透明的口袋中装有4个白球、8个红球，这些球除颜色外完全相同，现向口袋中加入若干个同样的白球摇匀后，某同学从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，摇匀后再从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中……如果这样摸出100个球，发现有40次摸到红球，则加入白球的个数是 （）

A.8
B.10
C.12
D.14

1. A 提示:设加入白球的个数为 x 个,根据题意,得$\dfrac{8}{x+4+8}=\dfrac{40}{100}$,解得 $x=8$,经检验,$x=8$ 是原分式方程的解,则加入白球的个数是 8.

【分析】
本题的解题思路是：首先，放回式摸球属于大量重复试验，此时摸到红球的频率可近似等于摸到红球的概率；其次，设加入白球的个数为$x$，表示出加入白球后口袋的总球数，再根据红球个数写出红球的概率；最后利用频率与概率的等量关系列分式方程，解方程并检验得到结果，对应选项即可。
【解析】
解：设加入白球的个数为$x$个。
由题意，大量重复试验中，摸到红球的频率近似等于摸到红球的概率，因此：
$\frac{8}{x + 4 + 8} = \frac{40}{100}$
化简得：
$\frac{8}{x + 12} = 0.4$
两边同乘$x + 12$得：
$8 = 0.4(x + 12)$
解得：
$x + 12 = 20 \implies x = 8$
经检验，当$x = 8$时，分母$x + 12 = 20 ≠ 0$，所以$x = 8$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
A
【知识点】
频率估计概率、分式方程的应用
【点评】
本题是利用频率估计概率的典型基础题，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，解题时需注意分式方程必须检验解的合理性，整体难度不大，属于学生应掌握的基础应用题。
【难度系数】
0.7

2. 小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏. 在一个不透明的盒子里,有8张红桃、4张黑桃、$a$张方块.每张牌质地、大小都相同,一人摸牌,一人记录. 经过多次的试验,小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近$\dfrac{1}{4}$. 请你估计$a$的值为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

2. B

【分析】
这道题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近。题目中摸出方块的频率接近$\frac{1}{4}$，说明摸出方块的概率约为$\frac{1}{4}$。我们先计算总牌数，再根据概率公式列出关于$a$的方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
总牌数为红桃数量、黑桃数量与方块数量之和，即$8+4+a=12+a$张。
根据频率与概率的关系，当频率稳定时可近似看作概率，因此摸出方块的概率为$\frac{1}{4}$。
根据概率公式：$P(摸出方块)=\frac{方块数量}{总牌数}$，可列方程：
$\frac{a}{12+a}=\frac{1}{4}$
两边同乘$4(12+a)$得：$4a=12+a$
移项合并同类项：$3a=12$
解得：$a=4$
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题为基础题，主要考查学生对频率与概率关系的理解，以及概率公式的应用，难度较低，掌握相关知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7

3. 一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有数字3,4,5,x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球,并计算摸出的这2个小球上的数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀,进行重复实验.实验数据如下表:

解答下列问题:
(1)如果实验继续进行下去,那么“和为8”出现的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为8”的概率是.
(2)如果摸出的这2个小球上数字之和为9的概率是$\dfrac{1}{3}$,那么$x$的值可以取7吗?请用列表或画树状图的方法说明理由.如果$x$的值不可以取7,请写出一个符合要求的$x$值.

3. 解:(1) 0.33
(2) 当 $x=7$ 时,列表如下:
| 甲\乙 | 3 | 4 | 5 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | — | 7 | 8 | 10 |
| 4 | 7 | — | 9 | 11 |
| 5 | 8 | 9 | — | 12 |
| 7 | 10 | 11 | 12 | — |
由表可知,共有 12 种等可能的结果,其中摸出的 2 个小球上的数字之和为 9 的结果有 2 种,所以这 2 个小球上的数字之和为 9 的概率是$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$,所以 $x$ 的值不可以取 7.
画树状图如下：
因为这 2 个小球上的数字之和为 9 的概率是$\dfrac{1}{3}$,即有 4 种可能,所以 $3+x=9$ 或 $5+x=9$ 或 $4+x=9$,解得 $x=6$ 或 $x=4$ 或 $x=5$. 当 $x=6$ 时,出现“和为 8”的概率为$\dfrac{1}{6}$,与(1)中结论矛盾,故舍去. 所以 $x=4$ 或 $x=5$.

【分析】
1. 第(1)问：大量重复实验时，事件发生的频率会稳定在其概率附近，观察表格中“和为8”的频率，最后几次稳定在0.33，据此估计概率。
2. 第(2)问：判断x=7时“和为9”的概率是否为$\frac{1}{3}$，需用列表或树状图列举所有等可能结果，统计“和为9”的结果数计算概率；若不满足，再根据概率公式反推x的值，同时结合第(1)问的概率结论排除不符合的x值。
【解析】
(1) 当实验次数足够多时，事件发生的频率稳定在其概率附近。观察表格中“和为8”的频率，随着实验次数增加，频率稳定在0.33附近，因此估计出现“和为8”的概率是0.33。
(2) 当$x=7$时，用列表法列举所有等可能结果：
| 甲\乙 | 3 | 4 | 5 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | — | 7 | 8 | 10 |
| 4 | 7 | — | 9 | 11 |
| 5 | 8 | 9 | — | 12 |
| 7 | 10 | 11 | 12 | — |
共有12种等可能结果，其中“和为9”的结果有2种，因此“和为9”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6} ≠ \frac{1}{3}$，故$x$的值不可以取7。
若“和为9”的概率为$\frac{1}{3}$，则总情况数为12种时，“和为9”的结果需有$12×\frac{1}{3}=4$种。根据“和为9”的条件：$3+x=9$（得$x=6$）、$4+x=9$（得$x=5$）、$5+x=9$（得$x=4$）。
当$x=6$时，“和为8”的结果有2种，概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，与第(1)问的概率0.33矛盾，舍去；当$x=4$或$5$时，“和为8”的概率符合要求，故$x$可取4或5。
【答案】
(1) 0.33；
(2) $x$的值不可以取7，理由：当$x=7$时，共有12种等可能结果，其中“和为9”的结果有2种，概率为$\frac{1}{6} ≠ \frac{1}{3}$；符合要求的$x$值为4或5。
树状图如下：
【知识点】
频率估计概率、概率的计算（列举法）
【点评】
本题结合频率与概率的关系，考查用列举法计算概率及根据概率反推未知数，需理解大量重复实验中频率与概率的联系，注意列举时总情况数的准确性，同时结合已有结论验证结果，是概率部分的典型综合题。
【难度系数】
0.5

4. 学习小组做摸球试验,在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均完全相同的黑、白两种颜色的球,搅匀后,从盒子里随机摸出一个球记下颜色后,再把球放回盒子中,不断重复上述过程,下表是试验中的一组统计数据:

(1) 若从盒子里随机摸出一个球,则摸到黑球的概率约.(结果精确到0.01)
(2) 若盒子里装有4个球,则根据统计数据可知黑球有个;若从盒子里一次性随机摸出两个球,请用列表法或画树状图法求摸出的两个球同色的概率.

4. 解:(1) 0.25
(2) 1 画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果,其中摸出的 2 个球的颜色相同的结果有 6 种,随机摸出的 2 个球的颜色相同的概率为$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
本题分为两小问，第一问利用“大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率”估计摸到黑球的概率；第二问先结合概率公式计算黑球个数，再通过树状图列举所有等可能结果，找出符合条件的结果，进而计算摸出两球同色的概率。
【解析】
(1) 观察表格数据，当摸球次数足够多时，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，根据频率估计概率的原理，可知随机摸出一个球，摸到黑球的概率约为0.25。
(2) 已知盒子共4个球，摸到黑球概率约为0.25，因此黑球个数为 $4 × 0.25 = 1$ 个。
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有6种，因此摸出的两个球同色的概率为 $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) 0.25；(2) 1；摸出的两个球同色的概率为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
用频率估计概率，概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题结合摸球试验考查概率核心知识，重点考查用频率估计概率的方法和树状图法求概率，属于基础题型，需掌握频率与概率的关系及概率计算的基本逻辑。
【难度系数】
0.6