登录
1. 某超市开展有奖促销活动,每买100元商品可参加抽奖一次,中奖的概率为$\dfrac{1}{3}$,小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会,则小张（
A.能中奖一次
B.能中奖两次
C.至少能中奖一次
D.中奖次数不能确定
D
）A.能中奖一次
B.能中奖两次
C.至少能中奖一次
D.中奖次数不能确定
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，需明确概率的核心意义：概率是反映随机事件发生可能性大小的量，并非事件必然发生的结果。每次抽奖是独立的随机事件，单次中奖概率为$\frac{1}{3}$，三次抽奖的结果是不确定的，可能中奖0次、1次、2次或3次，因此不能确定具体的中奖次数，也无法保证至少中奖一次。
【解析】
根据概率的定义，概率仅表示随机事件发生的可能性，不代表必然结果。本题中，每次抽奖相互独立，单次中奖概率为$\frac{1}{3}$，小张三次抽奖的中奖次数是随机的，存在多种可能：
选项A“能中奖一次”、选项B“能中奖两次”均为确定性判断，不符合随机事件的不确定性，错误；
选项C“至少能中奖一次”错误，因为存在三次都不中奖的可能；
选项D“中奖次数不能确定”符合随机事件的性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
概率的意义、随机事件
【点评】
本题考查对概率概念的基础理解，核心是区分“可能性”与“必然性”，学生易误将概率等同于必然结果，需明确随机事件的结果是不确定的。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需明确概率的核心意义：概率是反映随机事件发生可能性大小的量，并非事件必然发生的结果。每次抽奖是独立的随机事件，单次中奖概率为$\frac{1}{3}$，三次抽奖的结果是不确定的，可能中奖0次、1次、2次或3次，因此不能确定具体的中奖次数，也无法保证至少中奖一次。
【解析】
根据概率的定义，概率仅表示随机事件发生的可能性，不代表必然结果。本题中，每次抽奖相互独立，单次中奖概率为$\frac{1}{3}$，小张三次抽奖的中奖次数是随机的，存在多种可能：
选项A“能中奖一次”、选项B“能中奖两次”均为确定性判断，不符合随机事件的不确定性，错误；
选项C“至少能中奖一次”错误，因为存在三次都不中奖的可能；
选项D“中奖次数不能确定”符合随机事件的性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
概率的意义、随机事件
【点评】
本题考查对概率概念的基础理解，核心是区分“可能性”与“必然性”，学生易误将概率等同于必然结果，需明确随机事件的结果是不确定的。
【难度系数】
0.6
2. (2025 宿迁市泗洪县期中)在一个不透明的盒子中装有8个小球,其中红球3个,黑球5个,它们除颜色外其他都相同.先从袋中取出 $ m $ 个红球,再放入 $ m $ 个一样的黑球并摇匀,随机摸出1个球,经过大量的重复试验, 发现摸到黑球的频率稳定在 $ \dfrac{3}{4} $, 则 $ m $ 的值为
1
.答案
2. 1
解析
【分析】
首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，因此可确定摸到黑球的概率为$\frac{3}{4}$。操作后，黑球数量变为原有黑球数加放入的$m$个，总球数因取出$m$个红球、放入$m$个黑球保持不变，仍为8个。再根据概率公式“事件概率=对应数量÷总数量”列出关于$m$的方程，结合实际意义（$m$为正整数且不超过原有红球数）求解即可。
【解析】
解：大量重复试验中，摸到黑球的频率稳定在$\frac{3}{4}$，故摸到黑球的概率为$\frac{3}{4}$。
操作后，黑球数量为$(5+m)$个，总球数仍为8个，根据概率公式列方程：
$\frac{5+m}{8} = \frac{3}{4}$
两边同乘8得：$5+m = 6$
解得：$m=1$
验证：$m=1$不超过原有红球数3，符合实际，故$m$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
概率公式、频率与概率的关系、一元一次方程应用
【点评】
本题结合频率与概率的关系，利用概率公式列一元一次方程求解，核心是理解“大量重复试验中频率稳定于概率”及操作后总球数不变，属于基础题型，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，因此可确定摸到黑球的概率为$\frac{3}{4}$。操作后，黑球数量变为原有黑球数加放入的$m$个，总球数因取出$m$个红球、放入$m$个黑球保持不变，仍为8个。再根据概率公式“事件概率=对应数量÷总数量”列出关于$m$的方程，结合实际意义（$m$为正整数且不超过原有红球数）求解即可。
【解析】
解：大量重复试验中，摸到黑球的频率稳定在$\frac{3}{4}$，故摸到黑球的概率为$\frac{3}{4}$。
操作后，黑球数量为$(5+m)$个，总球数仍为8个，根据概率公式列方程：
$\frac{5+m}{8} = \frac{3}{4}$
两边同乘8得：$5+m = 6$
解得：$m=1$
验证：$m=1$不超过原有红球数3，符合实际，故$m$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
概率公式、频率与概率的关系、一元一次方程应用
【点评】
本题结合频率与概率的关系，利用概率公式列一元一次方程求解，核心是理解“大量重复试验中频率稳定于概率”及操作后总球数不变，属于基础题型，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
3. 一个盒子中有 12 个红球和若干个白球,这些球除颜色外都相同. 从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,经过多次重复实验,发现摸到红球的频率稳定在 0.6 附近,则估计盒子中白球有
8
个.答案
3. 8 提示:设袋子中白球约有 x 个,因为通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.6 附近,所以从袋子中随机摸出一个红球的概率为 0.6,所以$\dfrac{12}{x+12}=0.6$,解得 $x=8$,经检验,$x=8$ 是原方程的解,所以袋子中白球约有 8 个.
解析
【分析】
首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，因此可由摸到红球的频率稳定值得到红球的概率；接着设白球数量为未知数，根据“红球概率=红球个数÷总球数”的关系列出方程，求解后检验解的合理性，即可得到白球的数量。
【解析】
解：设盒子中白球有$ x $个。
因为多次重复试验后，摸到红球的频率稳定在$ 0.6 $附近，所以摸到红球的概率约为$ 0.6 $。
根据概率公式，红球的概率$ = \frac{红球个数}{总球数} $，可列方程：
$\dfrac{12}{12+x}=0.6$
解方程：
两边同乘$ 12+x $得：$12 = 0.6(12+x)$
展开得：$12 = 7.2 + 0.6x$
移项得：$0.6x = 12 - 7.2 = 4.8$
解得：$x = 8$
经检验，$x=8$是原方程的解，且符合题意。
所以盒子中白球有$8$个。
【答案】
8
【知识点】
用频率估计概率；分式方程的应用
【点评】
本题是利用频率估计概率的基础应用题，结合概率公式建立分式方程求解，难度较低，主要考查学生对频率与概率关系的理解及分式方程的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，因此可由摸到红球的频率稳定值得到红球的概率；接着设白球数量为未知数，根据“红球概率=红球个数÷总球数”的关系列出方程，求解后检验解的合理性，即可得到白球的数量。
【解析】
解：设盒子中白球有$ x $个。
因为多次重复试验后，摸到红球的频率稳定在$ 0.6 $附近，所以摸到红球的概率约为$ 0.6 $。
根据概率公式，红球的概率$ = \frac{红球个数}{总球数} $，可列方程：
$\dfrac{12}{12+x}=0.6$
解方程：
两边同乘$ 12+x $得：$12 = 0.6(12+x)$
展开得：$12 = 7.2 + 0.6x$
移项得：$0.6x = 12 - 7.2 = 4.8$
解得：$x = 8$
经检验，$x=8$是原方程的解，且符合题意。
所以盒子中白球有$8$个。
【答案】
8
【知识点】
用频率估计概率；分式方程的应用
【点评】
本题是利用频率估计概率的基础应用题，结合概率公式建立分式方程求解，难度较低，主要考查学生对频率与概率关系的理解及分式方程的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. (2025 镇江市二模)在某班级开展的读书活动中,同学们设计了一个抽奖活动.规则是:准备3张大小一样、背面完全相同的卡片,3张卡片的正面所写内容分别是《我的阿勒泰》《额尔古纳河右岸》《额尔古纳河右岸》,将它们背面朝上洗匀后任意抽出1张,抽到卡片后可以免费领取相应的书籍.
(1)在上述活动中,如果从中随机抽出1张卡片,记下内容后不放回,再随机抽出1张卡片,求恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率(用列表或画树状图的方法说明).
(2)再添加几张和原来一样的《我的阿勒泰》卡片,将所有卡片背面朝上洗匀后,任意抽出一张,使得抽到《我的阿勒泰》卡片的概率为$\dfrac{5}{7}$,那么应该添加《我的阿勒泰》卡片
(1)在上述活动中,如果从中随机抽出1张卡片,记下内容后不放回,再随机抽出1张卡片,求恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率(用列表或画树状图的方法说明).
(2)再添加几张和原来一样的《我的阿勒泰》卡片,将所有卡片背面朝上洗匀后,任意抽出一张,使得抽到《我的阿勒泰》卡片的概率为$\dfrac{5}{7}$,那么应该添加《我的阿勒泰》卡片
4
张.答案
4. 解:(1)把《我的阿勒泰》《额尔古纳河右岸》《额尔古纳河右岸》分别记为 A,B,C,画树状图如下：
由树状图可知,恰好抽到 2 张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
(2) 4 提示:设应添加 x 张《我的阿勒泰》卡片,由题意,得$\dfrac{1+x}{3+x}=\dfrac{5}{7}$,解得 $x=4$. 经检验,$x=4$ 是原方程的解. 所以应添加 4 张《我的阿勒泰》卡片.
解析
【分析】
第(1)问需用树状图法列出不放回抽取两张卡片的所有等可能结果，再找出符合“2张都是《额尔古纳河右岸》”的结果数，根据概率公式计算；第(2)问根据添加卡片后《我的阿勒泰》的概率，设未知数建立分式方程，求解并检验即可得到添加的卡片数。
【解析】
(1) 记《我的阿勒泰》为A，两张《额尔古纳河右岸》分别为B、C，画树状图如下：
![]()
由树状图可知，共有6种等可能的抽取结果，其中恰好抽到2张都是《额尔古纳河右岸》的结果有2种，因此概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
(2) 设应添加《我的阿勒泰》卡片$x$张，添加后《我的阿勒泰》卡片数量为$(1+x)$张，总卡片数为$(3+x)$张。根据题意，抽到《我的阿勒泰》的概率为$\dfrac{5}{7}$，列方程：
$\dfrac{1+x}{3+x}=\dfrac{5}{7}$
解方程：
$7(1+x)=5(3+x)$
$7+7x=15+5x$
$2x=8$
$x=4$
经检验，$x=4$是原方程的解，符合题意，故应添加4张。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $4$
【知识点】
概率计算、分式方程应用
【点评】
本题结合实际抽奖场景，考查概率的树状图计算与分式方程的应用，贴近生活，既考查基础概率知识，也要求掌握分式方程的求解与检验，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
第(1)问需用树状图法列出不放回抽取两张卡片的所有等可能结果，再找出符合“2张都是《额尔古纳河右岸》”的结果数，根据概率公式计算；第(2)问根据添加卡片后《我的阿勒泰》的概率，设未知数建立分式方程，求解并检验即可得到添加的卡片数。
【解析】
(1) 记《我的阿勒泰》为A，两张《额尔古纳河右岸》分别为B、C，画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的抽取结果，其中恰好抽到2张都是《额尔古纳河右岸》的结果有2种，因此概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
(2) 设应添加《我的阿勒泰》卡片$x$张，添加后《我的阿勒泰》卡片数量为$(1+x)$张，总卡片数为$(3+x)$张。根据题意，抽到《我的阿勒泰》的概率为$\dfrac{5}{7}$，列方程：
$\dfrac{1+x}{3+x}=\dfrac{5}{7}$
解方程：
$7(1+x)=5(3+x)$
$7+7x=15+5x$
$2x=8$
$x=4$
经检验，$x=4$是原方程的解，符合题意，故应添加4张。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $4$
【知识点】
概率计算、分式方程应用
【点评】
本题结合实际抽奖场景，考查概率的树状图计算与分式方程的应用，贴近生活，既考查基础概率知识，也要求掌握分式方程的求解与检验，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
5. 在一个不透明的箱子中装有2张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同，我校动感社团的同学们做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张，记下颜色后放回，记为一次试验.
(1) 若多次进行上述试验后发现摸到白色卡片的频率为0.4，则箱子中的红色卡片约有
(2) 在(1)的条件下，请用列表或画树状图的方法，求两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率.
(1) 若多次进行上述试验后发现摸到白色卡片的频率为0.4，则箱子中的红色卡片约有
3
张.(2) 在(1)的条件下，请用列表或画树状图的方法，求两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率.
答案
5. (1) 3 提示:因为摸到白色卡片的频率为 0.4,所以摸到白色卡片的概率为$\dfrac{2}{5}$. 设箱子中的红色卡片约有 x 张,所以$\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{2}{5}$,解得 $x=3$,经检验,$x=3$ 是原方程的解,所以箱子中的红色卡片约有 3 张.
(2) 解:列表如下:
| 第 2 张\第 1 张 | 红 1 | 红 2 | 红 3 | 白 1 | 白 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 红 1 | 红 1,红 1 | 红 2,红 1 | 红 3,红 1 | 白 1,红 1 | 白 2,红 1 |
| 红 2 | 红 1,红 2 | 红 2,红 2 | 红 3,红 2 | 白 1,红 2 | 白 2,红 2 |
| 红 3 | 红 1,红 3 | 红 2,红 3 | 红 3,红 3 | 白 1,红 3 | 白 2,红 3 |
| 白 1 | 红 1,白 1 | 红 2,白 1 | 红 3,白 1 | 白 1,白 1 | 白 2,白 1 |
| 白 2 | 红 1,白 2 | 红 2,白 2 | 红 3,白 2 | 白 1,白 2 | 白 2,白 2 |
由表可知,共有 25 种等可能的结果,其中两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的结果有 13 种,所以两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率是$\dfrac{13}{25}$.
(2) 解:列表如下:
| 第 2 张\第 1 张 | 红 1 | 红 2 | 红 3 | 白 1 | 白 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 红 1 | 红 1,红 1 | 红 2,红 1 | 红 3,红 1 | 白 1,红 1 | 白 2,红 1 |
| 红 2 | 红 1,红 2 | 红 2,红 2 | 红 3,红 2 | 白 1,红 2 | 白 2,红 2 |
| 红 3 | 红 1,红 3 | 红 2,红 3 | 红 3,红 3 | 白 1,红 3 | 白 2,红 3 |
| 白 1 | 红 1,白 1 | 红 2,白 1 | 红 3,白 1 | 白 1,白 1 | 白 2,白 1 |
| 白 2 | 红 1,白 2 | 红 2,白 2 | 红 3,白 2 | 白 1,白 2 | 白 2,白 2 |
由表可知,共有 25 种等可能的结果,其中两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的结果有 13 种,所以两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率是$\dfrac{13}{25}$.
解析
【分析】
第(1)问利用频率估计概率的知识点：当试验次数足够多时，频率稳定在概率附近，因此摸到白色卡片的频率0.4可近似为其概率。设红色卡片数量为x，总卡片数为(x+2)，根据概率公式列方程求解即可。第(2)问在第(1)问的基础上，采用列表法列出两次放回摸卡片的所有等可能结果，再从中找出颜色相同的结果数，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
(1) 当试验次数足够多时，频率可近似等于概率，因此摸到白色卡片的概率为0.4。设箱子中的红色卡片有x张，则总卡片数为(x+2)张，根据概率公式：
$\frac{2}{x+2} = 0.4$
解方程得：
$2 = 0.4(x+2) \implies x+2 = 5 \implies x=3$
经检验，x=3是原方程的解，故箱子中的红色卡片约有3张。
(2) 由(1)知，箱子中有3张红色卡片、2张白色卡片，共5张卡片。由于是放回试验，两次摸卡片的所有等可能结果可通过列表法呈现，共有5×5=25种等可能结果。其中两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的结果为：两次都是红色的结果有3×3=9种，两次都是白色的结果有2×2=4种，合计13种。根据概率公式，所求概率为：
$P = \frac{13}{25}$
【答案】
(1) 3；(2) $\dfrac{13}{25}$
【知识点】
频率估计概率，概率的计算，列表法求概率
【点评】
本题结合实际试验考查概率相关知识，第(1)问侧重频率与概率的联系，第(2)问考查放回试验的概率计算，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，是概率部分的基础题型，需掌握频率估计概率的方法及列表法求概率的步骤。
【难度系数】
0.5
第(1)问利用频率估计概率的知识点：当试验次数足够多时，频率稳定在概率附近，因此摸到白色卡片的频率0.4可近似为其概率。设红色卡片数量为x，总卡片数为(x+2)，根据概率公式列方程求解即可。第(2)问在第(1)问的基础上，采用列表法列出两次放回摸卡片的所有等可能结果，再从中找出颜色相同的结果数，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
(1) 当试验次数足够多时，频率可近似等于概率，因此摸到白色卡片的概率为0.4。设箱子中的红色卡片有x张，则总卡片数为(x+2)张，根据概率公式：
$\frac{2}{x+2} = 0.4$
解方程得：
$2 = 0.4(x+2) \implies x+2 = 5 \implies x=3$
经检验，x=3是原方程的解，故箱子中的红色卡片约有3张。
(2) 由(1)知，箱子中有3张红色卡片、2张白色卡片，共5张卡片。由于是放回试验，两次摸卡片的所有等可能结果可通过列表法呈现，共有5×5=25种等可能结果。其中两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的结果为：两次都是红色的结果有3×3=9种，两次都是白色的结果有2×2=4种，合计13种。根据概率公式，所求概率为：
$P = \frac{13}{25}$
【答案】
(1) 3；(2) $\dfrac{13}{25}$
【知识点】
频率估计概率，概率的计算，列表法求概率
【点评】
本题结合实际试验考查概率相关知识，第(1)问侧重频率与概率的联系，第(2)问考查放回试验的概率计算，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，是概率部分的基础题型，需掌握频率估计概率的方法及列表法求概率的步骤。
【难度系数】
0.5
