1. 在“等边三角形、矩形、正五边形、正六边形”4个图形中,任取其中一个图形,恰好是中心对称图形的概率是 （）

A.0
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$

1. C 提示:因为矩形、正六边形为中心对称图形,所以4个图形中,任取其中一个图形,恰好是中心对称图形的概率是$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
要解决该问题，需分三步思考：第一步，确定总共有多少种取图形的情况，本题共4个图形，总情况数为4；第二步，依据中心对称图形的定义，逐个判断4个图形是否为中心对称图形，统计符合条件的图形数量；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算所求概率，进而选出正确选项。
【解析】
1. 明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形。
2. 判断4个图形的属性：
等边三角形：绕中心旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
矩形：绕对角线交点旋转180°后，与原图形重合，是中心对称图形；
正五边形：绕中心旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
正六边形：绕中心旋转180°后，与原图形重合，是中心对称图形。
3. 计算概率：符合条件的中心对称图形有2个，总图形数为4个，因此所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形、概率的计算
【点评】
本题结合中心对称图形的判断与概率计算，属于基础题型，核心是准确掌握中心对称图形的定义，再运用概率公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.4

2. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是$2:1$，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针尖落到小正方形（阴影部分）的概率是（）

A.$0.2$
B.$0.25$
C.$0.4$
D.$0.5$

2. B 提示:因为大正方形与小正方形的边长之比是2:1,所以大正方形与小正方形面积的比为4:1,所以随机在大正方形及其内部区域投针,则针尖落到小正方形(阴影部分)的概率是$\dfrac{1}{4}=0.25$.

【分析】
本题是几何概率问题，几何概率的计算方法是所求区域面积与总区域面积的比值。已知大、小正方形边长比，先利用正方形面积与边长的关系求出面积比，即可得到针尖落到小正方形的概率。
【解析】
设小正方形的边长为$a$，由大正方形与小正方形的边长之比为$2:1$，可知大正方形的边长为$2a$。
根据正方形面积公式：$面积=边长^2$，可得：
小正方形面积$S_{小}=a^2$，大正方形面积$S_{大}=(2a)^2=4a^2$。
因此，针尖落到小正方形（阴影部分）的概率为：
$P=\frac{S_{小}}{S_{大}}=\frac{a^2}{4a^2}=\frac{1}{4}=0.25$。
【答案】
B
【知识点】
几何概率、正方形面积计算
【点评】
本题结合赵爽弦图考查几何概率的计算，核心是利用正方形面积与边长的平方关系求面积比，属于基础题型，需掌握几何概率的基本计算方法。
【难度系数】
0.3

3. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字$-1,1,2$。随机摸出一个小球（不放回）其数字记为$p$，再随机摸出另一个小球其数字记为$q$，则满足关于$x$的方程$x^{2}+px+q=0$有实数根的概率是（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$

3. A 提示:因为$x^2+px+q=0$有实数根,所以$\Delta=b^2-4ac=p^2-4q≥0$,因为共有6种等可能的结果,满足关于$x$的方程$x^2+px+q=0$有实数根的有$(1,-1),(2,-1),(2,1)$共3种情况,所以满足关于$x$的方程$x^2+px+q=0$有实数根的概率是$\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
本题是概率与一元二次方程根的判别式的综合题，解题思路为：① 先确定不放回摸球时，p、q的所有等可能组合数；② 利用一元二次方程有实根的条件（判别式Δ=p²-4q≥0），筛选出满足条件的(p,q)组合；③ 根据概率公式（概率=满足条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
解：首先，列出不放回摸球时，p、q的所有等可能结果：
从标有-1、1、2的三个小球中不放回摸两次，所有组合为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)，共6种等可能结果。
对于一元二次方程x²+px+q=0，有实数根的条件是判别式Δ=p²-4q≥0，逐一验证上述组合：
1. 当(p,q)=(-1,1)时，Δ=(-1)² -4×1=1-4=-3＜0，不满足；
2. 当(p,q)=(-1,2)时，Δ=(-1)² -4×2=1-8=-7＜0，不满足；
3. 当(p,q)=(1,-1)时，Δ=1² -4×(-1)=1+4=5≥0，满足；
4. 当(p,q)=(1,2)时，Δ=1² -4×2=1-8=-7＜0，不满足；
5. 当(p,q)=(2,-1)时，Δ=2² -4×(-1)=4+4=8≥0，满足；
6. 当(p,q)=(2,1)时，Δ=2² -4×1=4-4=0≥0，满足；
满足条件的组合共3种，因此所求概率为：3÷6=1/2。
【答案】
A
【知识点】
概率的计算；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将概率知识与一元二次方程根的判别式结合，考查学生的综合应用能力，解题关键是准确列举所有等可能结果并正确运用判别式筛选，属于初中数学的常见综合题型。
【难度系数】
0.5

4. 4条线段,长度分别为1,2,2,3.任取3条,能组成等腰三角形的概率是.

4. $\dfrac{1}{2}$

【分析】
要计算任取3条线段能组成等腰三角形的概率，需分两步：①先确定从4条线段中任取3条的所有组合数；②在这些组合中，结合等腰三角形定义和三角形三边关系（两边之和大于第三边），筛选出符合条件的组合数，最后用符合条件的组合数除以总组合数得到概率。
【解析】
从长度为1、2、2、3的4条线段中任取3条，所有可能的组合共$\mathrm{C}_4^3=4$种，分别为：(1,2,2)、(1,2,3)、(1,2,3)、(2,2,3)。
根据等腰三角形定义（至少两边相等）和三角形三边关系：
1. 组合(1,2,2)：有两边相等，且$1+2＞2$，能组成等腰三角形；
2. 组合(1,2,3)：$1+2=3$，不满足三角形三边关系，不能组成三角形；
3. 组合(1,2,3)：同理，不能组成三角形；
4. 组合(2,2,3)：有两边相等，且$2+2＞3$，能组成等腰三角形。
符合条件的组合共2种，因此概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、三角形三边关系、等腰三角形判定
【点评】
本题结合概率与三角形的知识点，需准确列举所有线段组合，再结合三角形三边关系和等腰三角形定义筛选，考查学生的逻辑分析能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC,BD$交于点$E$,$AC=8$,$BD=6$,以点$E$为圆心作$\odot E$,$\odot E$与菱形的四条边都相切,现随机向菱形$ABCD$内掷一枚小针,则针尖落在$\odot E$内的概率为.

5. $\dfrac{6π}{25}$ 提示:如图,设$\odot E$与$AB$相切于点$F$,连接$EF$,则$EF⊥ AB$.在菱形$ABCD$中,$AC=8$,$BD=6$,所以$AE=\dfrac{1}{2}AC=4$,$BE=\dfrac{1}{2}BD=3$,$AE⊥ BE$,所以$S_{菱形ABCD}=4× S_{△ AEB}=4×\dfrac{1}{2}AE· BE=24$.在$\mathrm{Rt}△ AEB$中,可得$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=5$.因为$S_{△ AEB}=\dfrac{1}{2}AE· BE=\dfrac{1}{2}EF· AB$,所以$EF=\dfrac{AE· BE}{AB}=\dfrac{12}{5}$,所以$S_{\odot E}=π· EF^2=π·(\dfrac{12}{5})^2=\dfrac{144π}{25}$,所以随机向菱形$ABCD$投一根针,针尖落在$\odot E$内的概率为$\dfrac{S_{\odot E}}{S_{菱形ABCD}}=\dfrac{\dfrac{144π}{25}}{24}=\dfrac{6π}{25}$.

【分析】
本题是几何概率问题，针尖落在⊙E内的概率等于⊙E的面积与菱形ABCD的面积之比。解题思路：①利用菱形对角线互相垂直平分且垂直的性质，计算菱形面积；②结合切线性质，通过面积法求出菱形内切圆⊙E的半径；③分别计算⊙E和菱形的面积，代入概率公式求解。
【解析】
1. 计算菱形ABCD的面积：
菱形对角线互相垂直，已知AC=8，BD=6，因此AE=½AC=4，BE=½BD=3，且AC⊥BD。
菱形面积公式为 $ S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2} × AC × BD $，代入得：
$ S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 $。
2. 求⊙E的半径：
设⊙E与AB相切于点F，连接EF，根据切线性质，EF⊥AB。
在Rt△AEB中，由勾股定理得 $ AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $。
又因为 $ S_{△ AEB} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × AB × EF $，代入数值解得：
$ EF = \frac{AE × BE}{AB} = \frac{4 × 3}{5} = \frac{12}{5} $。
3. 计算概率：
⊙E的面积 $ S_{\odot E} = π × EF^2 = π × (\frac{12}{5})^2 = \frac{144π}{25} $。
几何概率公式为 $ P = \frac{S_{\odot E}}{S_{菱形ABCD}} $，代入得：
$ P = \frac{\frac{144π}{25}}{24} = \frac{6π}{25} $。
【答案】
$\dfrac{6π}{25}$
【知识点】
菱形性质、切线性质、几何概率
【点评】
本题综合考查菱形与圆的几何概率计算，需掌握菱形面积、内切圆半径的求法，以及几何概率的基本公式，是基础知识点的典型应用，步骤清晰易理解。
【难度系数】
0.5

6. 有六张正面分别标有数 0,1,2,3,4,5 的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同. 现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张,将卡片上的数记为 a,则使关于 x 的方程$\dfrac{1-ax}{x-2}+2=\dfrac{1}{2-x}$有正整数解的概率为.

6. $\dfrac{1}{6}$ 提示:解分式方程,得$x=\dfrac{2}{2-a}$.因为分式方程的解为正整数,所以$2-a＞0$,且$\dfrac{2}{2-a}≠2$,所以$a=0$.所以使关于$x$的分式方程有正整数解的概率为$\dfrac{1}{6}$.

【分析】
要解决这个问题，需分三步：1. 解分式方程，得到解关于a的表达式；2. 根据分式方程有正整数解的条件（解为正整数、解不能使分母为0、分母不为0），确定a的可能取值；3. 计算符合条件的a的个数与总个数的比值，即概率。
【解析】
解分式方程$\dfrac{1-ax}{x-2}+2=\dfrac{1}{2-x}$：
去分母，两边同乘$(x-2)$，得：
$1 - ax + 2(x - 2) = -1$
展开并整理：
$1 - ax + 2x - 4 = -1$
$(2 - a)x = 2$
解得：$x = \dfrac{2}{2 - a}$
根据分式方程有正整数解的条件：
① 分母不为0，即$2 - a ≠ 0$，得$a ≠ 2$；
② 解不能使原分式方程分母为0，即$x ≠ 2$，则$\dfrac{2}{2 - a} ≠ 2$，解得$a ≠ 1$；
③ 解为正整数，即$\dfrac{2}{2 - a}$是正整数，因此$2 - a$是2的正约数，即$2 - a = 1$或$2 - a = 2$：
当$2 - a = 1$时，$a = 1$，但$a=1$不符合条件②，舍去；
当$2 - a = 2$时，$a = 0$，此时$x = \dfrac{2}{2 - 0} = 1$，是正整数，且满足上述所有条件。
a的可能取值为0,1,2,3,4,5，共6种等可能结果，其中符合条件的a只有0，共1种。
因此概率为$\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式方程的解、概率的计算
【点评】
本题结合分式方程的解与概率计算，关键在于准确把握分式方程有解的条件（排除增根），避免因忽略分母不为0的情况导致错误，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5

7. 如图,抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+x+c$ 的顶点是正方形 $ABCO$ 的边 $AB$ 的中点,点 $A,C$ 在坐标轴上,抛物线分别与 $AO,BC$ 交于 $D$,$E$ 两点,将抛物线向下平移 1 个单位长度得到如图所示的阴影部分. 现随机向该正方形区域投掷一枚小针,则针尖落在阴影部分的概率 $P=$.

7. $\dfrac{1}{4}$ 提示:因为抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+c$的顶点是正方形$ABCO$边$AB$的中点,且抛物线对称轴为直线$x=2$,所以正方形$ABCO$的边长为4.因为抛物线向下平移1个单位长度得到如题图所示的阴影部分,所以阴影部分面积为4,则针尖落在阴影部分的概率$P=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.

【分析】
要解决该问题，需按以下思路推导：首先利用抛物线对称轴公式确定对称轴，结合顶点是正方形边AB中点的条件求出正方形边长；再根据抛物线平移的性质计算阴影部分面积；最后用阴影面积除以正方形面积得到概率。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+c$，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-\dfrac{1}{4}$，$b=1$，得对称轴为$x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$。
2. 确定正方形边长：正方形ABCO中，O为原点，A在y轴、C在x轴，AB平行于x轴，抛物线顶点是AB中点，结合对称轴$x=2$，可知AB长度为4，即正方形边长为4，因此正方形面积$S_{正方形}=4×4=16$。
3. 计算阴影面积：抛物线向下平移1个单位得到阴影部分，根据平移性质，阴影面积等于平移垂直距离（1）乘以水平长度（正方形边长4），即$S_{阴影}=1×4=4$。
4. 计算概率：针尖落在阴影部分的概率$P=\dfrac{S_{阴影}}{S_{正方形}}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
二次函数性质、几何概率、正方形面积
【点评】
本题结合二次函数性质与几何概率，需利用对称轴确定正方形边长，通过平移性质求阴影面积，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5

8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点,正方形边上的整点称为边整点.如图,第一个正方形有4个边整点,第二个正方形有8个边整点,第三个正方形有12个边整点……按此规律继续作下去,若从内向外共作了5个这样的正方形,那么其边整点的个数共有个,这些边整点落在函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上的概率是.

8. 60 $\dfrac{1}{10}$ 提示:第一个正方形有$1×4$个边整点,第二个正方形有$2×4$个边整点,第三个正方形有$3×4$个边整点,第四个正方形有$4×4$个边整点,第五个正方形有$5×4$个边整点,所以其边整点的个数共有$4+8+12+16+20=60$个.这些边整点落在函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上的有$(1,4),(4,1),(2,2),(-1,-4),(-4,-1),(-2,-2)$,共6个,所以这些边整点落在函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上的概率$\dfrac{6}{60}=\dfrac{1}{10}$.

【分析】首先观察正方形边整点的数量规律：第1个正方形有4个边整点，第2个有8个，第3个有12个，可推出第n个正方形的边整点数量为4n个。接着计算5个正方形的总边整点数量，再找出这些边整点中满足反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的整数点，最后用满足条件的点数量除以总边整点数量得到概率。
【解析】1. 计算5个正方形的总边整点个数：
第1个正方形边整点：$4×1=4$个；
第2个正方形边整点：$4×2=8$个；
第3个正方形边整点：$4×3=12$个；
第4个正方形边整点：$4×4=16$个；
第5个正方形边整点：$4×5=20$个；
总边整点个数为：$4+8+12+16+20=60$个。
2. 找出落在函数$y=\dfrac{4}{x}$图象上的边整点：
边整点满足x、y为整数，且$xy=4$，其整数解为$(1,4)$、$(2,2)$、$(4,1)$、$(-1,-4)$、$(-2,-2)$、$(-4,-1)$，共6个。
3. 计算概率：
概率$=\dfrac{满足条件的点数量}{总边整点数量}=\dfrac{6}{60}=\dfrac{1}{10}$。
【答案】60；$\dfrac{1}{10}$
【知识点】找规律、反比例函数、概率计算
【点评】本题结合平面直角坐标系中的图形规律与反比例函数性质，考查了规律探究和概率计算，需要先准确推导边整点的数量规律，再结合反比例函数的整数解求解，综合性适中。
【难度系数】0.6