9. 一只袋中装有三只质地和大小完全相同的小球,三只球上的数字标号分别是 1,-2,3,第一次从袋中摸出一只小球,把这只小球的标号数字记作一次函数表达式中的k,然后放回袋中搅匀后,再摸出一只小球,把这只小球的标号数字记作一次函数表达式中的b.
(1) 写出k为负数的概率.
(2) 求一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、三、四象限的概率.(用列表法或树状图法求解)

9. 解:(1) 根据1,-2,3中负数只有1个,得到$P=\dfrac{1}{3}$.
(2) 列表如下:
| $b$$k$ | 1 | $-2$ | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $(1,1)$ | $(-2,1)$ | $(3,1)$ |
| $-2$ | $(1,-2)$ | $(-2,-2)$ | $(3,-2)$ |
| 3 | $(1,3)$ | $(-2,3)$ | $(3,3)$ |
所有等可能的情况有9种,其中一次函数$y=kx+b$图象过第一、三、四象限($k＞0$,$b＜0$)的情况有2种,则$P=\dfrac{2}{9}$.

【分析】
要解决这道题，需分两步分析：(1) 求k为负数的概率，先确定k的所有可能取值及其中负数的个数，再用概率公式计算；(2) 求一次函数图象经过第一、三、四象限的概率，需先明确该图象的系数条件（k＞0，b＜0），再用列表法列举所有等可能的(k,b)组合，找出满足条件的组合数，最后计算概率。
【解析】
(1) k的取值为1、-2、3，共3种等可能结果，其中负数仅-2，共1种结果，根据概率公式：
$P(k为负数)=\frac{负数的个数}{总个数}=\frac{1}{3}$。
(2) 放回摸球时，k和b各有3种等可能取值，总共有$3×3=9$种等可能的(k,b)组合，列表如下：
| $b$$k$ | 1 | -2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (-2,1) | (3,1) |
| -2 | (1,-2) | (-2,-2) | (3,-2) |
| 3 | (1,3) | (-2,3) | (3,3) |
一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、三、四象限的条件是$k＞0$且$b＜0$，满足该条件的组合为(1,-2)、(3,-2)，共2种。根据概率公式：
$P(图象经过第一、三、四象限)=\frac{满足条件的组合数}{总组合数}=\frac{2}{9}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{2}{9}$
【知识点】
概率的计算、一次函数的图象性质
【点评】
本题结合概率与一次函数的知识点，考查概率公式的应用及一次函数图象与系数的关系，解题时需注意放回摸球的等可能性，用列表法清晰列举所有结果，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

10. 如图,放在平面直角坐标系中的正方形ABCD 边长为 4,现做如下实验:抛掷一枚均匀的正四面体骰子(它有四个顶点,各顶点的点数分别是 1 至 4 这四个数字中的一个),每个顶点朝上的机会是相同的,连续抛掷两次,将骰子朝上的顶点数作为平面直角坐标系中点 P 的坐标(第一次的点数作横坐标,第二次的点数作纵坐标).
(1) 求点 P 落在正方形 ABCD 面上(含正方形内部和边界)的概率.
(2) 将正方形 ABCD 平移整数个单位,则是否存在一种平移,使点 P 落在正方形ABCD 面上的概率为$\dfrac{3}{4}$? 若存在,指出其中的一种平移方式;若不存在,请说明理由.

10. 解:(1) 根据题意,点$P$的横坐标有数字1,2,3,4四种选择,点$P$的纵坐标也有数字1,2,3,4四种选择,所以构成点$P$的坐标共有$4×4=16$种情况.如下表所示:
| 纵坐标\横坐标 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $(1,1)$ | $(2,1)$ | $(3,1)$ | $(4,1)$ |
| 2 | $(1,2)$ | $(2,2)$ | $(3,2)$ | $(4,2)$ |
| 3 | $(1,3)$ | $(2,3)$ | $(3,3)$ | $(4,3)$ |
| 4 | $(1,4)$ | $(2,4)$ | $(3,4)$ | $(4,4)$ |
其中点$P$的$(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$四种情况将落在正方形$ABCD$面上,故所求的概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
(2) 因为要使点$P$落在正方形$ABCD$面上的概率为$\dfrac{3}{4}=\dfrac{12}{16}＞\dfrac{1}{4}$,所以只能将正方形$ABCD$向上或向右平移整数个单位,且使点$P$落在正方形面上的数目为12.所以存在满足题设要求的平移方式:先将正方形$ABCD$上移2个单位,后右移1个单位(先右后上亦可);或先将正方形$ABCD$上移1个单位,后右移2个单位(先右后上亦可).

【分析】
首先明确连续抛掷两次骰子，第一次点数为点P的横坐标，第二次为纵坐标，总共有4×4=16种等可能的点P坐标情况。第(1)问需确定正方形ABCD的坐标范围，找出落在该范围内的点P数量，再用概率公式计算；第(2)问要使概率为$\frac{3}{4}$，需对应12个点落在正方形内，结合平移整数单位的条件，分析平移方向和距离找到满足要求的方式。
【解析】
(1) 根据题意，点P的横坐标有1、2、3、4共4种选择，纵坐标也有1、2、3、4共4种选择，因此点P的坐标总共有$4×4=16$种等可能情况。
由图可知正方形ABCD的范围为$x∈[-2,2]$，$y∈[-2,2]$，满足该范围的点P坐标为$(1,1)$、$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,2)$，共4种。
根据概率公式，所求概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
(2) 存在满足要求的平移方式。总共有16种点P的坐标，要使概率为$\frac{3}{4}$，则需要$16×\frac{3}{4}=12$个点落在正方形ABCD面上。
将正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移1个单位，新的正方形范围为$x∈[-1,3]$，$y∈[0,4]$。此时，点P的坐标中，x在$[-1,3]$的有1、2、3共3种，y在$[0,4]$的有1、2、3、4共4种，满足条件的点有$3×4=12$个，概率为$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，符合要求（平移方式不唯一）。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) 存在，例如将正方形ABCD先向上平移2个单位，再向右平移1个单位（合理即可）
【知识点】
概率计算，平面直角坐标系，图形平移
【点评】
本题结合概率与平面图形的平移知识，需先确定点的所有可能情况，再结合图形范围分析符合条件的点，第二问需通过调整平移量满足概率要求，考查学生的逻辑分析与计算能力。
【难度系数】
0.5