1. 如图，AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ AC$，BC交$\odot O$于点P，Q是AC的中点. 求证：QP是$\odot O$的切线.

证明：连接$OP，$$PA。$ 因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$∠APB = ∠APC = 90°。$ 在$Rt\triangle APC$中，$Q$是$AC$的中点， 所以$PQ = AQ，$
所以$∠QAP = ∠QPA。$ 又因为$OP = OA，$
所以$∠OAP = ∠OPA，$
所以$∠OAQ = ∠QPO。$ 因为$AB\perp AC，$
所以$∠OAQ = 90°，$
所以$∠QPO = 90°，$ 所以$QP$是$\odot O$的切线。 ;

2.(1)如图①，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB$为直径，$∠ CAE=∠ B$，求证：$AE$与$\odot O$相切于点$A$；
(2)如图②，若$AB$为非直径的弦，$∠ CAE=∠ B$，$AE$还与$\odot O$相切于点$A$吗？请说明理由.

证明：(1)因为$AB$为直径， 所以$∠ACB = 90°，$ 所以$∠B + ∠BAC = 90°。$ 因为$∠CAE = ∠B，$ 所以$∠CAE + ∠BAC = 90°，$ 即$∠BAE = 90°，$ 所以$OA\perp AE，$ 所以$AE$与$\odot O$相切于点$A。$ (2)解：$AE$还与$\odot O$相切于点$A。$理由如下： 作直径$AD，$连接$CD，$所以$∠ACD = 90°，$ 所以$∠D + ∠DAC = 90°。$ 因为$∠B = ∠D，$$∠CAE = ∠B，$ 所以$∠CAE + ∠DAC = 90°，$即$∠DAE = 90°，$ 所以$OA\perp AE。$ 又因为$OA$为$\odot O$的半径，所以$AE$与$\odot O$相切于点$A。$ ;

3.(2024·建邺区模拟)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$D$是$BC$上一点，$AD=AC$. $E$是$\odot O$外一点，$∠ BAE=∠ CAD$，$∠ ADE=∠ ACB$，连接$BE$.
(1)若$AB=8$，求$AE$的长；
(2)求证：$EB$是$\odot O$的切线.

; 解：​$(1)$​因为​$∠BAE = ∠CAD，$​​$ $​所以​$∠BAE + ∠BAD = ∠CAD + ∠BAD，$​即​$∠EAD = ∠BAC。$​​$ $​又因为​$∠ADE = ∠ACB，$​​$AD = AC，$​​$ $​所以​$\triangle ADE\cong \triangle ACB(\mathrm {ASA})，$​​$ $​所以​$AE = AB。$​因为​$AB = 8，$​所以​$AE = 8。$​​$ (2)$​证明：连接​$BO$​并延长交​$\odot O$​于点​$F，$​连接​$AF。$​​$ $​因为​$BF $​是​$\odot O$​的直径，​$ $​所以​$∠BAF = 90°，$​​$ $​所以​$∠AFB + ∠ABF = 90°。$​​$ $​因为​$∠AFB = ∠ACB，$​​$ $​所以​$∠ACB + ∠ABF = 90°。$​​$ $​因为在​$\triangle ADC$​中，​$AD = AC，$​​$ $​所以​$∠ACB = ∠ADC，$​​$ $​所以​$2∠ACB + ∠CAD = 180°。$​​$ $​由​$(1)$​知​$AE = AB，$​​$ $​所以​$∠AEB = ∠ABE，$​​$ $​所以​$2∠ABE + ∠BAE = 180°。$​​$ $​因为​$∠BAE = ∠CAD，$​所以​$∠ACB = ∠ABE，$​​$ $​所以​$∠ABE + ∠ABF = 90°，$​即​$∠OBE = 90°。$​​$ $​因为​$OB$​为​$\odot O$​的半径，所以​$EB$​是​$\odot O$​的切线。