4.(2024·玄武区期中)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E,且$AB=AC=AD$,经过A,C,D三点的$\odot O$交BD于点F,连接CF.
(1)求证:$CF=BF$;
(2)若$CD=CB$,求证:CB是$\odot O$的切线.

; 证明：(1)因为$AB = AC，$
所以$∠ACB = ∠ABC。$ 因为$AB = AD，$
所以$∠ADB = ∠ABD。$ 又因为$∠ADB = ∠ACF，$所以$∠ACF = ∠ABD，$ 所以$∠ACB - ∠ACF = ∠ABC - ∠ABD，$ 即$∠BCF = ∠CBF，$所以$CF = BF。$ (2)证明：连接$CO$并延长交$\odot O$于点$G，$连接$GF。$ 因为$CG$为$\odot O$的直径，所以$∠GFC = 90°，$ 所以$∠G + ∠GCF = 90°。$ 因为$∠CDB = ∠G，$所以$∠CDB + ∠GCF = 90°。$ 因为$CD = CB，$所以$∠CDB = ∠CBD。$ 因为$∠BCF = ∠CBF，$所以$∠BCF = ∠CDB，$ 所以$∠BCF + ∠GCF = 90°，$所以$∠BCG = 90°，$ 所以$CG\perp BC。$因为$CG$为$\odot O$的直径， 所以$CB$是$\odot O$的切线。

5. 如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的$\odot O$与BC相切于点E.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线；
(2)若正方形ABCD的边长为10，求$\odot O$的半径.

第5题图

证明：(1)连接$OE，$过点$O$作$OF\perp CD$于点$F。$
因为$BC$切$\odot O$于点$E，$
所以$OE\perp BC，$$OE = OA。$
又因为$AC$为正方形$ABCD$的对角线，所以$∠ACB = ∠ACD，$
所以$OF = OE = OA，$
所以$CD$是$\odot O$的切线。 (2)解：因为正方形$ABCD$的边长为$10，$ 所以$AB = BC = 10，$$∠B = 90°，$$∠ACB = 45°，$ 所以$AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 10\sqrt{2}。$ 因为$OE\perp BC，$
所以$OE = EC。$ 设$OA = r，$则$OE = EC = r，$
所以$OC = \sqrt{OE^{2}+EC^{2}} = \sqrt{2}r。$ 因为$OA + OC = AC，$
所以$r + \sqrt{2}r = 10\sqrt{2}，$ 解得$r = 20 - 10\sqrt{2}，$
即$\odot O$的半径为$20 - 10\sqrt{2}。$ ;

6. 如图，$AO$是$△ ABC$的中线，$\odot O$与$AB$边相切于点$D$.
(1)要使$\odot O$与$AC$边也相切，应增加的条件是______；(任写一个)
(2)增加条件后，请你证明$\odot O$与$AC$边相切.

$\angle B = \angle C$(答案不唯一) ; 证明：(2)连接$OD，$过点$O$作$OE\perp AC，$垂足为$E，$ 则$∠CEO = 90°。$ 因为$\odot O$与$AB$相切于点$D，$ 所以$∠BDO = ∠CEO = 90°。$ 因为$AO$是$\triangle ABC$的中线，所以$OB = OC。$ 又因为$∠B = ∠C，$所以$\triangle BDO\cong\triangle CEO，$所以$OD = OE。$ 因为$OD$是$\odot O$的半径，所以$OE$是$\odot O$的半径， 所以$\odot O$与$AC$边相切。 ;