1.(2024·海门期中)将抛物线$y=(x-1)^2+2$先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到抛物线的顶点坐标是 （ ）
A.$(-1,5)$
B.$(-1,-1)$
C.$(3,-1)$
D.$(3,5)$

C

2.(2024·无锡月考)在平面直角坐标系中,如果抛物线$y=3x^2$不动,而把$x$轴,$y$轴分别向上、向右平移5个单位长度,那么在新坐标系中此抛物线的函数表达式是 （ ）
A. $y=3(x-5)^2+5$
B. $y=3(x-5)^2-5$
C. $y=5(x+5)^2+5$
D. $y=3(x+5)^2-5$

D

3. 如图,抛物线 $y=-(x+n)^2+5$ 交 $x$ 轴于点 $A,B$,将该抛物线向右平移4个单位长度后,与原抛物线交于点 $C$,则点 $C$ 的纵坐标为 ______.

1

4.如图,抛物线 $y_1=(x+1)^2 - 3$ 向右平移 2 个单位长度得到抛物线 $y_2$,则阴影部分的面积为______．

6

5.(2024·山东)在平面直角坐标系$xOy$中,点$P(2,-3)$在二次函数$y=ax^2+bx-3(a＞0)$的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线$x=m$.
(1)求$m$的值;
(2)若点$Q(m,-4)$在$y=ax^2+bx-3$的图像上,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图像.当$0≤ x≤4$时,求新的二次函数的最大值与最小值的和;
(3)设$y=ax^2+bx-3$的图像与$x$轴的交点为$(x_1,0),(x_2,0)(x_1＜x_2)$.若$4＜x_2-x_1＜6$,求$a$的取值范围.

解：​$(1)$​∵点​$P(2，-3)$​在二次函数​$y = ax^2+bx - 3(a>0)$​的图像上， ∴​$4a + 2b-3=-3，$​解得​$b = - 2a，$​ ∴​$y = ax^2-2ax - 3，$​ ∴抛物线的对称轴为直线​$x=-\frac {-2a}{2a}=1，$​∴​$m = 1.$​​$ (2)$​∵点​$Q(1，-4)$​在​$y = ax^2-2ax - 3$​的图像上， ∴​$a-2a - 3=-4，$​解得​$a = 1，$​ ∴​$y = x^2-2x - 3=(x - 1)^2-4.$​​$ $​将该二次函数的图像向上平移​$5$​个单位长度，得到新的二次函数​$y=(x - 1)^2-4 + 5=(x - 1)^2+1$​的图像​$.$​ ∵​$0\leqslant x\leqslant 4，$​∴当​$x = 1$​时，函数有最小值，为​$1；$​​$ $​当​$x = 4$​时，函数有最大值，为​$(4 - 1)^2+1 = 10.$​ ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为​$11.$​​$ (3)$​∵​$y = ax^2-2ax - 3$​的图像与​$x$​轴的交点为​$(x_{1}，0)，$​​$(x_{2}，0)(x_{1}＜x_{2})$​∴​$x_{1}+x_{2}=2，$​​$x_{1}·x_{2}=-\frac {3}{a}.$​ ∵​$x_{2}-x_{1}=\sqrt {(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}}，$​ ∴​$x_{2}-x_{1}=\sqrt {4+\frac {12}{a}}=2\sqrt {1+\frac {3}{a}}.$​ ∵​$4$​∴​$4<2\sqrt {1+\frac {3}{a}}<6，$​即​$2<\sqrt {1+\frac {3}{a}}<3，$​解得​$\frac {3}{8}＜a＜1$​

6. 抛物线$y=(x-1)^2+3$关于$x$轴对称的抛物线的函数表达式是 （ ）
A. $y=-(x-1)^2+3$
B. $y=(x+1)^2+3$
C. $y=(x-1)^2-3$
D. $y=-(x-1)^2-3$

D

7.已知二次函数$y=m(x-1)(x-4)$的图像与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左边),顶点为$C$,将该二次函数的图像关于$x$轴翻折,所得图像的顶点为$D$.若四边形$ACBD$为正方形,则$m$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.

$\pm\frac{2}{3}$