8.在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$C_1:y=ax^2 - 2ax - 3a$和点$A(0,-3)$，将点$A$先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到点$B$.
(1)求点$B$的坐标；
(2)求抛物线$C_1$的对称轴；
(3)把抛物线$C_1$沿$x$轴翻折，得到一条新抛物线$C_2$，抛物线$C_2$与抛物线$C_1$组成的图像记为$G$，若图像$G$与线段$AB$恰有一个交点时，结合图像，求$a$的取值范围.

解：​$(1)$​∵点​$A(0，-3)，$​将点​$A$​先向右平移​$2$​个单位长度，再向上平移​$5$​个单位长度，得到点​$B，$​∴点​$B$​的坐标为​$(2，2).$​​$ (2)$​∵抛物线​$C_{1}：y = ax^2-2ax - 3a，$​ ∴对称轴是直线​$x=-\frac {-2a}{2a}=1.$​​$ (3)$​当抛物线​$C_{1}：y = ax^2-2ax - 3a$​过点​$A(0，-3)$​时，​$ -3a=-3，$​解得​$a = 1. $​∵对称轴是直线​$x = 1，$​∴当​$x = 2$​时，​$y=-3，$​点​$B$​在抛物线​$C_{2}$​的下方，此时抛物线​$C_{1}$​与线段​$AB$​有一个交点，抛物线​$C_{2}$​与线段​$AB$​没有交点​$.$​​$ $​当抛物线​$C_{1}：y = ax^2-2ax - 3a$​过点​$(0，-2)$​时，​$-3a=-2，$​解得​$a=\frac {2}{3}. $​∵对称轴是直线​$x = 1，$​∴当​$x = 2$​时，​$y=-2，$​∴点​$B$​在抛物线​$C_{2}$​上，此时抛物线​$C_{1}$​与线段​$AB$​有一个交点，抛物线​$C_{2}$​与线段​$AB$​有一个交点，∴​$a$​的取值范围是​$\frac {2}{3}＜a≤1$​ 同理可得，当抛物线​$C_{2}$​过点​$A(0，-3)$​或​$(0，-2)$​时，可以求得​$a=-1$​或​$a = -\frac {2}{3}，$​∴​$- 1\leqslant a<-\frac {2}{3}.$​ 综上所述，​$a$​的取值范围是​$-1\leqslant a<-\frac {2}{3}$​或​$\frac {2}{3}＜a≤1$​

9.将抛物线$y=(x-3)(x-5)$先绕原点$O$旋转$180°$,再向右平移2个单位长度,所得抛物线的函数表达式为 （ ）
A. $y=-x^2-4x-3$
B. $y=-x^2-12x-35$
C. $y=x^2+12x+35$
D. $y=x^2+4x+3$

A

10. 如图①,已知抛物线的顶点坐标为$(0,1)$且经过点$A(1,2)$,直线$y=3x-4\sqrt{2}$经过点$B(2\sqrt{2},n)$,与$y$轴的交点为$C$.
(1)求抛物线的函数表达式及$n$的值;
(2)将直线$BC$绕原点$O$逆时针旋转$45°$,求旋转后的直线的函数表达式;
(3)如图②,将抛物线绕原点$O$顺时针旋转$45°$得到新曲线,新曲线与直线$BC$交于点$M,N$,点$M$在点$N$的上方,求点$N$的坐标.

第10题图

; 解：​$(1)$​设抛物线的函数表达式为​$y = ax^2+1，$​​$ $​将点​$A$​的坐标代入，得​$2=a + 1，$​解得​$a = 1，$​​$ $​故抛物线的函数表达式为​$y = x^2+1.$​​$ n=3×2\sqrt {2}-4\sqrt {2}=2\sqrt {2}.$​​$ (2)$​∵点​$B$​的横坐标和纵坐标相同，且​$BO = 4，$​​$ $​故点​$B$​绕点​$O$​逆时针旋转​$45°$​后落在​$y$​轴上，旋转后点​$B$​的对应点为​$B'(0，4)，$​​$ $​同理点​$C(0，-4\sqrt {2})$​绕点​$O$​逆时针旋转​$45°$​后的对应点​$C'$​的坐标为​$(4，-4).$​​$ $​设旋转后的直线的函数表达式为​$y = mx + n，$
​把​$B'(0，4)，$​​$C'(4，-4)$​代入，得​$\begin {cases}4=n\\-4=4m + n\end {cases}，$​​$ $​解得​$\begin {cases}m=-2\\n =4\end {cases}，$​​$ $​故旋转后的直线的函数表达式为​$y=-2x + 4.$​​$ (3)$​如答图，作直线​$y=-2x + 4$​交抛物线于点​$N'，$​​$ $​则抛物线和直线​$y=-2x + 4$​绕原点​$O$​顺时针旋转​$45°$​得到新曲线和直线​$y = 3x-4\sqrt {2}，$​令​$x^2+1=-2x + 4，$​解得​$x = 1$​或​$x=-3($​舍去​$)，$​​$ $​故点​$N'(1，2).$​​$ $​设点​$N(m，3m-4\sqrt {2})，$​由题意，得​$ON = ON'，$​​$ $​即​$1^2+2^2=\mathrm {m^2}+(3m-4\sqrt {2})^2，$​解得​$m=\frac {3\sqrt {2}}{2}$​或​$m=\frac {9\sqrt {2}}{10}($​不合题意，舍去)，则​$3m-4\sqrt {2}=\frac {\sqrt {2}}{2}，$​​$ $​故点​$N$​的坐标为​$(\frac {3\sqrt {2}}{2}，\frac {\sqrt {2}}{2}).$​

如图①,绕原点旋转$180°$,顶点的横、纵坐标与$a$全部变为相反数;如图②,绕顶点旋转$180°$,顶点的横、纵坐标不变,$a$变为相反数.