9. (1)(2024·连云港中考)如图①,AB是圆的直径,∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1、∠4的一边分别经过点A、B,则∠1+∠2+∠3+∠4=______°.

(2)如图②,AB是$\odot O$的直径,点C、D、E都在$\odot O$上,若$∠C=∠D=∠E$,则$∠A+∠B=$______°.

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; 135

10. 新趋势 尺规作图 如图，AB 是半圆的直径，图①中，点 C 在半圆外；图②中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图①中，画出$△ ABC$的三条高的交点；
(2)在图②中，画出$△ ABC$中 AB 边上的高.

11. (2024·安徽中考)如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$D$是直径$AB$上一点，$∠ ACD$的平分线交$AB$于点$E$，交$\odot O$于另一点$F$，$FA=FE$.
(1)求证：$CD ⊥ AB$；
(2)设$FM ⊥ AB$，垂足为$M$，若$OM=OE=1$，求$AC$的长.

证明：​$(1)$​∵​$FA=FE$​∴​$∠FAE=∠AEF$​∵​$∠FAE$​与​$∠BCE$​都是​$\widehat {BF}$​所对的圆周角∴​$∠FAE=∠BCE$​∵​$∠AEF=∠CEB$​∴​$∠CEB=∠BCE$​∵​$CE$​平分​$∠ACD$​∴​$∠ACE=∠DCE$​∵​$AB$​是直径∴​$∠ACB=90°$​∴​$∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE$​​$=∠ACB=90°$​∴​$∠CDE=90°$​∴​$CD⊥ AB$​​$(2)$​由​$(1)$​知，​$∠BEC=∠BCE$​∴​$BE=BC$​∵​$AF=EF，$​​$ FM⊥AB$​∴​$MA=ME=2，$​​$AE=4$​∴圆的半径​$OA=OB=AE-OE=3$​∴​$BC=BE=OB-OE=2$​在​$△ABC$​中，​$AB=6，$​​$BC=2，$​​$∠ACB=90°$​∴​$AC= \sqrt {AB²-BC²}= \sqrt {6²-2²}=4 \sqrt {2}$​

12. (2025·张掖月考)【问题提出】
(1)如图①，P是半径为5的$\odot O$上一点，直线$m$是$\odot O$外一条直线，$PQ ⊥ m$于点$Q$，圆心$O$到直线$m$的距离为7，则线段$PQ$的最大值为______；
【问题探究】
(2)如图②，点$P$是正方形$ABCD$内一点，连接$BP$、$CP$，则$∠ BPC=90°$，若$AB=4$，求$AP$的最小值；
【问题解决】
(3)如图③，有一块形状为$△ ABC$的湿地，其中$∠ BAC=90°$，$AB=6\ \mathrm{km}$，$AC=3\ \mathrm{km}$。点$D$是$AC$上的一个动点，以$AD$为直径在$△ ABC$内作半圆$O$，现要将半圆$O$建为观测区，连接$BD$，$BD$与半圆$O$交于点$E$，连接$CE$，沿$CE$修一条步道，为了节约成本，要使得$CE$的长度最短，试求$CE$的最小值。

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; 解​$：(2)$​根据题意得​$BC = 4$​是定值，​$∠BPC = 90°，$​所以点​$P $​的轨迹是以​$BC$​为直径的圆​$O$​上的部分，如图①，连接​$AO，$​交圆​$O$​于点​$P'，$​此时的​$AP'$​即为​$AP $​的最小值。​$ $​因为四边形​$ABCD$​是正方形，所以​$AB = BC = 4，$​​$∠ABC = 90°。$​​$ $​因为​$BO = OP'=\frac {1}{2}BC = 2，$​所以​$AO=\sqrt {AB^2+BO^2}=\sqrt {4^2+2^2} = 2\sqrt {5}，$​所以​$AP'=AO - OP'=2\sqrt {5}-2，$​​$AP $​的最小值为​$2\sqrt {5}-2。$​​$ (3)$​如图​$②，$​连接​$AE，$​根据题意得​$∠AED = 90°，$​以​$AB$​为直径作圆​$Q，$​​$∠BEA = 90°，$​所以点​$E$​在以​$AB$​为直径的圆​$Q_{上}，$​连接​$QE，$​当​$Q、$​​$E、$​​$C$​三点共线时，​$CE$​取得最小值。​$ $​因为​$∠BAC = 90°，$​​$AB = 6\ \mathrm {km}，$​​$AC = 3\ \mathrm {km}，$​所以​$AQ = QE=\frac {1}{2}AB = 3\ \mathrm {km}，$​​$CQ=\sqrt {AQ^2+AC^2} = 3\sqrt {2}\mathrm {km}。$​​$ $​所以​$CE = CQ - QE=(3\sqrt {2}-3)\mathrm {km}，$​​$CE$​的最小值为​$(3\sqrt {2}-3)\mathrm {km}。$
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