1. 甲、乙两人在一环形场地上从同一点同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的速度的2.5倍,4 min后两人首次相遇,此时乙还需要跑300 m跑完第一圈,求甲、乙两人的速度及环形场地的周长。

1.甲的速度为375 m/min,乙的速度为150 m/min,环形场地的周长为900 m。

【分析】
这是环形场地的同向追及问题，解题关键在于明确两个核心等量关系：①同向首次相遇时，速度快的甲比乙多跑了一圈（即环形场地的周长）；②乙跑4分钟后还需300米跑完第一圈，说明乙4分钟跑的路程加上300米等于场地周长。我们可以先设乙的速度为未知数，用两种方式表示周长，进而建立方程求解。
【解析】
设乙的速度为$ x \, \mathrm{m/min} $，则甲的速度为$ 2.5x \, \mathrm{m/min} $。
根据题意，甲4分钟跑的路程与乙4分钟跑的路程之差等于环形场地周长，同时乙4分钟跑的路程加300米也等于周长，由此列方程：
$4×2.5x - 4x = 4x + 300$
解方程：
$\begin{aligned}10x - 4x &= 4x + 300\\6x - 4x &= 300\\2x &= 300\\x &= 150\end{aligned}$
则甲的速度为：$ 2.5×150 = 375 \, \mathrm{m/min} $
环形场地的周长为：$ 4×150 + 300 = 900 \, \mathrm{m} $
【答案】
甲的速度为375 m/min，乙的速度为150 m/min，环形场地的周长为900 m。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 环形追及问题
【点评】
本题主要考查环形追及问题的数量关系及一元一次方程的应用，解题的核心是抓住“同向首次相遇路程差为一圈”和“乙未跑完的路程与已跑路程的和为周长”这两个等量关系，通过设未知数建立方程求解，需要学生熟练掌握行程问题中的基本数量关系并能灵活运用。
【难度系数】
0.6

2. 小莹骑自行车去香山,她先以8 km/h的速度走平路,而后又以4 km/h的速度上坡到达香山,共用了1.5 h;返回时,先以12 km/h的速度下坡,而后以9 km/h的速度走平路,回到原出发点,共用了55 min,从出发点到香山的路程是多少千米?
知识点2 利用方程组解决数量、长度有关的问题

2.从出发点到香山的路程是9 km。

【分析】
这是一道行程类应用题，解题核心是利用“时间=路程÷速度”的基本关系。由于往返过程中平路和坡路的路程不变，仅速度和总时间不同，我们可以通过设平路路程和上坡路程为未知数，根据去程、回程的总时间分别列出方程，组成二元一次方程组，求解后将两段路程相加即可得到总路程。具体思考步骤：
1. 统一时间单位，将55分钟转化为小时，避免单位混乱；
2. 设平路路程为$x$千米，上坡路程为$y$千米；
3. 根据去程：平路行驶时间+上坡行驶时间=1.5小时，列出第一个方程；
4. 根据回程：下坡行驶时间+平路行驶时间=55分钟对应的小时数，列出第二个方程；
5. 解方程组求出$x$和$y$，两者之和即为总路程。
【解析】
首先统一时间单位：$55\mathrm{min}=\frac{55}{60}\mathrm{h}=\frac{11}{12}\mathrm{h}$。
设平路的路程为$x$千米，上坡的路程为$y$千米。
根据题意，去程时间关系可列方程：
$\frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1.5$
两边同时乘以8整理得：
$x + 2y = 12 \quad \mathrm{(1)}$
回程时间关系可列方程：
$\frac{y}{12} + \frac{x}{9} = \frac{11}{12}$
两边同时乘以36整理得：
$4x + 3y = 33 \quad \mathrm{(2)}$
由方程(1)得：$x = 12 - 2y$，将其代入方程(2)：
$4(12 - 2y) + 3y = 33$
展开计算：
$48 - 8y + 3y = 33$
$-5y = 33 - 48$
$-5y = -15$
解得：$y = 3$。
将$y = 3$代入$x = 12 - 2y$，得：
$x = 12 - 2×3 = 6$
总路程为$x + y = 6 + 3 = 9$（千米）。
【答案】
9 km
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 行程问题（路程、速度、时间关系）
【点评】
本题主要考查行程问题中路程、速度、时间的数量关系，以及二元一次方程组的实际应用。解题关键是找准往返过程中的等量关系，注意统一时间单位，同时要明确往返时坡路的速度变化。通过设未知数建立方程组，能清晰梳理题目中的数量关系，进而求解。
【难度系数】
0.6