3.已知方程组$\begin{cases}x+2y=5,\\ 2x+y=7,\\\end{cases}$则$x+y$的值是( )。

A.12
B.2
C.4
D.6

3.C

【分析】
这道题要求二元一次方程组中$x+y$的值，有两种解题思路：一是先通过消元法分别求出$x$和$y$的值，再代入计算$x+y$；二是利用整体思想，直接将两个方程相加，得到含$x+y$的整体表达式，这种方法步骤更少、计算更简便。优先选择整体法，具体来说，两个方程左边相加可整理为$3(x+y)$，右边相加为常数，进而求出$x+y$的值。
【解析】
已知方程组$\begin{cases}x+2y=5&①\\ 2x+y=7&②\\\end{cases}$
将①+②得：
$(x+2y)+(2x+y)=5+7$
化简左边可得：$3x+3y=12$
两边同时除以3：$x+y=4$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法、整体思想求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，运用整体思想能快速得出结果，避免单独求解$x$、$y$的繁琐步骤，也可通过代入消元或加减消元法求出$x$、$y$的值再验证，两种方法均可行，整体法解题效率更高。
【难度系数】
0.9

4.已知方程组$\begin{cases}a-2b=-14,\\ 2a-b=2,\\\end{cases}$则$a-b$的值是( )。

A.4
B.$-4$
C.0
D.8

4.B

【分析】
要计算$a-b$的值，有两种思路：一是先解方程组求出$a$、$b$的具体值，再代入计算；二是利用整体思想，将两个方程相加后变形得到$a-b$。观察方程组的特点，两个方程相加后左边可整理为$3(a-b)$，右边是常数，这种方法更简便快捷。具体思考步骤：首先看两个方程的系数，第一个方程是$a-2b=-14$，第二个是$2a-b=2$，将两式相加，左边$a+2a-2b-b=3a-3b=3(a-b)$，右边$-14+2=-12$，然后两边同时除以3就能直接得到$a-b$的值。
【解析】
方法一：整体法
已知方程组$\begin{cases}a-2b=-14&①\\2a-b=2&②\end{cases}$
①+②得：$(a-2b)+(2a-b)=-14+2$
化简左边：$3a-3b$，右边：$-12$
即$3(a-b)=-12$
两边同时除以3得：$a-b=-4$
方法二：代入消元法
由①得：$a=2b-14$ ③
将③代入②得：$2(2b-14)-b=2$
展开计算：$4b-28-b=2$
合并同类项：$3b=30$
解得：$b=10$
把$b=10$代入③得：$a=2×10-14=6$
则$a-b=6-10=-4$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法；整体思想求代数式值
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的求解，既可以用常规的代入/加减消元法求出$a$、$b$的值，也能通过整体思想直接求出$a-b$，后者更能体现解题的灵活性，有效简化计算过程，适合基础巩固与思维拓展练习。
【难度系数】
0.8

5.选用合适的方法解方程组:
(1)$\begin{cases} x-3y=-2,\\ 2x+y=3;\\ \end{cases}$ (2)$\begin{cases} 3x+y=17,\\ x-y=3;\\ \end{cases}$
(3)$\begin{cases} 2x+3y=-4,\\ 2x-3y=8;\\ \end{cases}$ (4)$\begin{cases} 4m-5n=20,\\ 2m+3n=-1;\\ \end{cases}$
(5)$\begin{cases} \dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{6}=1,\\ 4x-y=8;\\ \end{cases}$ (6)$\begin{cases} \dfrac{x-2}{6}-\dfrac{2-y}{3}=\dfrac{1}{2},\\ x-2y=1。\\ \end{cases}$

(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=1\\ \end{cases}$ (2)$\begin{cases} x=5,\\ y=2\\ \end{cases}$ (3)$\begin{cases} x=1,\\ y=-2\\ \end{cases}$
(4)$\begin{cases} m=\dfrac{5}{2},\\ n=-2\\ \end{cases}$ (5)$\begin{cases} x=2,\\ y=0\\ \end{cases}$ (6)$\begin{cases} x=5,\\ y=2\\ \end{cases}$

【分析】
这六道题均为二元一次方程组，需根据各方程组系数特点选择合适的消元方法求解：
1. 方程组(1)中第二个方程的y系数为1，适合用代入消元法，先将y用含x的式子表示，再代入第一个方程求解x，进而求出y；
2. 方程组(2)(3)中y的系数互为相反数，直接通过加减消元法消去y，快速求解；
3. 方程组(4)中m的系数存在倍数关系，将第二个方程乘2后与第一个方程相减消去m，用加减消元法求解；
4. 方程组(5)(6)需先将含分数的方程去分母化为整式方程，再结合另一方程用加减消元法消元求解。
【解析】
(1) $\begin{cases} x-3y=-2&①\\ 2x+y=3&②\\ \end{cases}$
由②得：$y=3-2x$ ③
将③代入①得：$x-3(3-2x)=-2$
展开并整理：$x-9+6x=-2$，$7x=7$
解得：$x=1$
将$x=1$代入③得：$y=3-2×1=1$
故方程组的解为$\begin{cases} x=1\\ y=1\\ \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x+y=17&①\\ x-y=3&②\\ \end{cases}$
①+②得：$4x=20$
解得：$x=5$
将$x=5$代入②得：$5-y=3$
解得：$y=2$
故方程组的解为$\begin{cases} x=5\\ y=2\\ \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 2x+3y=-4&①\\ 2x-3y=8&②\\ \end{cases}$
①+②得：$4x=4$
解得：$x=1$
将$x=1$代入①得：$2×1+3y=-4$
解得：$y=-2$
故方程组的解为$\begin{cases} x=1\\ y=-2\\ \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 4m-5n=20&①\\ 2m+3n=-1&②\\ \end{cases}$
②×2得：$4m+6n=-2$ ③
③-①得：$11n=-22$
解得：$n=-2$
将$n=-2$代入②得：$2m+3×(-2)=-1$
解得：$m=\dfrac{5}{2}$
故方程组的解为$\begin{cases} m=\dfrac{5}{2}\\ n=-2\\ \end{cases}$
(5) $\begin{cases} \dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{6}=1&①\\ 4x-y=8&②\\ \end{cases}$
①×6去分母得：$3x-y=6$ ③
②-③得：$x=2$
将$x=2$代入②得：$4×2-y=8$
解得：$y=0$
故方程组的解为$\begin{cases} x=2\\ y=0\\ \end{cases}$
(6) $\begin{cases} \dfrac{x-2}{6}-\dfrac{2-y}{3}=\dfrac{1}{2}&①\\ x-2y=1&②\\ \end{cases}$
①×6去分母得：$(x-2)-2(2-y)=3$
展开并整理：$x-2-4+2y=3$，即$x+2y=9$ ③
③+②得：$2x=10$
解得：$x=5$
将$x=5$代入②得：$5-2y=1$
解得：$y=2$
故方程组的解为$\begin{cases} x=5\\ y=2\\ \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=1\\ \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=5,\\ y=2\\ \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=1,\\ y=-2\\ \end{cases}$
(4)$\begin{cases} m=\dfrac{5}{2},\\ n=-2\\ \end{cases}$
(5)$\begin{cases} x=2,\\ y=0\\ \end{cases}$
(6)$\begin{cases} x=5,\\ y=2\\ \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组代入消元法、二元一次方程组加减消元法、分式方程去分母化简
【点评】
本题核心考查二元一次方程组的消元求解思想，解题关键是根据方程组系数特征选择最优消元方法，同时需注意去分母时不要漏乘常数项，计算过程要严谨细致，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.6

6.我们定义一个新运算,规定$a※b=4a-3b$,例如:$5※6=4×5-3×6=2$。若$x※y=1$,$x※2y=-2$,分别求出$x$和$y$的值。

$\begin{cases} x=1,\\ y=1\\ \end{cases}$

【分析】
首先，题目给出了新运算的定义$a※b=4a-3b$，我们需要根据这个定义，将$x※y=1$和$x※2y=-2$转化为常规的二元一次方程，组成方程组。接下来，利用加减消元法或代入消元法解这个方程组，就能求出$x$和$y$的值。具体思考步骤：第一步，根据新运算规则，把两个含新运算的等式展开，得到关于$x$、$y$的二元一次方程组；第二步，选择加减消元法消去$x$，求出$y$的值；第三步，将$y$的值代入原方程，求出$x$的值。
【解析】
根据新运算$a※b=4a-3b$的定义，将$x※y=1$和$x※2y=-2$转化为以下方程组：
$\begin{cases}4x - 3y = 1&(1)\\4x - 6y = -2&(2)\end{cases}$
用方程(1)减去方程(2)，消去$x$：
$(4x - 3y) - (4x - 6y) = 1 - (-2)$
去括号得：$4x - 3y - 4x + 6y = 1 + 2$
合并同类项得：$3y = 3$
解得：$y = 1$
将$y=1$代入方程(1)：
$4x - 3×1 = 1$
计算得：$4x - 3 = 1$
移项得：$4x = 4$
解得：$x = 1$
因此，方程组的解为$\begin{cases} x=1\\ y=1 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=1,\\ y=1\\ \end{cases}$
【知识点】
1. 新运算转化
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合新定义运算考查二元一次方程组的求解，核心是准确理解新运算规则，将陌生的新运算转化为熟悉的二元一次方程，再运用消元法解方程组。题目难度适中，需要学生具备转化思想和方程组求解的基本能力。
【难度系数】
0.8

7.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} 2x-3y=3,\\ ax+by=1\\ \end{cases}$和$\begin{cases} 3x+2y=11,\\ ay-bx=3\\ \end{cases}$的解相同,求$2a-b$的值。

2

【分析】
因为两个方程组的解相同，所以该解是四个方程的公共解。首先将两个只含x、y的方程联立成新方程组，解出x和y的值；再把x、y的值代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b后，代入2a-b计算即可得到结果。
【解析】
1. 联立不含参数a、b的方程，求解x、y：
$\begin{cases} 2x - 3y = 3 &①\\ 3x + 2y = 11 &②\end{cases}$
①×2得：$4x - 6y = 6$ ③
②×3得：$9x + 6y = 33$ ④
③+④得：$13x = 39$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入①得：$2×3 - 3y = 3$，即$6 - 3y = 3$，解得$y = 1$
2. 将$x = 3$，$y = 1$代入含a、b的方程，得到关于a、b的方程组：
$\begin{cases} 3a + b = 1 &⑤\\ a - 3b = 3 &⑥\end{cases}$
由⑤得：$b = 1 - 3a$ ⑦
将⑦代入⑥得：$a - 3(1 - 3a) = 3$
展开得：$a - 3 + 9a = 3$
合并同类项得：$10a = 6$，解得$a = \frac{3}{5}$
将$a = \frac{3}{5}$代入⑦得：$b = 1 - 3×\frac{3}{5} = -\frac{4}{5}$
3. 计算$2a - b$的值：
$2a - b = 2×\frac{3}{5} - (-\frac{4}{5}) = \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = \frac{10}{5} = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解法，同解方程组的概念
【点评】
本题主要考查同解方程组的应用，核心思路是先求出两个方程组的公共解，再利用公共解求解参数a、b，最后计算代数式的值。解题过程中需要熟练运用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，步骤清晰，逻辑严谨。
【难度系数】
0.6

8.定义:在解方程组$\begin{cases} 5x+6x=1,\textcircled{1}\\ 6x+5y=10\textcircled{2}\\ \end{cases}$时,我们可以先令$\textcircled{1}+\textcircled{2}$,得$x+y=1$,再令$\textcircled{2}-\textcircled{1}$,得$x-y=9$,最后重新组成方程组$\begin{cases} x+y=1,\\ x-y=9,\\ \end{cases}$这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法。
(1)用轮换对称解法解方程组$\begin{cases}7x+8y=14,\\ 8x+7y=1,\\\end{cases}$解得 ______ ;
(2)如图,小亮和小莹一起搭积木,小亮所搭的“小塔”高度为32 cm,小莹所搭的“小树”高度为31 cm,设每块A型积木的高为x cm,每块B型积木的高为y cm,求x与y的值(用轮换对称解法求解)。

自我反思
存在的问题:

改进的措施:

8.解:(1)$\begin{cases} x=-6,\\ y=7;\\ \end{cases}$
(2)由题意得$\begin{cases} 3x+4y=32\textcircled{1},\\ 4x+3y=32\textcircled{2},\\ \end{cases}$
$\textcircled{1}+\textcircled{2}$得:$7x+7y=63$,
两边同时除以7得:$x+y=9,\textcircled{3}$
$\textcircled{2}-\textcircled{1}$得:$x-y=-1,\textcircled{4}$
$\textcircled{3}+\textcircled{4}$得:$2x=8$,
解得:$x=4$,
将$x=4$代入$\textcircled{3}$得:$4+y=9$,
解得:$y=5$,
即$x=4,y=5$。

【分析】
1. 第(1)问：根据题目给出的轮换对称解法定义，先将两个方程相加，得到含$x+y$的等式，再将两个方程相减，得到含$x-y$的等式，最后解由这两个等式组成的简单二元一次方程组，即可求出$x$、$y$的值。
2. 第(2)问：先根据小亮和小莹搭积木的数量与总高度，列出对应的二元一次方程组，再按照轮换对称解法，先将两个方程相加化简得到$x+y$的值，再相减得到$x-y$的值，最后通过加减消元法解新方程组，求出$x$、$y$的值。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}7x+8y=14,\textcircled{1}\\ 8x+7y=1,\textcircled{2}\\\end{cases}$
$\textcircled{1}+\textcircled{2}$得：$15x+15y=15$，两边同时除以15得：$x+y=1,\textcircled{3}$
$\textcircled{2}-\textcircled{1}$得：$x-y=-13,\textcircled{4}$
$\textcircled{3}+\textcircled{4}$得：$2x=-12$，解得$x=-6$
将$x=-6$代入$\textcircled{3}$得：$-6+y=1$，解得$y=7$
即方程组的解为$\begin{cases} x=-6,\\ y=7;\\ \end{cases}$
(2) 根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x+4y=32\textcircled{1},\\ 4x+3y=31\textcircled{2},\\ \end{cases}$
$\textcircled{1}+\textcircled{2}$得：$7x+7y=63$，两边同时除以7得：$x+y=9,\textcircled{3}$
$\textcircled{2}-\textcircled{1}$得：$x-y=-1,\textcircled{4}$
$\textcircled{3}+\textcircled{4}$得：$2x=8$，解得$x=4$
将$x=4$代入$\textcircled{3}$得：$4+y=9$，解得$y=5$
即$x=4$，$y=5$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-6,\\ y=7;\\ \end{cases}$
(2)$x=4$，$y=5$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 轮换对称解法
3. 列二元一次方程组解应用题
【点评】
本题通过新定义的轮换对称解法，简化了二元一次方程组的计算过程，同时结合实际搭积木的场景，考查了从实际问题中提取等量关系的能力，有助于提升学生对新方法的理解运用和数学应用意识。
【难度系数】
0.6