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1. 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图,将两根木条 AC,BD 的中点重叠并用钉子固定,则四边形 ABCD 就是平行四边形.这种方法的依据是(
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
)A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
答案
1. A
2. (易错题)(教材变式)已知 A,B,C 三点不在同一条直线上,用直尺和圆规作出第四个点,使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形,则这样的平行四边形共有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. C [易错分析]容易忽略以不同边为对角线的情况，只考虑一种情况而漏解，误认为只有一个平行四边形.实际上，给定不共线三点，可以构造三个不同的平行四边形.
3. 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形 ABCD 的面积为(
A.6
B.12
C.20
D.24
D
)A.6
B.12
C.20
D.24
答案
3. D
解析
解：在$Rt△ BCE$中，$∠ CBD=90°$，$BC=4$，$BE=3$，
由勾股定理得$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\because AC=10$，$\therefore AE=AC-CE=10-5=5$，即$AE=CE=5$。
$\because BE=ED=3$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×(3+3)×4=12$，
$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=12$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=12+12=24$。
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由勾股定理得$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\because AC=10$，$\therefore AE=AC-CE=10-5=5$，即$AE=CE=5$。
$\because BE=ED=3$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×(3+3)×4=12$，
$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=12$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=12+12=24$。
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4. 如图,□ABCD 的对角线相交于点 O,过点 O 作一条直线,分别交线段 AD,BC 于点 E,F,连接 EC,AF,则四边形 AFCE 是平行四边形.最合适的判定方法是
对角线互相平分的四边形是平行四边形
.答案
4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5. 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,延长 AD 至点 E,连接 EO 并延长,交 CB 的延长线于点 F,∠AEF=∠CFE,AD=BC.
（1）求证:O 是线段 AC 的中点；
（2）连接 AF,EC,求证:四边形 AFCE 是平行四边形.
（1）求证:O 是线段 AC 的中点；
（2）连接 AF,EC,求证:四边形 AFCE 是平行四边形.
答案
5. (1)
∵∠AEF = ∠CFE，
∴AD // BC.
∵AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC，BD互相平分，即O是线段AC的中点
(2)
∵AD // BC，
∴∠EAC = ∠FCA. 在△OAE和△OCF中，$\begin{cases}∠EAO = ∠FCO, \\ AO = CO, \\ ∠AOE = ∠COF, \end{cases}$
∴△OAE ≌ △OCF.
∴OE = OF. 又
∵AO = CO，
∴四边形AFCE是平行四边形
∵∠AEF = ∠CFE，
∴AD // BC.
∵AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC，BD互相平分，即O是线段AC的中点
(2)
∵AD // BC，
∴∠EAC = ∠FCA. 在△OAE和△OCF中，$\begin{cases}∠EAO = ∠FCO, \\ AO = CO, \\ ∠AOE = ∠COF, \end{cases}$
∴△OAE ≌ △OCF.
∴OE = OF. 又
∵AO = CO，
∴四边形AFCE是平行四边形
6. (2024·宿城期中)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,则下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的为(
A.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB//DC,AD=BC
D
)A.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB//DC,AD=BC
答案
6. D
解析
解：A.
∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ABC+∠BCD=180°，
∴AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B.
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C.
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D.
∵AB//DC，AD=BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形或等腰梯形，故D符合题意.
答案：D
∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ABC+∠BCD=180°，
∴AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B.
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C.
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D.
∵AB//DC，AD=BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形或等腰梯形，故D符合题意.
答案：D
