1. (2024·沭阳期中)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.添加下列一个条件后，不能证明▱ABCD是菱形的为 ()

A.$ AB = AD $
B.$ AC ⊥ BD $
C.$ AB = AC $
D.$ BD $平分$ ∠ ABC $

1.C

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
A. 若$AB = AD$，则邻边相等，平行四边形是菱形；
B. 若$AC ⊥ BD$，则对角线互相垂直，平行四边形是菱形；
C. 若$AB = AC$，无法判定邻边相等或对角线垂直，不能证明是菱形；
D. 若$BD$平分$∠ ABC$，可证邻边相等，平行四边形是菱形.
答案：C

2. 下列说法中，不正确的是 ()

A.四边相等的四边形是菱形
B.对角线垂直的平行四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.菱形的邻边相等

2.C

3. 如图，在▱ABCD中，$ AB = 4 $，$ BC = 6 $，将线段AB水平向右平移$ a $个单位长度得到线段FE，当$ a $的值为时，四边形ECDF为菱形.

3.2

解：在▱ABCD中，AB=CD=4，AD=BC=6，AD//BC。
线段AB水平向右平移a个单位得到FE，
则FE=AB=4，FE//AB，
又AB//CD，AB=CD，
所以FE//CD，FE=CD，
故四边形ECDF为平行四边形。
要使四边形ECDF为菱形，则需EC=CD=4。
因为BC=6，所以EC=BC-BE=6-BE=4，
解得BE=2。
由于AB平移得到FE，且AD//BC，
所以BE=AF=a，故a=2。
答案：2

4. 如图，在$ △ ABC $中，AD，CD分别平分$ ∠ BAC $和$ ∠ ACB $，$ AE // CD $，$ CE // AD $.有三个条件：①$ AB = AC $；②$ AB = BC $；③$ AC = BC $.从中选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是(填序号).

4.②

证明：
∵AE//CD，CE//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形。
选择条件②：AB=BC
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA。
∵AD平分∠BAC，CD平分∠ACB，
∴∠DAC=∠BAC/2，∠DCA=∠BCA/2，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD。
∵四边形ADCE是平行四边形，且AD=CD，
∴四边形ADCE为菱形。
选择条件①：AB=AC
则∠B=∠ACB，无法得出AD=CD，四边形ADCE不一定为菱形。
选择条件③：AC=BC
则∠BAC=∠B，无法得出AD=CD，四边形ADCE不一定为菱形。
综上，能使四边形ADCE为菱形的是②。
答案：②

5. 如图，点A，D，C，B在同一条直线上，且$ AD = BC $，$ AE = BF $，$ CE = DF $，连接DE，CF.
(1) 求证：$ AE // BF $；
(2) 若$ DF = FC $，求证：四边形DECF是菱形.

5.(1)
∵ $ AD = BC $，
∴ $ AD + CD = BC + CD $，即 $ AC = BD $。在 $ △ AEC $ 和 $ △ BFD $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { A E = B F, } \\ { C E = D F, } \\ { A C = BD, } \end{array} $
∴ $ △ AEC ≌ △ BFD $。
∴ $ ∠ A = ∠ B $。
∴ $ AE // BF $
(2)
∵ $ △ AEC ≌ △ BFD $，
∴ $ ∠ ECA = ∠ FDB $。
∴ $ EC // DF $。
∵ $ EC = DF $，
∴ 四边形 $ DECF $ 是平行四边形。
∵ $ DF = FC $，
∴ 四边形 $ DECF $ 是菱形

6. (2024·沭阳段考)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.下列结论中，不正确的是 ()


A.当$ AB ⊥ AD $时，四边形ABCD是矩形
B.当$ AC ⊥ BD $时，四边形ABCD是菱形
C.当$ OA = OB $时，四边形ABCD是矩形
D.当$ AB = AC $时，四边形ABCD是菱形

6.D

A. 当$AB ⊥ AD$时，▱$ABCD$是矩形，正确；
B. 当$AC ⊥ BD$时，▱$ABCD$是菱形，正确；
C. 当$OA = OB$时，$AC = BD$，▱$ABCD$是矩形，正确；
D. 当$AB = AC$时，▱$ABCD$不一定是菱形，不正确。
答案：D