8. 已知 $ x = \sqrt{2} + 1 $，求代数式 $ x^2 - 2x + 2 $ 的值.

8. $\because x=\sqrt{2}+1$，$\therefore x - 1=\sqrt{2}$．$\therefore (x - 1)^{2}=2$，即$x^{2}-2x + 1=2$．$\therefore x^{2}-2x=1$．$\therefore x^{2}-2x + 2=1 + 2=3$

9. 设 $ 6 - \sqrt{10} $ 的整数部分为 $ a $，小数部分为 $ b $，求 $ (2a + \sqrt{10})b $ 的值.

9. $\because 3＜\sqrt{10}＜4$，$\therefore -4＜-\sqrt{10}＜-3$．$\therefore 2＜6-\sqrt{10}＜3$．$\therefore 6-\sqrt{10}$的整数部分$a = 2$，小数部分$b=6-\sqrt{10}-2=4-\sqrt{10}$．$\therefore (2a+\sqrt{10})b=(2×2+\sqrt{10})×(4-\sqrt{10})=(4+\sqrt{10})×(4-\sqrt{10})=4^{2}-(\sqrt{10})^{2}=6$

$\because 3＜\sqrt{10}＜4$，$\therefore -4＜-\sqrt{10}＜-3$，$\therefore 2＜6-\sqrt{10}＜3$，$\therefore a=2$，$b=6-\sqrt{10}-2=4-\sqrt{10}$，$\therefore (2a+\sqrt{10})b=(4+\sqrt{10})(4-\sqrt{10})=16-10=6$

10. 如图，每个小正方形的边长为 $ 1 $，请在网格内画 $ △ ABC $，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为 $ 2,4\sqrt{1.25},\frac{4}{3}\sqrt{\frac{9}{2}} $.求：
（1） $ △ ABC $ 的周长与面积；
（2） $ △ ABC $ 中最长边上的高.

10. $4\sqrt{1.25}=\sqrt{4^{2}×1.25}=\sqrt{20}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}$，$\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\sqrt{(\dfrac{4}{3})^{2}×\dfrac{9}{2}}=\sqrt{8}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}$，结合勾股定理，画出$△ ABC$如图所示（画法不唯一）．（1）如图，过点$B$作$BD⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$D$．$\because AC = 2$，$BD = 2$，$4\sqrt{1.25}=2\sqrt{5}=AB$，$\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{9}{2}}=2\sqrt{2}=BC$，$\therefore △ ABC$的周长为$2 + 2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$，$△ ABC$的面积为$\dfrac{1}{2}×2×2 = 2$ （2）由图，可知$△ ABC$的最长边为$AB = 2\sqrt{5}$．设该边上的高为$h$．$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· h = 2$，$\therefore h=\dfrac{2×2}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

11. (易错题)(2025·宿城期末)把 $ a\sqrt{-\frac{1}{a}} $ 根号外的因式移进根号内的结果是()

A.$ \sqrt{a} $
B.$ \sqrt{-a} $
C.$ -\sqrt{a} $
D.$ -\sqrt{-a} $

11. D ［易错分析］忽视隐含条件，直接将负数移到根号内导致错误．

12. 已知实数 $ x,y $ 满足 $ |4x - 8| + \sqrt{x - y - m} = 0 $，则当 $ y ＞ 0 $ 时， $ m $ 的取值范围是()

A.$ 0 ＜ m ＜ 1 $
B.$ m ≥ 2 $
C.$ m ＜ 2 $
D.$ m ≤ 2 $

12. C

因为$|4x - 8| + \sqrt{x - y - m} = 0$，且$|4x - 8| ≥ 0$，$\sqrt{x - y - m} ≥ 0$，所以$4x - 8 = 0$，$x - y - m = 0$。
由$4x - 8 = 0$，解得$x = 2$。
将$x = 2$代入$x - y - m = 0$，得$2 - y - m = 0$，即$y = 2 - m$。
因为$y ＞ 0$，所以$2 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 2$。
C