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13. (2024·宿城期末)若 $ x,y $ 都是实数，且满足 $ \sqrt{2x - 1} + \sqrt{1 - 2x} + y = 4 $，则 $ xy $ 的值是
2
.答案
13. 2
解析
要使$\sqrt{2x - 1}$和$\sqrt{1 - 2x}$有意义，则$\begin{cases}2x - 1≥0\\1 - 2x≥0\end{cases}$，解得$x = \frac{1}{2}$。将$x = \frac{1}{2}$代入$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{1 - 2x} + y = 4$，得$0 + 0 + y = 4$，即$y = 4$。所以$xy=\frac{1}{2}×4 = 2$。
2
2
14. 已知四边形 $ ABCD $ 是菱形， $ ∠ BAD = 60° $， $ AB = 6 $，对角线 $ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ O $，点 $ E $ 在 $ AC $ 上.若 $ OE = \sqrt{3} $，则 $ CE $ 的长为
$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$
.答案
14. $4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$
解析
解：
∵四边形$ABCD$是菱形，$∠BAD=60°$，$AB=6$，
∴$AB=AD=6$，$AC⊥BD$，$∠BAO=\frac{1}{2}∠BAD=30°$，$AO=CO$。
在$Rt△ABO$中，$AO=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴$AC=2AO=6\sqrt{3}$。
情况1：点$E$在$AO$上
$AE=AO - OE=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$CE=AC - AE=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
情况2：点$E$在$CO$上
$CE=CO - OE=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
综上，$CE$的长为$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$。
$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$
∵四边形$ABCD$是菱形，$∠BAD=60°$，$AB=6$，
∴$AB=AD=6$，$AC⊥BD$，$∠BAO=\frac{1}{2}∠BAD=30°$，$AO=CO$。
在$Rt△ABO$中，$AO=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴$AC=2AO=6\sqrt{3}$。
情况1：点$E$在$AO$上
$AE=AO - OE=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$CE=AC - AE=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
情况2：点$E$在$CO$上
$CE=CO - OE=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
综上，$CE$的长为$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$。
$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$
15. (2025·泗洪期中)实数 $ a,b $ 在数轴上的对应点的位置如图所示，试化简： $ \sqrt{a^2} + \sqrt{b^2} + \sqrt{(a - b)^2} + \sqrt{(b - 1)^2} - \sqrt{(a - 1)^2} $.
答案
15. 由实数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置，可知$b＜-1＜0＜a＜1$，$\therefore a - b＞0$，$b - 1＜0$，$a - 1＜0$．$\therefore$原式$=|a| + |b| + |a - b| + |b - 1|-|a - 1|=a - b + a - b + 1 - b - 1 + a=3a - 3b$
解析
解：由数轴可知$b ＜ -1 ＜ 0 ＜ a ＜ 1$，
$\therefore a - b ＞ 0$，$b - 1 ＜ 0$，$a - 1 ＜ 0$，
原式$=|a| + |b| + |a - b| + |b - 1| - |a - 1|$
$=a - b + (a - b) + (1 - b) - (1 - a)$
$=a - b + a - b + 1 - b - 1 + a$
$=3a - 3b$
$\therefore a - b ＞ 0$，$b - 1 ＜ 0$，$a - 1 ＜ 0$，
原式$=|a| + |b| + |a - b| + |b - 1| - |a - 1|$
$=a - b + (a - b) + (1 - b) - (1 - a)$
$=a - b + a - b + 1 - b - 1 + a$
$=3a - 3b$
16. (2025·宿豫段考)先化简，再求值： $ \frac{3x + 3}{x - 1} ÷ (x + \frac{3x + 1}{x - 1}) $，其中 $ x = \sqrt{5} - 1 $.
答案
16. 原式$=\dfrac{3x + 3}{x - 1}÷\dfrac{x^{2}-x + 3x + 1}{x - 1}=\dfrac{3(x + 1)}{x - 1}÷\dfrac{x^{2}+2x + 1}{x - 1}=\dfrac{3(x + 1)}{x - 1}·\dfrac{x - 1}{(x + 1)^{2}}=\dfrac{3}{x + 1}$．当$x=\sqrt{5}-1$时，原式$=\dfrac{3}{\sqrt{5}-1 + 1}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
解析
解：原式$=\dfrac{3x + 3}{x - 1}÷(x + \dfrac{3x + 1}{x - 1})$
$=\dfrac{3x + 3}{x - 1}÷\dfrac{x(x - 1) + 3x + 1}{x - 1}$
$=\dfrac{3(x + 1)}{x - 1}÷\dfrac{x^{2}-x + 3x + 1}{x - 1}$
$=\dfrac{3(x + 1)}{x - 1}÷\dfrac{x^{2}+2x + 1}{x - 1}$
$=\dfrac{3(x + 1)}{x - 1}·\dfrac{x - 1}{(x + 1)^{2}}$
$=\dfrac{3}{x + 1}$
当$x = \sqrt{5}-1$时，原式$=\dfrac{3}{\sqrt{5}-1 + 1}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
$=\dfrac{3x + 3}{x - 1}÷\dfrac{x(x - 1) + 3x + 1}{x - 1}$
$=\dfrac{3(x + 1)}{x - 1}÷\dfrac{x^{2}-x + 3x + 1}{x - 1}$
$=\dfrac{3(x + 1)}{x - 1}÷\dfrac{x^{2}+2x + 1}{x - 1}$
$=\dfrac{3(x + 1)}{x - 1}·\dfrac{x - 1}{(x + 1)^{2}}$
$=\dfrac{3}{x + 1}$
当$x = \sqrt{5}-1$时，原式$=\dfrac{3}{\sqrt{5}-1 + 1}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
17. (新考法·阅读理解)阅读材料：
将边长分别为 $ a,a + \sqrt{b},a + 2\sqrt{b},a + 3\sqrt{b} $ 的正方形的面积分别记为 $ S_1,S_2,S_3,S_4 $，则 $ S_2 - S_1 = (a + \sqrt{b})^2 - a^2 = [(a + \sqrt{b}) + a][(a + \sqrt{b}) - a] = (2a + \sqrt{b})\sqrt{b} = b + 2a\sqrt{b} $.例如：当 $ a = 1,b = 3 $ 时， $ S_2 - S_1 = 3 + 2\sqrt{3} $.
根据以上材料，解答下列问题：
(1)当 $ a = 1,b = 3 $ 时， $ S_3 - S_2 = $
(2)当 $ a = 1,b = 3 $ 时，把边长为 $ a + n\sqrt{b} $ 的正方形的面积记作 $ S_{n + 1} $，其中 $ n $ 是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出 $ S_{n + 1} - S_n $ 等于多少吗？请证明你的猜想.
(3)当 $ a = 1,b = 3 $ 时，令 $ t_1 = S_2 - S_1,t_2 = S_3 - S_2,t_3 = S_4 - S_3,···,t_n = S_{n + 1} - S_n $，且 $ T = t_1 + t_2 + t_3 + ··· + t_{50} $，求 $ T $ 的值.
将边长分别为 $ a,a + \sqrt{b},a + 2\sqrt{b},a + 3\sqrt{b} $ 的正方形的面积分别记为 $ S_1,S_2,S_3,S_4 $，则 $ S_2 - S_1 = (a + \sqrt{b})^2 - a^2 = [(a + \sqrt{b}) + a][(a + \sqrt{b}) - a] = (2a + \sqrt{b})\sqrt{b} = b + 2a\sqrt{b} $.例如：当 $ a = 1,b = 3 $ 时， $ S_2 - S_1 = 3 + 2\sqrt{3} $.
根据以上材料，解答下列问题：
(1)当 $ a = 1,b = 3 $ 时， $ S_3 - S_2 = $
$9 + 2\sqrt{3}$
， $ S_4 - S_3 = $$15 + 2\sqrt{3}$
.(2)当 $ a = 1,b = 3 $ 时，把边长为 $ a + n\sqrt{b} $ 的正方形的面积记作 $ S_{n + 1} $，其中 $ n $ 是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出 $ S_{n + 1} - S_n $ 等于多少吗？请证明你的猜想.
(3)当 $ a = 1,b = 3 $ 时，令 $ t_1 = S_2 - S_1,t_2 = S_3 - S_2,t_3 = S_4 - S_3,···,t_n = S_{n + 1} - S_n $，且 $ T = t_1 + t_2 + t_3 + ··· + t_{50} $，求 $ T $ 的值.
答案
17. （1）$9 + 2\sqrt{3}$ $15 + 2\sqrt{3}$ （2）$S_{n + 1}-S_{n}=6n - 3 + 2\sqrt{3}$ $S_{n + 1}-S_{n}=(1+\sqrt{3}n)^{2}-[1+\sqrt{3}(n - 1)]^{2}=[2+(2n - 1)·\sqrt{3}]×\sqrt{3}=3(2n - 1)+2\sqrt{3}=6n - 3 + 2\sqrt{3}$ （3）当$a = 1$，$b = 3$时，$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}+···+t_{50}=S_{2}-S_{1}+S_{3}-S_{2}+S_{4}-S_{3}+···+S_{51}-S_{50}=S_{51}-S_{1}=(1 + 50\sqrt{3})^{2}-1=7500 + 100\sqrt{3}$
解析
（1）$9 + 2\sqrt{3}$；$15 + 2\sqrt{3}$
（2）猜想：$S_{n + 1}-S_{n}=6n - 3 + 2\sqrt{3}$
证明：$S_{n + 1}-S_{n}=(1+\sqrt{3}n)^{2}-[1+\sqrt{3}(n - 1)]^{2}$
$=[(1+\sqrt{3}n)+(1+\sqrt{3}(n - 1))][(1+\sqrt{3}n)-(1+\sqrt{3}(n - 1))]$
$=[2+\sqrt{3}(2n - 1)]×\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+3(2n - 1)$
$=6n - 3 + 2\sqrt{3}$
（3）$T=t_{1}+t_{2}+···+t_{50}=S_{2}-S_{1}+S_{3}-S_{2}+···+S_{51}-S_{50}=S_{51}-S_{1}$
$=(1 + 50\sqrt{3})^{2}-1^{2}=1 + 100\sqrt{3}+7500 - 1=7500 + 100\sqrt{3}$
（2）猜想：$S_{n + 1}-S_{n}=6n - 3 + 2\sqrt{3}$
证明：$S_{n + 1}-S_{n}=(1+\sqrt{3}n)^{2}-[1+\sqrt{3}(n - 1)]^{2}$
$=[(1+\sqrt{3}n)+(1+\sqrt{3}(n - 1))][(1+\sqrt{3}n)-(1+\sqrt{3}(n - 1))]$
$=[2+\sqrt{3}(2n - 1)]×\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}+3(2n - 1)$
$=6n - 3 + 2\sqrt{3}$
（3）$T=t_{1}+t_{2}+···+t_{50}=S_{2}-S_{1}+S_{3}-S_{2}+···+S_{51}-S_{50}=S_{51}-S_{1}$
$=(1 + 50\sqrt{3})^{2}-1^{2}=1 + 100\sqrt{3}+7500 - 1=7500 + 100\sqrt{3}$
